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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Révisions Genially
Chapitre 11
Exercices

Python

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Consigne
Pour les exerices 17 à 20

On modélisera une fonction polynôme par la liste de ses coefficients.
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Exercice 17
Primitive d'une fonction affine
La fonction affine f définie sur \R par f(x) = 3 - 5x est modélisée par la liste \color{purple}\bf{[3,-5]}.

1. Quel est le degré d'un polynôme primitive de f ? En déduire la taille de la liste permettant de représenter cette primitive (on la notera \color{purple}\bf{F}).

2. Quelle valeur peut-on choisir pour \color{purple}\bf{F[0]} ?

3. Compléter le programme suivant afin qu'il affiche la liste \color{purple}\bf{F} correspondant à une primitive de la fonction f(x)=4+3 x.

f = [4,3]
F = []
F.append(...)
F.append(f[0])
F.append(...)
print(F)


4. Tester le programme avec d'autres fonctions affines.
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Exercice 18
Primitive d'un polynôme de degré 2
Le trinôme g(x) = 5 + 2x + 3x^2 est modélisé par la liste \color{purple}\bf{[5,2,3]}.

g = [5,4,3]
G = []
G.append(...)
G.append(...)
G.append(...)
G.append(...)
print(G)

1. a. Quel est le degré d'un polynôme primitive de g ? En déduire la taille de la liste permettant de représenter cette primitive (on la notera \color{purple}\bf{G}).

b. Quelle valeur peut-on choisir pour \color{purple}\bf{G[0]} ?

c. Modifier le programme précédent pour qu'il affiche la liste \color{purple}\bf{H} correspondant à une primitive de la fonction h définie sur \R par h(x) = -6 + 3x + 8x^2.

2. Tester le programme avec d'autres fonctions polynômes du second degré.
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Exercice 19
Primitive d'un polynôme : Cas général
On appelle fonction polynôme de degré n toute fonction p pour laquelle il existe n + 1 nombres réels a_0, ... , a_n tels que, pour tout x \in \R :
p(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots+a_{n} x^{n}.

1. Soit p un tel polynôme de degré n. Déterminer une primitive \text{P} de p sur \R.

2. Expliquer le fonctionnement du programme ci‑dessous, écrit en langage Python.

def primitive_polynome(p):
  P = [0]
  for i in range(len(p)):
    P.append(p[i]/(i+1))
    return P


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Exercice 20
Primitive d'un polynôme avec valeur initiale
Dans le programme de l'exercice précédent, on initialise la liste \color{purple}\bf{P} à \color{purple}\bf{[0]} à la ligne 2.

1. Aurait‑on pu faire un autre choix pour cette initialisation ?

2. Modifier le programme de l'exercice précédent pour trouver la primitive \text{K} de la fonction k définie, pour tout x \in \R, par k(x) = 1 + 3x + 3x^2 + x^3 vérifiant \text{K}(0) = 6.



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Exercice 21
Dans l'algorithme suivant, on considère deux fonctions \text{F} et \text{G} définies pour tout x \in [0\: ; 1].

1. Rappeler le critère permettant d'affirmer que deux fonctions sont primitives d'une même fonction.

2. À l'aide de ce critère, compléter l'algorithme suivant afin qu'il permette de conjecturer si les fonctions \text{F} et \text{G} sont primitives d'une même fonction.

\boxed{ \begin{array} { r|l } 1 & \text{Entrée : F et G deux fonctions définies sur [0 ; 1]} \\ 2 & a\leftarrow \text{F(0)} - \text{G(0)} \\ 3 & \text{Pour } i \text{ entier dans [0 ; 1000] faire :} \\ 4 & \quad \text{Si ...} \neq a \text{ alors :} \\ 5 & \quad \quad \text{Retourner « Non »} \\ 6 & \quad \text{Fin} \\ 7 & \text{Fin} \\ 8 & \text{Retourner « Hypothèse non réfutée »} \\ \end{array} }


  
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Exercice 22
On considère une fonction f définie sur \R par f(x) = a\cos(x) + b\sin(x),a et b désignent des coefficients réels quelconques.

1. Donner explicitement l'expression d'une primitive de f.

2. On modélise f par la liste \color{purple}\bf{[a,b]}. Compléter la fonction \color{purple}\bf{primitivetrigo} suivante qui prend en argument \color{purple}\bf{a} et \color{purple}\bf{b} et qui renvoie une liste \color{purple}\bf{[A,B]} modélisant une fonction \text{F} primitive de f.
def primitivetrigo(a,b):
  A = ...
  B = ...
  return [A,B]

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