Mathématiques 1re Techno

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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Révisions Genially
Chapitre 11
Cours 2

Calcul de primitives

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Propriétés : Primitives des fonctions de référence
À l'aide des dérivées des fonctions de référence, on obtient le tableau des primitives suivant.
Fonction fUne primitive \text{F}Un intervalle \text{I}
x \mapsto a avec a \in \mathbb{R}x \mapsto a x\R
x \mapsto xx \mapsto \frac{1}{2} x^{2}\R
x \mapsto x^2x \mapsto \frac{1}{3} x^{3}\R
x \mapsto x^{n} avec n \in \mathbb{N}x \mapsto \frac{1}{n+1} x^{n+1}\R
x\mapsto \mathrm{A} \cos (\omega x+\varphi),\mathrm{A}, \omega et \varphi sont des réels avec \omega \neq 0x \mapsto \frac{\mathrm{A}}{\omega} \sin (\omega x+\varphi)\R
x\mapsto \mathrm{A} \sin (\omega x+\varphi),\mathrm{A}, \omega et \varphi sont des réels avec \omega \neq 0x \mapsto-\frac{\mathrm{A}}{\omega} \cos (\omega x+\varphi)\R

Remarque
Si une fonction f définie sur \text{I} admet une primitive \text{F} sur \text{I,} alors f admet une infinité de primitives : ce sont les fonctions de la forme \text{F} + k,k désigne un nombre réel.
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Exemple
Une primitive de la fonction f définie sur \R par f(x)=x^{3} est la fonction \text{F} définie sur \R par \mathrm{F}(x)=\frac{1}{3+1} x^{3+1}=\frac{1}{4} x^{4}.

Remarque
Les primitives de f sont données par x \mapsto \frac{x^{4}}{4}+k,k est un nombre réel.
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Propriétés
Soient \text{F} et \text{G} deux primitives respectives de deux fonctions f et g sur un intervalle \text{I.}
  • Une primitive de la fonction f + g sur \text{I} est donnée par la fonction \text{F + G.}
  • Une primitive de la fonction \lambda f sur \text{I} est donnée par la fonction \lambda \text{F}, avec \lambda \in \R.
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Exemple
Une primitive de la fonction f définie sur \R par f(x) = x^4 + 3x^2 + 5x est la fonction \text{F} définie sur \R par \mathrm{F}(x)=\frac{x^{5}}{5}+\frac{3 x^{3}}{3}+\frac{5 x^{2}}{2}.
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Application et méthode - 3

Calculer une primitive d'une fonction

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Énoncé
Déterminer une primitive de la fonction h définie sur \R par h(t)=8 \cos \left(2 t-\frac{\pi}{2}\right)+3 t.
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Méthode

  • On vérifie que h est bien écrite sous la forme de somme de fonctions de référence.
  • Pour déterminer une primitive \text{H} de h, on détermine une primitive de chaque terme de la somme.


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Solution
On étudie une somme de fonctions. Pour calculer une primitive de la fonction h, on primitive chacun des termes de la somme.
Pour tout t \in \R , on a h(t)=8 {\color{red}\cos \left(2 t-\frac{\pi}{2}\right)}+3 {\color{green}t}.
Une primitive de la fonction h est donc la fonction \text{H} définie sur \R par \mathrm{H}(t)=8 \times {\color{red}\left[\frac{1}{2} \sin \left(2 t-\frac{\pi}{2}\right)\right]}+3 \times {\color{green}\left(\frac{1}{2} t^{2}\right)}, soit \mathrm{H}(t)=4 \sin \left(2 t-\frac{\pi}{2}\right)+\frac{3}{2} t^{2}.

Pour s'entraîner : exercices et

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