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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 10
Exercices
Synthèse
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Exercice 98GEOGEBRA
[Calculer, Raisonner.]
On s'intéresse à un point mobile du plan muni d'un repère orthonormé (\text{O ;} \vec{i}, \vec{j}).
Ce point décrit une spirale, c'est-à-dire que ses coordonnées
\left(x^{\prime}(t) ; y^{\prime}(t)\right) peuvent s'exprimer, en fonction du temps t \in \mathbb{R}, de la façon suivante :
\left\{\begin{array}{l} x(t)=t \cos (t) \\ y(t)=t \sin (t) \end{array}\right.
1. En dérivant séparément les abscisses et les ordonnées du point par rapport au temps, déterminer les coordonnées \left(x^{\prime}(t) ; y^{\prime}(t)\right) du vecteur vitesse du point.
2. En dérivant séparément les abscisses et les ordonnées du vecteur vitesse par rapport au temps, déterminer les coordonnées du vecteur accélération du point.
3. Ouvrir GeoGebra et utiliser la commande Courbe pour tracer la spirale sur l'intervalle \text{[0 ; 15]}.
\left\{\begin{array}{l} x(t)=t \cos (t) \\ y(t)=t \sin (t) \end{array}\right.
1. En dérivant séparément les abscisses et les ordonnées du point par rapport au temps, déterminer les coordonnées \left(x^{\prime}(t) ; y^{\prime}(t)\right) du vecteur vitesse du point.
2. En dérivant séparément les abscisses et les ordonnées du vecteur vitesse par rapport au temps, déterminer les coordonnées du vecteur accélération du point.
3. Ouvrir GeoGebra et utiliser la commande Courbe pour tracer la spirale sur l'intervalle \text{[0 ; 15]}.
GeoGebra
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Exercice 99GEOGEBRA
[Calculer, Raisonner..]
On s'intéresse à un point mobile du plan muni d'un repère orthonormé (\mathrm{O}\,; \vec{i}, \vec{j}).
Ce point décrit une cycloïde de rayon fixé \text{R}, c'est-à-dire que ses coordonnées (x(t) ; y(t)) peuvent s'exprimer, en fonction du temps t \in \mathbb{R}, de la façon suivante :
\left\{\begin{array}{l} x(t)=\mathrm{R}(t-\sin (t)) \\ y(t)=\mathrm{R}(1-\cos (t)) \end{array}\right.
1. En dérivant séparément les abscisses et les ordonnées du point par rapport au temps, déterminer les coordonnées \left(x^{\prime}(t) ; y^{\prime}(t)\right) du vecteur vitesse du point.
2. En dérivant séparément les abscisses et les ordonnées du vecteur vitesse par rapport au temps, déterminer les coordonnées du vecteur accélération du point.
3. Ouvrir GeoGebra et utiliser la commande Courbe pour tracer la cycloïde de rayon \text{R = 2} sur l'intervalle \text{[-12,5 ; 12,5]}.
\left\{\begin{array}{l} x(t)=\mathrm{R}(t-\sin (t)) \\ y(t)=\mathrm{R}(1-\cos (t)) \end{array}\right.
1. En dérivant séparément les abscisses et les ordonnées du point par rapport au temps, déterminer les coordonnées \left(x^{\prime}(t) ; y^{\prime}(t)\right) du vecteur vitesse du point.
2. En dérivant séparément les abscisses et les ordonnées du vecteur vitesse par rapport au temps, déterminer les coordonnées du vecteur accélération du point.
3. Ouvrir GeoGebra et utiliser la commande Courbe pour tracer la cycloïde de rayon \text{R = 2} sur l'intervalle \text{[-12,5 ; 12,5]}.
GeoGebra
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Exercice 100GEOGEBRA
[Calculer, Raisonner.]
On s'intéresse à un point mobile du plan muni d'un repère orthonormé (\mathrm{O}\;; \vec{i}, \vec{j}).
Ce point décrit une courbe de Lissajous, c'est-à-dire que ses coordonnées \text{(x(t) ; y(t))} peuvent s'exprimer, en fonction du temps t \in \mathbb{R}, de la façon suivante :
1. En dérivant séparément les abscisses et les ordonnées du point par rapport au temps, déterminer les coordonnées du vecteur vitesse \left(x^{\prime}(t) ; y^{\prime}(t)\right) du point.
2. a. En dérivant séparément les abscisses et les ordonnées du vecteur vitesse par rapport au temps, déterminer les coordonnées du vecteur accélération du point.
b. Pour quelles valeurs de t le vecteur accélération est-il nul ? Quelle sera alors la position du point ?
3. Ouvrir GeoGebra et utiliser la commande Courbe pour tracer la courbe de Lissajous sur l'intervalle [-\pi\;; \pi].
Ce point décrit une courbe de Lissajous, c'est-à-dire que ses coordonnées \text{(x(t) ; y(t))} peuvent s'exprimer, en fonction du temps t \in \mathbb{R}, de la façon suivante :
\left\{\begin{array}{l}
x(t)=\sin (2 t) \\
y(t)=\sin (3 t)
\end{array}\right.
1. En dérivant séparément les abscisses et les ordonnées du point par rapport au temps, déterminer les coordonnées du vecteur vitesse \left(x^{\prime}(t) ; y^{\prime}(t)\right) du point.
2. a. En dérivant séparément les abscisses et les ordonnées du vecteur vitesse par rapport au temps, déterminer les coordonnées du vecteur accélération du point.
b. Pour quelles valeurs de t le vecteur accélération est-il nul ? Quelle sera alors la position du point ?
3. Ouvrir GeoGebra et utiliser la commande Courbe pour tracer la courbe de Lissajous sur l'intervalle [-\pi\;; \pi].
GeoGebra
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Exercice 101 [Raisonner, Communiquer.]
On s'intéresse à l'évolution de l'avancement x, exprimé en mmol, d'une transformation chimique.
On rappelle que la vitesse volumique d'une réaction, notée v(t) et exprimée en mmol/L·s, est calculée à l'aide de la formule v(t)=\frac{1}{\mathrm{V}} \times \frac{d x}{d t}, où \text{V} est le volume total de la solution, en litre.
Dans cet exercice, on pose \text{V} = 0,5 L.
Partie A : Lecture graphique
On a représenté ci-dessous la courbe de l'avancement x(t), en mmol, en fonction du temps t, en seconde, sur laquelle on a tracé les tangentes aux points \text{A, B} et \text{C} d'abscisses \text{0, 10} et 20.
1. À l'aide de la courbe, déterminer la vitesse volumique de la réaction à l'instant initial, au bout de 10 secondes et au bout de 20 secondes.
2. Compléter la phrase : « Plus l'avancement augmente, plus la vitesse volumique… ».
Partie B : Lecture graphique
On admet que l'avancement est modélisé par la fonction x définie sur [0\,; 30] par x(t)=-0,02 t^{2}+1,2 t.
1. Exprimer, en fonction de t, la vitesse volumique v(t).
2. Retrouver par un calcul les résultats de la question 1. de la première partie.
3. L'étude des variations de v confirme-t-elle la conjecture émise à la question 2. de la première partie ? Comment cela peut-il s'expliquer ?
On rappelle que la vitesse volumique d'une réaction, notée v(t) et exprimée en mmol/L·s, est calculée à l'aide de la formule v(t)=\frac{1}{\mathrm{V}} \times \frac{d x}{d t}, où \text{V} est le volume total de la solution, en litre.
Dans cet exercice, on pose \text{V} = 0,5 L.
Partie A : Lecture graphique
On a représenté ci-dessous la courbe de l'avancement x(t), en mmol, en fonction du temps t, en seconde, sur laquelle on a tracé les tangentes aux points \text{A, B} et \text{C} d'abscisses \text{0, 10} et 20.
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1. À l'aide de la courbe, déterminer la vitesse volumique de la réaction à l'instant initial, au bout de 10 secondes et au bout de 20 secondes.
2. Compléter la phrase : « Plus l'avancement augmente, plus la vitesse volumique… ».
Partie B : Lecture graphique
On admet que l'avancement est modélisé par la fonction x définie sur [0\,; 30] par x(t)=-0,02 t^{2}+1,2 t.
1. Exprimer, en fonction de t, la vitesse volumique v(t).
2. Retrouver par un calcul les résultats de la question 1. de la première partie.
3. L'étude des variations de v confirme-t-elle la conjecture émise à la question 2. de la première partie ? Comment cela peut-il s'expliquer ?
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Exercice 102 [Calculer, Raisonner.]
On considère un satellite tournant autour de la Terre
dans un repère orthonormé géocentrique (\mathrm{O}\,; \vec{i}, \vec{j}) d'unité le kilomètre.
Il fait un tour complet de la Terre en un jour.
Ses coordonnées (x(t) ; y(t)), en fonction du temps t, en heure, peuvent s'exprimer, pour tout t \in[0 ; 24], de la façon suivante : \left\{\begin{array}{l} x(t)=1000 \cos \left(\frac{\pi}{12} t+\frac{\pi}{3}\right) \\ \\ y(t)=1400 \sin \left(\frac{\pi}{12} t+\frac{\pi}{3}\right) \end{array}\right.
1. En dérivant séparément les abscisses et les ordonnées du point par rapport au temps, déterminer les coordonnées \left(x^{\prime}(t) ; y^{\prime}(t)\right) du vecteur vitesse du satellite.
2. En dérivant séparément les abscisses et les ordonnées du vecteur vitesse par rapport au temps, déterminer les coordonnées du vecteur accélération du satellite.
3. Vérifier qu'en choisissant judicieusement deux réels a et b, on obtient l'égalité :
Remarque
Le repère est géocentrique lorsque la Terre correspond à l'origine du repère.
Il fait un tour complet de la Terre en un jour.
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Ses coordonnées (x(t) ; y(t)), en fonction du temps t, en heure, peuvent s'exprimer, pour tout t \in[0 ; 24], de la façon suivante : \left\{\begin{array}{l} x(t)=1000 \cos \left(\frac{\pi}{12} t+\frac{\pi}{3}\right) \\ \\ y(t)=1400 \sin \left(\frac{\pi}{12} t+\frac{\pi}{3}\right) \end{array}\right.
1. En dérivant séparément les abscisses et les ordonnées du point par rapport au temps, déterminer les coordonnées \left(x^{\prime}(t) ; y^{\prime}(t)\right) du vecteur vitesse du satellite.
2. En dérivant séparément les abscisses et les ordonnées du vecteur vitesse par rapport au temps, déterminer les coordonnées du vecteur accélération du satellite.
3. Vérifier qu'en choisissant judicieusement deux réels a et b, on obtient l'égalité :
\frac{[x(t)]^{2}}{a^{2}}+\frac{[y(t)]^{2}}{b^{2}}=1.
Remarque
Cette égalité signifie que la trajectoire du satellite est une ellipse.
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Exercice 103GEOGEBRA
[Modéliser, Calculer.]
On s'intéresse aux bénéfices d'une entreprise vendant des jeux vidéo.
On note x le nombre de jeux vidéo fabriqués, exprimé en dizaine. Sur un mois, l'entreprise produit jusqu'à 900 jeux vidéo qui sont tous vendus.
La fonction \text{C} modélisant les coûts de production, en centaine d'euros, en fonction de x a pour expression
Partie A : Lecture graphique
Un jeu coûte \text{13,50 €}. On note \text{R} la fonction recette, exprimée en centaine d'euros, sur l'intervalle [0\,; 90].
1. Justifier que, pour tout x \in[0 ; 90], \mathrm{R}(x)=1,35 x.
2. Sur la calculatrice ou GeoGebra, tracer les courbes représentatives des fonctions coûts \text{C} et recette \text{R}.
3. Déterminer graphiquement l'intervalle de production permettant de réaliser un bénéfice.
4. Déterminer graphiquement la quantité de jeux vidéo à fabriquer pour réaliser un bénéfice maximal.
Partie B : Étude algébrique
On note \text{B} la fonction bénéfice réalisée par l'entreprise en fonction de x sur l'intervalle [0\,; 90]..
1. Justifier que pour tout x \in[0\,; 90] :
2. Montrer que pour tout x \in[0\,; 90]:
3. À partir de l'étude du signe de \mathrm{B}^{\prime}(x), dresser le tableau de variations de B sur l'intervalle [0\,; 90].
4. Quelle est alors la quantité de jeux vidéo à fabriquer pour obtenir un bénéfice maximal ? Quel est, en euro, le montant de ce bénéfice ?
On note x le nombre de jeux vidéo fabriqués, exprimé en dizaine. Sur un mois, l'entreprise produit jusqu'à 900 jeux vidéo qui sont tous vendus.
La fonction \text{C} modélisant les coûts de production, en centaine d'euros, en fonction de x a pour expression
\mathrm{C}(x)=0,001 x^{3}-0,105 x^{2}+3,15 x+8.
Partie A : Lecture graphique
Un jeu coûte \text{13,50 €}. On note \text{R} la fonction recette, exprimée en centaine d'euros, sur l'intervalle [0\,; 90].
1. Justifier que, pour tout x \in[0 ; 90], \mathrm{R}(x)=1,35 x.
2. Sur la calculatrice ou GeoGebra, tracer les courbes représentatives des fonctions coûts \text{C} et recette \text{R}.
GeoGebra
3. Déterminer graphiquement l'intervalle de production permettant de réaliser un bénéfice.
4. Déterminer graphiquement la quantité de jeux vidéo à fabriquer pour réaliser un bénéfice maximal.
Partie B : Étude algébrique
On note \text{B} la fonction bénéfice réalisée par l'entreprise en fonction de x sur l'intervalle [0\,; 90]..
1. Justifier que pour tout x \in[0\,; 90] :
\mathrm{B}(x)=-0,001 x^{3}+0,105 x^{2}-1,8 x-8.
2. Montrer que pour tout x \in[0\,; 90]:
\mathrm{B}^{\prime}(x)=-0,003(x-10)(x-60).
3. À partir de l'étude du signe de \mathrm{B}^{\prime}(x), dresser le tableau de variations de B sur l'intervalle [0\,; 90].
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4. Quelle est alors la quantité de jeux vidéo à fabriquer pour obtenir un bénéfice maximal ? Quel est, en euro, le montant de ce bénéfice ?
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Exercice 104 [Modéliser, Calculer.]
Dans un disque de rayon 30 cm, on découpe un secteur de mesure \alpha radian. On superpose ensuite les bords du disque restant pour obtenir un cône de révolution.
On note alors h la hauteur du cône et \text{R} le rayon de la base du cône.
1. Justifier que \mathrm{R}^{2}=900-h^{2}.
2. On rappelle que le volume d'un cône est donné par la formule :
3. Montrer que V^{\prime}(h)=\pi \times(10 \sqrt{3}-h) \times(10 \sqrt{3}+h).
4. Étudier les variations de la fonction \text{V} sur l'intervalle [0\,; 30].
5. a. Quelle est la valeur de h rendant le volume du cône maximal ? Que vaut alors le volume du cône ? Donner les valeurs exactes.
b. Quelles sont dans ce cas-là les dimensions du cône ?
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1. Justifier que \mathrm{R}^{2}=900-h^{2}.
2. On rappelle que le volume d'un cône est donné par la formule :
\mathrm{V}=\frac{1}{3} \times \text { AireBase } \times h.
Exprimer l'aire \mathrm{V}(h) du cône en fonction de h.
3. Montrer que V^{\prime}(h)=\pi \times(10 \sqrt{3}-h) \times(10 \sqrt{3}+h).
4. Étudier les variations de la fonction \text{V} sur l'intervalle [0\,; 30].
5. a. Quelle est la valeur de h rendant le volume du cône maximal ? Que vaut alors le volume du cône ? Donner les valeurs exactes.
b. Quelles sont dans ce cas-là les dimensions du cône ?
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Exercice 105 [Représenter, Calculer.]
Une fonction de plusieurs variables est une fonction dont les images vont être calculées à partir d'au moins deux variables.
On s'intéresse à la fonction f de deux variables x et y définie par l'expression :
1. Calculer f(10 ; 5).
Il y a alors deux dérivées de cette fonction f, selon que l'on dérive par rapport à la 1re ou la 2e variable.
Ces deux dérivées sont appelées fonctions dérivées partielles de f. La dérivée partielle en fonction de x, notée \frac{\partial f}{\partial x}, décrit la façon dont f varie en fonction de x si y est maintenu constant ; et la dérivée partielle en fonction de y, notée \frac{\partial f}{\partial y}, décrit la façon dont f varie en fonction de y si x est maintenu constant.
2. Calculer les dérivées partielles de f par rapport à x et y.
3. Les dérivées partielles sont utilisées pour trouver le gradient, qui est le vecteur dont les coordonnées sont les dérivées partielles de f. On note \overrightarrow{\operatorname{grad}} f=\left(\frac{\partial f}{\partial x} ; \frac{\partial f}{\partial y}\right).
Calculer le gradient de la fonction f.
Le vecteur gradient pointe dans la direction de plus forte croissance de la fonction.
4. Représenter la fonction f sur son ensemble de définition à l'aide du logiciel GeoGebra en cliquant sur « Affichage », « Graphique 3D ».
5. Reprendre les trois questions précédentes pour la fonction f de deux variables x et y définie par :
On s'intéresse à la fonction f de deux variables x et y définie par l'expression :
f(x ; y)=-\frac{x^{2}}{20}+\frac{y^{2}}{25}
avec
x \in[-15\,; 15] et y \in[-15\,; 15] .
1. Calculer f(10 ; 5).
Il y a alors deux dérivées de cette fonction f, selon que l'on dérive par rapport à la 1re ou la 2e variable.
Ces deux dérivées sont appelées fonctions dérivées partielles de f. La dérivée partielle en fonction de x, notée \frac{\partial f}{\partial x}, décrit la façon dont f varie en fonction de x si y est maintenu constant ; et la dérivée partielle en fonction de y, notée \frac{\partial f}{\partial y}, décrit la façon dont f varie en fonction de y si x est maintenu constant.
2. Calculer les dérivées partielles de f par rapport à x et y.
3. Les dérivées partielles sont utilisées pour trouver le gradient, qui est le vecteur dont les coordonnées sont les dérivées partielles de f. On note \overrightarrow{\operatorname{grad}} f=\left(\frac{\partial f}{\partial x} ; \frac{\partial f}{\partial y}\right).
Calculer le gradient de la fonction f.
Le vecteur gradient pointe dans la direction de plus forte croissance de la fonction.
4. Représenter la fonction f sur son ensemble de définition à l'aide du logiciel GeoGebra en cliquant sur « Affichage », « Graphique 3D ».
GeoGebra
Remarque
La courbe obtenue s'appelle une paraboloïde hyperbolique, surnommée aussi « selle de cheval ». Cette forme se retrouve en architecture, et aussi sur une marque de chips bien connue !
5. Reprendre les trois questions précédentes pour la fonction f de deux variables x et y définie par :
f(x ; y)=x^{3}-3 x y^{2}
avec x \in[-5\,; 5] et y \in[-5\,; 5].
Sa courbe est surnommée « selle de singe ».
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Exercice 106GEOGEBRA
[Chercher, Représenter.]
On considère la fonction inverse f(x)=\frac{1}{x} définie sur \mathbb{R}^{*}.
1. Représenter cette fonction à l'aide du logiciel GeoGebra.
2. Cas particulier
a. Placer les points \text{A} et \text{B} sur la courbe, d'abscisse respective -2 et 2.
b. À l'aide de l'outil « Tangentes », tracer les tangentes à la courbe représentative de f aux points \text{A} et \text{B}.
c. Que constate-t-on ?
3. Cas général
a. Déplacer les points \text{A} et \text{B} le long de la courbe de façon que leurs abscisses restent des valeurs opposées. Que constate-t-on ?
b. Conjecturer : soit a un réel non nul. Que peut-on dire alors des tangentes à la courbe représentative de la fonction inverse aux points d'abscisses a et -a ?
4. Démonstration de la conjecture
a. Quelle est l'expression de la fonction dérivée de la fonction inverse ?
b. Quelles sont les images possibles de cette fonction dérivée ?
c. Justifier que l'équation f^{\prime}(x)=k, avec k un réel fixé dans l'ensemble image de la question précédente, admet exactement deux solutions opposées.
d. Conclure.
1. Représenter cette fonction à l'aide du logiciel GeoGebra.
GeoGebra
2. Cas particulier
a. Placer les points \text{A} et \text{B} sur la courbe, d'abscisse respective -2 et 2.
b. À l'aide de l'outil « Tangentes », tracer les tangentes à la courbe représentative de f aux points \text{A} et \text{B}.
c. Que constate-t-on ?
3. Cas général
a. Déplacer les points \text{A} et \text{B} le long de la courbe de façon que leurs abscisses restent des valeurs opposées. Que constate-t-on ?
b. Conjecturer : soit a un réel non nul. Que peut-on dire alors des tangentes à la courbe représentative de la fonction inverse aux points d'abscisses a et -a ?
4. Démonstration de la conjecture
a. Quelle est l'expression de la fonction dérivée de la fonction inverse ?
b. Quelles sont les images possibles de cette fonction dérivée ?
c. Justifier que l'équation f^{\prime}(x)=k, avec k un réel fixé dans l'ensemble image de la question précédente, admet exactement deux solutions opposées.
d. Conclure.
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Club de maths
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Exercice 107
Casse-tête
La fonction f est un quotient de deux fonctions affines,
non définie en -3, telle que f(1)=0 et f^{\prime}(1)=\frac{1}{2}.
Quelle est l'expression de f ?
Quelle est l'expression de f ?
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Exercice 108
Énigme
On s'intéresse à la fonction f définie sur \R par {f(x)=\cos (2 x)}.
Combien de fois faudrait-il dériver la fonction f pour que la fonction dérivée obtenue soit égale à 4096 \times f(x) ? Est-il possible d'arriver à 8192 \times f(x) ?
Combien de fois faudrait-il dériver la fonction f pour que la fonction dérivée obtenue soit égale à 4096 \times f(x) ? Est-il possible d'arriver à 8192 \times f(x) ?
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Exercice 109
Défi
On considère la fonction f définie par f(x)=\sin (x)
sur l'intervalle ]-\pi ; \pi]. Existe-t-il des tangentes à la courbe qui sont perpendiculaires entre elles ?
Indication
On rappelle que deux droites sont perpendiculaires si le produit de leurs coefficients directeurs vaut -1.
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Exercice 110
Casse-tête
Une voiture se déplace dans un plan muni d'un repère orthonormé (\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}). Ses coordonnées (x(t) ; y(t)) peuvent s'exprimer en fonction du temps t en seconde de la façon suivante :
\left\{\begin{array}{l}
x(t)=t^{3}-10 t^{2}+20 t+10 \\
y(t)=1-5 t
\end{array}\right.
Montrer que, dans les dix premières secondes, la voiture
fait un double virage.
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Exercice 111
Énigme
Soit n un entier naturel non nul. On considère la fonction puissance f définie, pour tout x \in \mathbb{R}, par f(x)=x^{n}.
1. Quelle est la valeur obtenue si on dérive la fonction n fois de suite ?
2. Dans ce cas, si la valeur obtenue est \text{5 040}, quelle était la fonction puissance de départ ?
1. Quelle est la valeur obtenue si on dérive la fonction n fois de suite ?
2. Dans ce cas, si la valeur obtenue est \text{5 040}, quelle était la fonction puissance de départ ?
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