Chapitre 11
Exercices
Python
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ConsignePour les exerices 17 à 20
On modélisera une fonction polynôme par la liste de ses coefficients.
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Exercice 17
Primitive d'une fonction affine
La fonction affine f définie sur \R par f(x) = 3 - 5x est modélisée par la liste \color{purple}\bf{[3,-5]}.
1. Quel est le degré d'un polynôme primitive de f ? En déduire la taille de la liste permettant de représenter cette primitive (on la notera \color{purple}\bf{F}).
2. Quelle valeur peut-on choisir pour \color{purple}\bf{F[0]} ?
3. Compléter le programme suivant afin qu'il affiche la liste \color{purple}\bf{F} correspondant à une primitive de la fonction f(x)=4+3 x.
f = [4,3] F = [] F.append(...) F.append(f[0]) F.append(...) print(F)
4. Tester le programme avec d'autres fonctions affines.
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Exercice 18
Primitive d'un polynôme de degré 2
Le trinôme g(x) = 5 + 2x + 3x^2 est modélisé par la liste \color{purple}\bf{[5,2,3]}.
1. a. Quel est le degré d'un polynôme primitive de g ? En déduire la taille de la liste permettant de représenter cette primitive (on la notera \color{purple}\bf{G}).
b. Quelle valeur peut-on choisir pour \color{purple}\bf{G[0]} ?
c. Modifier le programme précédent pour qu'il affiche la liste \color{purple}\bf{H} correspondant à une primitive de la fonction h définie sur \R par h(x) = -6 + 3x + 8x^2.
2. Tester le programme avec d'autres fonctions polynômes du second degré.
g = [5,4,3] G = [] G.append(...) G.append(...) G.append(...) G.append(...) print(G)
1. a. Quel est le degré d'un polynôme primitive de g ? En déduire la taille de la liste permettant de représenter cette primitive (on la notera \color{purple}\bf{G}).
b. Quelle valeur peut-on choisir pour \color{purple}\bf{G[0]} ?
c. Modifier le programme précédent pour qu'il affiche la liste \color{purple}\bf{H} correspondant à une primitive de la fonction h définie sur \R par h(x) = -6 + 3x + 8x^2.
2. Tester le programme avec d'autres fonctions polynômes du second degré.
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Exercice 19
Primitive d'un polynôme : Cas général
On appelle fonction polynôme de degré n toute fonction p pour laquelle il existe n + 1 nombres réels a_0, ... , a_n tels que, pour tout x \in \R :
1. Soit p un tel polynôme de degré n. Déterminer une primitive \text{P} de p sur \R.
2. Expliquer le fonctionnement du programme ci‑dessous, écrit en langage Python.
p(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots+a_{n} x^{n}.
1. Soit p un tel polynôme de degré n. Déterminer une primitive \text{P} de p sur \R.
2. Expliquer le fonctionnement du programme ci‑dessous, écrit en langage Python.
def primitive_polynome(p):
P = [0]
for i in range(len(p)):
P.append(p[i]/(i+1))
return P
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Exercice 20
Primitive d'un polynôme avec valeur initiale
Dans le programme de l'exercice précédent, on initialise
la liste \color{purple}\bf{P} à \color{purple}\bf{[0]} à la ligne 2.
1. Aurait‑on pu faire un autre choix pour cette initialisation ?
2. Modifier le programme de l'exercice précédent pour trouver la primitive \text{K} de la fonction k définie, pour tout x \in \R, par k(x) = 1 + 3x + 3x^2 + x^3 vérifiant \text{K}(0) = 6.
1. Aurait‑on pu faire un autre choix pour cette initialisation ?
2. Modifier le programme de l'exercice précédent pour trouver la primitive \text{K} de la fonction k définie, pour tout x \in \R, par k(x) = 1 + 3x + 3x^2 + x^3 vérifiant \text{K}(0) = 6.
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Exercice 21
Dans l'algorithme suivant, on considère deux fonctions \text{F} et \text{G} définies pour tout x \in [0\: ; 1].
1. Rappeler le critère permettant d'affirmer que deux fonctions sont primitives d'une même fonction.
2. À l'aide de ce critère, compléter l'algorithme suivant afin qu'il permette de conjecturer si les fonctions \text{F} et \text{G} sont primitives d'une même fonction.
1. Rappeler le critère permettant d'affirmer que deux fonctions sont primitives d'une même fonction.
2. À l'aide de ce critère, compléter l'algorithme suivant afin qu'il permette de conjecturer si les fonctions \text{F} et \text{G} sont primitives d'une même fonction.
\boxed{
\begin{array} { r|l }
1 & \text{Entrée : F et G deux fonctions définies sur [0 ; 1]} \\
2 & a\leftarrow \text{F(0)} - \text{G(0)} \\
3 & \text{Pour } i \text{ entier dans [0 ; 1000] faire :} \\
4 & \quad \text{Si ...} \neq a \text{ alors :} \\
5 & \quad \quad \text{Retourner « Non »} \\
6 & \quad \text{Fin} \\
7 & \text{Fin} \\
8 & \text{Retourner « Hypothèse non réfutée »} \\
\end{array}
}
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Exercice 22
On considère une fonction f définie sur \R par f(x) = a\cos(x) + b\sin(x), où a et b désignent des coefficients réels quelconques.
1. Donner explicitement l'expression d'une primitive de f.
2. On modélise f par la liste \color{purple}\bf{[a,b]}. Compléter la fonction \color{purple}\bf{primitivetrigo} suivante qui prend en argument \color{purple}\bf{a} et \color{purple}\bf{b} et qui renvoie une liste \color{purple}\bf{[A,B]} modélisant une fonction \text{F} primitive de f.
1. Donner explicitement l'expression d'une primitive de f.
2. On modélise f par la liste \color{purple}\bf{[a,b]}. Compléter la fonction \color{purple}\bf{primitivetrigo} suivante qui prend en argument \color{purple}\bf{a} et \color{purple}\bf{b} et qui renvoie une liste \color{purple}\bf{[A,B]} modélisant une fonction \text{F} primitive de f.
def primitivetrigo(a,b): A = ... B = ... return [A,B]
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