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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 9
Entraînement 2
Fonctions dérivées
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ConsignePour les à
En utilisant les dérivées des fonctions usuelles ainsi que les formules des opérations et compositions de fonctions, calculer et simplifier les dérivées des fonctions f et g sur l'intervalle donné.
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Exercice 71
[Calculer.]
1.
f(x)=x^{3}+\frac{5}{x} sur \mathbb{R} \backslash\{0\}.
2. g(x)=-4 x^{5}-\frac{12}{x} sur \mathbb{R} \backslash\{0\}.
2. g(x)=-4 x^{5}-\frac{12}{x} sur \mathbb{R} \backslash\{0\}.
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Exercice 72
[Calculer.]
1.
f(x)=\frac{2}{3} x^{3}+\frac{1}{6} x^{2}-\frac{5}{2} x+\frac{7}{3} sur \mathbb{R}.
2. g(x)=-\frac{3}{5} x^{5}+\frac{1}{4} x^{2}+\frac{9}{4} x+24 \text { sur } \mathbb{R} sur \mathbb{R}.
2. g(x)=-\frac{3}{5} x^{5}+\frac{1}{4} x^{2}+\frac{9}{4} x+24 \text { sur } \mathbb{R} sur \mathbb{R}.
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Exercice 73
[Calculer.]
1.
f(x)=\frac{2}{3} x^{4}-\frac{1}{5} x^{3}+\frac{1}{4} x^{2}+\frac{5}{6} x-\frac{4}{3} sur \R.
2. g(x)=\frac{3}{5} x^{10}+\frac{3}{4} x^{7}+\frac{2}{7} x^{5}-\frac{1}{6} x^{3}-\frac{5}{2} x sur \R.
2. g(x)=\frac{3}{5} x^{10}+\frac{3}{4} x^{7}+\frac{2}{7} x^{5}-\frac{1}{6} x^{3}-\frac{5}{2} x sur \R.
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Exercice 74
[Calculer.]
1.
f(t)=\cos (t)+\sin (t) sur \R.
2. g(t)=\cos (t)-\sin (t) sur \R.
2. g(t)=\cos (t)-\sin (t) sur \R.
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Exercice 75
[Calculer.]
1.
f(t)=5 \cos (t)-10 \sin (t) sur \R.
2. g(t)=10 \sin (t)-3 \cos (t) sur \R.
2. g(t)=10 \sin (t)-3 \cos (t) sur \R.
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Exercice 76
[Calculer.]
1.
f(x)=x \cos (x)-x^{2} sur \R.
2. g(x)=-x^{2} \sin (x) sur \R.
2. g(x)=-x^{2} \sin (x) sur \R.
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Exercice 77
[Calculer.]
1. f(x)=\cos (x) \sin (x) sur \R.
2. g(x)=\left(x^{2}+x-3\right) \sin (6-2 x) sur \R.
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Exercice 78
[Calculer.]
1.
f(x)=\sin ^{2}(x) sur \mathbb{R}.
2. g(x)=\frac{1}{\cos (x)} sur ]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}[.
2. g(x)=\frac{1}{\cos (x)} sur ]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}[.
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Exercice 79
[Calculer.]
1.
f(x)=\frac{1}{x^{2}+x+5} sur \mathbb{R}.
2. g(x)=\frac{1}{\cos (x)} sur ]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}[.
2. g(x)=\frac{1}{\cos (x)} sur ]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}[.
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Exercice 80
[Calculer.]
1.
f(x)=\frac{2}{3 x^{4}}-\frac{5}{6 x^{3}}+\frac{3}{2 x}-1 sur \mathbb{R} \backslash\{0\}.
2. g(x)=x^{23}-\frac{11}{10 x^{10}}+\frac{14}{3 x^{6}}-\frac{3}{5 x^{3}} sur \mathbb{R} \backslash\{0\}.
2. g(x)=x^{23}-\frac{11}{10 x^{10}}+\frac{14}{3 x^{6}}-\frac{3}{5 x^{3}} sur \mathbb{R} \backslash\{0\}.
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Exercice 81
[Calculer.]
1.
f(x)=\frac{x^{2}+1}{1+2 x+x^{2}} sur \mathbb{R} \backslash\{-1\}.
2. g(x)=\frac{3+4 x+2 x^{2}}{x^{3}} sur \mathbb{R} \backslash\{0\}.
2. g(x)=\frac{3+4 x+2 x^{2}}{x^{3}} sur \mathbb{R} \backslash\{0\}.
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Exercice 82
[Modéliser.]
Dans une solution, on étudie le nombre de bactéries f(t), en million, en fonction du temps t, exprimé en heure. On admet que f(t)=5 t^{2}(-t+3)+1 sur [0\,; 2].
1. Calculer, pour tout t \in[0 ; 2], f^{\prime}(t).
2. On admet que f^{\prime}(t) correspond à la vitesse d'évolution instantanée de la population de bactéries en million par heure.
Sur quel intervalle la vitesse d'évolution est-elle croissante ? Décroissante ?
1. Calculer, pour tout t \in[0 ; 2], f^{\prime}(t).
2. On admet que f^{\prime}(t) correspond à la vitesse d'évolution instantanée de la population de bactéries en million par heure.
Sur quel intervalle la vitesse d'évolution est-elle croissante ? Décroissante ?
Aide
On pourra étudier la dérivée de f^{\prime }, notée f^{\prime \prime}.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
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Exercice 83
Vrai / Faux
[Communiquer.]
Justifier si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse.
1. La fonction f définie par f(x)=\sin (2 x) est croissante sur \left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right].
2. La fonction g définie par g(x)=5 \cos \left(\frac{\pi-x}{3}\right) ne change pas de sens de variation sur [-\pi ; \pi].
3. La fonction h définie sur \R par h(x)=9 x^{2}+3 x-2 admet un minimum sur \R.
4. La fonction k définie sur \R par k(x)=-x^{3}+5 x^{2}+21 est d'abord décroissante.
1. La fonction f définie par f(x)=\sin (2 x) est croissante sur \left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right].
2. La fonction g définie par g(x)=5 \cos \left(\frac{\pi-x}{3}\right) ne change pas de sens de variation sur [-\pi ; \pi].
3. La fonction h définie sur \R par h(x)=9 x^{2}+3 x-2 admet un minimum sur \R.
4. La fonction k définie sur \R par k(x)=-x^{3}+5 x^{2}+21 est d'abord décroissante.
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Exercice 84
Vrai / Faux
[Communiquer.]
On considère le tableau de variations de la fonction f définie sur ]-\infty ; 1[\cup] 1 ;+\infty[.
Justifier si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse.
1. f est décroissante sur l'intervalle [-5 ; 10].
2. 6 est le maximum de f sur son ensemble de définition.
3. La courbe représentative de f admet exactement deux tangentes horizontales.
4. La tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 0 a un coefficient directeur positif.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Justifier si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse.
1. f est décroissante sur l'intervalle [-5 ; 10].
2. 6 est le maximum de f sur son ensemble de définition.
3. La courbe représentative de f admet exactement deux tangentes horizontales.
4. La tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 0 a un coefficient directeur positif.
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ConsignePour les à
Pour chacune des fonctions f et g, dresser son tableau de variations sur l'intervalle donné en étudiant le signe de la dérivée.
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Exercice 85
[Raisonner.]
1.
f(t)=\sin (t)+2 t sur \mathbb{R}.
2. g(t)=5 t+\cos (3 t) sur \mathbb{R}.
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2. g(t)=5 t+\cos (3 t) sur \mathbb{R}.
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Exercice 86
[Raisonner.]
1.
f(x)=\frac{1+x}{x-12} sur \mathbb{R} \backslash\{12\}.
2. g(x)=\frac{10}{x^{2}+4} sur \mathbb{R}.
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2. g(x)=\frac{10}{x^{2}+4} sur \mathbb{R}.
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Exercice 87
[Raisonner.]
1.
f(x)=\frac{x^{2}}{x+1} sur \mathbb{R} \backslash\{-1\}.
2. g(x)=\frac{3 x^{2}}{5-x} sur \mathbb{R} \backslash\{5\}
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2. g(x)=\frac{3 x^{2}}{5-x} sur \mathbb{R} \backslash\{5\}
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Indication
Factoriser par un facteur commun le numérateur
de la dérivée.
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Exercice 88
[Raisonner.]
1.
f(x)=\frac{3 x^{2}-6}{16-x^{2}} sur ]-\infty ;-4[\cup]-4 ; 4[\cup] 4 ;+\infty[.
2. g(x)=\frac{1}{x-\sin \left(\frac{\pi+x}{6}\right)} sur \left[\frac{\pi}{2} ;+\infty[.\right.
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2. g(x)=\frac{1}{x-\sin \left(\frac{\pi+x}{6}\right)} sur \left[\frac{\pi}{2} ;+\infty[.\right.
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Exercice 89
[Raisonner.]
On considère la fonction f définie sur \R par :
1. Montrer que pour tout x \in \mathbb{R} :
2. Étudier le signe de f^{\prime}(x), puis dresser le tableau de variations de f sur \R.
f(x)=\frac{2 x}{x^{2}+1}.
1. Montrer que pour tout x \in \mathbb{R} :
f^{\prime}(x)=\frac{-2(x-1)(x+1)}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}.
2. Étudier le signe de f^{\prime}(x), puis dresser le tableau de variations de f sur \R.
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Exercice 90
[Raisonner.]
On considère la fonction f définie sur \R par :
1. Montrer que pour tout x \in \mathbb{R} : f^{\prime}(x)=(x-1)(x-2)(x-3).
2. Étudier le signe de f^{\prime}(x), puis dresser le tableau de variations de f sur \R.
f(x)=\frac{1}{4}\left(x^{4}-8 x^{3}+22 x^{2}-24 x+8\right).
1. Montrer que pour tout x \in \mathbb{R} : f^{\prime}(x)=(x-1)(x-2)(x-3).
2. Étudier le signe de f^{\prime}(x), puis dresser le tableau de variations de f sur \R.
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Exercice 91
Vrai / Faux
[Raisonner.]
On considère la fonction f définie sur \R par :
1. f^{\prime} est positive sur \R.
2. f est positive sur \R^+.
3. f^{\prime} change de signe sur \R.
4. f^{\prime} admet un extremum sur \R.
f(x)=2 x^{5}+4 x^{3}-50.
Justifier si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse.
1. f^{\prime} est positive sur \R.
2. f est positive sur \R^+.
3. f^{\prime} change de signe sur \R.
4. f^{\prime} admet un extremum sur \R.
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Exercice 92
Vrai / Faux
[Raisonner.]
On considère la fonction f définie sur [-\pi ; \pi] par :
f(x)=(x+1) \cos (x)+(x-1) \sin (x). On admet que f est dérivable sur [-\pi ; \pi]. Justifier si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse.
1. f est positive sur son ensemble de définition.
2. La seule tangente horizontale à la courbe représentative de f est la tangente au point d'abscisse 0.
3. Pour tout x \in[-\pi ; \pi], la fonction dérivée de f vérifie f^{\prime}(x)=x(\cos (x)-\sin (x)).
4. f est croissante sur son ensemble de définition.
f(x)=(x+1) \cos (x)+(x-1) \sin (x). On admet que f est dérivable sur [-\pi ; \pi]. Justifier si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse.
1. f est positive sur son ensemble de définition.
2. La seule tangente horizontale à la courbe représentative de f est la tangente au point d'abscisse 0.
3. Pour tout x \in[-\pi ; \pi], la fonction dérivée de f vérifie f^{\prime}(x)=x(\cos (x)-\sin (x)).
4. f est croissante sur son ensemble de définition.
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Exercice 93
[Raisonner.]
On considère le tableau de signe de la dérivée f^{\prime} d'une
fonction f définie et dérivable sur [-6 ; 7].
Parmi les fonctions proposées ci-dessous, lesquelles correspondent à ce tableau ? Justifier.
1. f(x)=2 x^{3}-3 x^{2}-36 x-5
2. f(x)=\cos \left(\frac{\pi(x+2)}{5}\right)
3. f(x)=\frac{x^{3}}{3}+\frac{5 x^{2}}{2}+6 x-10
4. f(x)=-\frac{2}{3} x^{3}+x^{2}+12 x
5. f(x)=\frac{3 x}{x-1}
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Parmi les fonctions proposées ci-dessous, lesquelles correspondent à ce tableau ? Justifier.
1. f(x)=2 x^{3}-3 x^{2}-36 x-5
2. f(x)=\cos \left(\frac{\pi(x+2)}{5}\right)
3. f(x)=\frac{x^{3}}{3}+\frac{5 x^{2}}{2}+6 x-10
4. f(x)=-\frac{2}{3} x^{3}+x^{2}+12 x
5. f(x)=\frac{3 x}{x-1}
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Exercice 94
[Raisonner.]
Soit f une fonction définie sur \mathbb{R} \backslash\{-1\}.
On admet qu'il existe deux réels a et b tels que, pour tout x \neq-1, {f(x)=\frac{a x^{2}+b}{x+1}}.
Le but de l'exercice est de trouver l'expression de la fonction f.
On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction f sur ]-1 ;+\infty[. On a tracé la tangente à cette courbe au point \text{A} d'abscisse 1.
On admet qu'il existe deux réels a et b tels que, pour tout x \neq-1, {f(x)=\frac{a x^{2}+b}{x+1}}.
Le but de l'exercice est de trouver l'expression de la fonction f.
On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction f sur ]-1 ;+\infty[. On a tracé la tangente à cette courbe au point \text{A} d'abscisse 1.
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1. a. Déterminer graphiquement l'image de 0 par la fonction f.
b. En déduire la valeur de b.
2. a. Justifier que le coefficient directeur de la tangente en \text{A} est \text{0,25}.
b. À l'aide de la fonction dérivée de f et de la question précédente, déterminer la valeur de a.
3. Conclure.
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Exercice 95
Exercice inversé
Sans se préoccuper des ensembles de définition et de dérivabilité, déterminer une expression possible de fonctions dont les dérivées correspondent aux fonctions ci-dessous.
1. f^{\prime}(x)=3 x^{2}+4 x-25
2. g^{\prime}(x)=x^{3}-x^{2}+2 x-3
3. h^{\prime}(x)=\frac{-2}{x^{2}}+2 \cos (2 x)
1. f^{\prime}(x)=3 x^{2}+4 x-25
2. g^{\prime}(x)=x^{3}-x^{2}+2 x-3
3. h^{\prime}(x)=\frac{-2}{x^{2}}+2 \cos (2 x)
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Exercice 96
Exercice inversé
Sans se préoccuper des ensembles de définition et de dérivabilité, déterminer une expression possible de fonctions dont les dérivées correspondent aux fonctions ci-dessous.
1. f^{\prime}(x)=\frac{5}{(8 x-25)^{2}}
2. g^{\prime}(x)=-\frac{\cos (5-6 x)}{2}
3. h^{\prime}(x)=\cos (x)-x \times \sin (x)
1. f^{\prime}(x)=\frac{5}{(8 x-25)^{2}}
2. g^{\prime}(x)=-\frac{\cos (5-6 x)}{2}
3. h^{\prime}(x)=\cos (x)-x \times \sin (x)
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Exercice 97
Exercice inversé
Déterminer une expression possible d'une fonction produit dont le tableau de variations correspond à celui-ci.
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