Calcul de primitives

Soient $\text{F}$ et $\text{G}$ deux primitives respectives de deux fonctions $f$ et $g$ sur un intervalle $\text{I.}$

• Une primitive de la fonction $f+g$ sur $\text{I}$ est donnée par la fonction $\text{F + G.}$
• Une primitive de la fonction $\lambda f$ sur $\text{I}$ est donnée par la fonction $\lambda \text{F},$ avec $\lambda \in \mathbb{R}.$

Une primitive de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^4+3x^2+5x$ est la fonction $\text{F}$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\mathrm{F}(x)=\frac{x^5}{5}+\frac{3x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}.$

Déterminer une primitive de la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(t)=8\cos \left(2t-\frac{\pi }{2}\right)+3t.$

• On vérifie que $h$ est bien écrite sous la forme de somme de fonctions de référence.
• Pour déterminer une primitive $\text{H}$ de $h,$ on détermine une primitive de chaque terme de la somme.

On étudie une somme de fonctions. Pour calculer une primitive de la fonction $h,$ on primitive chacun des termes de la somme.
Pour tout $t\in \mathbb{R},$ on a $h(t)=8\cos \left(2t-\frac{\pi }{2}\right)+3t.$
Une primitive de la fonction $h$ est donc la fonction $\text{H}$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\mathrm{H}(t)=8\times \left[\frac{1}{2}\sin \left(2t-\frac{\pi }{2}\right)\right]+3\times \left(\frac{1}{2}{t}^2\right),$ soit $\mathrm{H}(t)=4\sin \left(2t-\frac{\pi }{2}\right)+\frac{3}{2}{t}^2.$

Pour s'entraîner : exercices

36

et

37 p. 271