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p. 1-9

Partie 1 : Analyse

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Ch. 1
Suites

Ch. 2
Fonctions

Ch. 3
Dérivation

Partie 2 : Statistiques et probabilités

Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles

Ch. 5
Variables aléatoires

Automatismes

Partie 3 : Géométrie

Ch. 6
Trigonométrie

Ch. 7
Produit scalaire

Ch. 8
Nombres complexes

Partie 4 : Analyse

Ch. 9
Compléments sur la dérivation

Ch. 10
Primitives

Révisions Genially

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Chapitre 9

Entraînement 2

Fonctions dérivées

Ressource affichée de l'autre côté.
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Différenciation

Parcours 1 : exercices
52
;
56
;
62
;
72
;
74
;
85
et
86

Parcours 2 : exercices
55
;
63
;
76
;
78
;
87
;
89
et
90

Parcours 3 : exercices
61
;
65
;
67
;
80
;
81
et
88

Ressource affichée de l'autre côté.
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Consigne
Pour les
exercices 71
à
81

En utilisant les dérivées des fonctions usuelles ainsi que les formules des opérations et compositions de fonctions, calculer et simplifier les dérivées des fonctions

f

g

sur l'intervalle donné.

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Exercice 71
[Calculer.]

f (x) = x^{3} + \frac{5}{x}

sur

R \ {0}

g (x) = - 4 x^{5} - \frac{12}{x}

sur

R \ {0}

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Exercice 72

[Calculer.]

f (x) = \frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{6} x^{2} - \frac{5}{2} x + \frac{7}{3}

sur

R

g (x) = - \frac{3}{5} x^{5} + \frac{1}{4} x^{2} + \frac{9}{4} x + 24 sur R

sur

R

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Exercice 73
[Calculer.]

f (x) = \frac{2}{3} x^{4} - \frac{1}{5} x^{3} + \frac{1}{4} x^{2} + \frac{5}{6} x - \frac{4}{3}

sur

R

g (x) = \frac{3}{5} x^{10} + \frac{3}{4} x^{7} + \frac{2}{7} x^{5} - \frac{1}{6} x^{3} - \frac{5}{2} x

sur

R

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Exercice 74

[Calculer.]

f (t) = cos (t) + sin (t)

sur

R

g (t) = cos (t) - sin (t)

sur

R

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Exercice 75
[Calculer.]

f (t) = 5 cos (t) - 10 sin (t)

sur

R

g (t) = 10 sin (t) - 3 cos (t)

sur

R

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Exercice 76

[Calculer.]

f (x) = x cos (x) - x^{2}

sur

R

g (x) = - x^{2} sin (x)

sur

R

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Exercice 77
[Calculer.]

f (x) = cos (x) sin (x)

sur

R

g (x) = (x^{2} + x - 3) sin (6 - 2 x)

sur

R

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Exercice 78

[Calculer.]

f (x) = sin^{2} (x)

sur

R

g (x) = \frac{1}{cos ( x )}

sur

] - \frac{π}{2}; \frac{π}{2} [

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Exercice 79
[Calculer.]

f (x) = \frac{1}{x ^{2} + x + 5}

sur

R

g (x) = \frac{1}{cos ( x )}

sur

] - \frac{π}{2}; \frac{π}{2} [

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Exercice 80

[Calculer.]

f (x) = \frac{2}{3 x ^{4}} - \frac{5}{6 x ^{3}} + \frac{3}{2 x} - 1

sur

R \ {0} .

g (x) = x^{23} - \frac{11}{10 x ^{10}} + \frac{14}{3 x ^{6}} - \frac{3}{5 x ^{3}}

sur

R \ {0}

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Exercice 81

[Calculer.]

f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{1 + 2 x + x ^{2}}

sur

R \ {- 1}

g (x) = \frac{3 + 4 x + 2 x ^{2}}{x ^{3}}

sur

R \ {0}

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Exercice 82
[Modéliser.]

Dans une solution, on étudie le nombre de bactéries

f (t)

, en million, en fonction du temps

t

, exprimé en heure. On admet que

f (t) = 5 t^{2} (- t + 3) + 1

sur

[0; 2]

.

1. Calculer, pour tout

t \in [0; 2], f^{'} (t)

2. On admet que

f^{'} (t)

correspond à la vitesse d'évolution instantanée de la population de bactéries en million par heure.
Sur quel intervalle la vitesse d'évolution est-elle croissante ? Décroissante ?

Aide

On pourra étudier la dérivée de

f^{'}

, notée

f^{''}

Photographie macro: colonies bactériennes sur gélose en boîte de Petri. Vue rapprochée de cultures en laboratoire.

KuLouKu/Shutterstock

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Exercice 83

Vrai / Faux
[Communiquer.]

Justifier si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse.

1. La fonction

f

définie par

f (x) = sin (2 x)

est croissante sur

[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

2. La fonction

g

définie par

g (x) = 5 cos (\frac{π - x}{3})

ne change pas de sens de variation sur

[- π; π]

3. La fonction

h

définie sur

R

par

h (x) = 9 x^{2} + 3 x - 2

admet un minimum sur

R

4. La fonction

k

définie sur

R

par

k (x) = - x^{3} + 5 x^{2} + 21

est d'abord décroissante.

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Exercice 84

Vrai / Faux
[Communiquer.]

On considère le tableau de variations de la fonction

f

définie sur

] - \infty; 1 [\cup] 1; + \infty [

Justifier si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse.

1.

f

est décroissante sur l'intervalle

[- 5; 10]

6

est le maximum de

f

sur son ensemble de définition.

3. La courbe représentative de

f

admet exactement deux tangentes horizontales.

4. La tangente à la courbe représentative de

f

au point d'abscisse

0

a un coefficient directeur positif.

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Consigne
Pour les
exercices 85
à
88

Pour chacune des fonctions

f

g

, dresser son tableau de variations sur l'intervalle donné en étudiant le signe de la dérivée.

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Exercice 85

[Raisonner.]

f (t) = sin (t) + 2 t

sur

R

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

g (t) = 5 t + cos (3 t)

sur

R

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

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Exercice 86

[Raisonner.]

f (x) = \frac{1 + x}{x - 12}

sur

R \ {12}

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

g (x) = \frac{10}{x ^{2} + 4}

sur

R

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

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Exercice 87

[Raisonner.]

f (x) = \frac{x ^{2}}{x + 1}

sur

R \ {- 1}

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

g (x) = \frac{3 x ^{2}}{5 - x}

sur

R \ {5}

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

Indication

Factoriser par un facteur commun le numérateur de la dérivée.

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Exercice 88

[Raisonner.]

f (x) = \frac{3 x ^{2} - 6}{16 - x ^{2}}

sur

] - \infty; - 4 [\cup] - 4; 4 [\cup] 4; + \infty [

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

g (x) = \frac{1}{x - sin ( \frac{π + x}{6} )}

sur

[\frac{π}{2}; + \infty [.

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

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Exercice 89

[Raisonner.]

On considère la fonction

f

définie sur

R

par :

f (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}

1. Montrer que pour tout

x \in R

f^{'} (x) = \frac{- 2 ( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

2. Étudier le signe de

f^{'} (x)

, puis dresser le tableau de variations de

f

sur

R

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

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Exercice 90

[Raisonner.]

On considère la fonction

f

définie sur

R

par :

f (x) = \frac{1}{4} (x^{4} - 8 x^{3} + 22 x^{2} - 24 x + 8)

1. Montrer que pour tout

x \in R

f^{'} (x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3)

2. Étudier le signe de

f^{'} (x)

, puis dresser le tableau de variations de

f

sur

R

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Exercice 91

Vrai / Faux
[Raisonner.]

On considère la fonction

f

définie sur

R

par :

f (x) = 2 x^{5} + 4 x^{3} - 50.

Justifier si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse.

1.

f^{'}

est positive sur

R

f

est positive sur

R^{+}

f^{'}

change de signe sur

R

f^{'}

admet un extremum sur

R

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Exercice 92

Vrai / Faux
[Raisonner.]

On considère la fonction

f

définie sur

[- π; π]

par :

f (x) = (x + 1) cos (x) + (x - 1) sin (x)

. On admet que

f

est dérivable sur

[- π; π]

. Justifier si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse.

1.

f

est positive sur son ensemble de définition.

2. La seule tangente horizontale à la courbe représentative de

f

est la tangente au point d'abscisse

0

3. Pour tout

x \in [- π; π]

, la fonction dérivée de

f

vérifie

f^{'} (x) = x (cos (x) - sin (x))

f

est croissante sur son ensemble de définition.

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Exercice 93
[Raisonner.]

On considère le tableau de signe de la dérivée

f^{'}

d'une fonction

f

définie et dérivable sur

[- 6; 7]

Parmi les fonctions proposées ci-dessous, lesquelles correspondent à ce tableau ? Justifier.

1.

f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x - 5

f (x) = cos (\frac{π ( x + 2 )}{5})

f (x) = \frac{x ^{3}}{3} + \frac{5 x ^{2}}{2} + 6 x - 10

f (x) = - \frac{2}{3} x^{3} + x^{2} + 12 x

f (x) = \frac{3 x}{x - 1}

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Exercice 94
[Raisonner.]

Soit

f

une fonction définie sur

R \ {- 1}

.
On admet qu'il existe deux réels

a

b

tels que, pour tout

x \neq = - 1, f (x) = \frac{a x ^{2} + b}{x + 1}

.
Le but de l'exercice est de trouver l'expression de la fonction

f

.
On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction

f

sur

] - 1; + \infty [.

On a tracé la tangente à cette courbe au point

A

d'abscisse 1.

1. a. Déterminer graphiquement l'image de

0

par la fonction

f

b. En déduire la valeur de

b

2. a. Justifier que le coefficient directeur de la tangente en

A

est

0,25

b. À l'aide de la fonction dérivée de

f

et de la question précédente, déterminer la valeur de

a

3. Conclure.

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Exercice 95

Exercice inversé

Sans se préoccuper des ensembles de définition et de dérivabilité, déterminer une expression possible de fonctions dont les dérivées correspondent aux fonctions ci-dessous.

1.

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 4 x - 25

g^{'} (x) = x^{3} - x^{2} + 2 x - 3

h^{'} (x) = \frac{- 2}{x ^{2}} + 2 cos (2 x)

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Exercice 96

Exercice inversé

Sans se préoccuper des ensembles de définition et de dérivabilité, déterminer une expression possible de fonctions dont les dérivées correspondent aux fonctions ci-dessous.

1.

f^{'} (x) = \frac{5}{( 8 x - 25 ) ^{2}}

g^{'} (x) = - \frac{cos ( 5 - 6 x )}{2}

h^{'} (x) = cos (x) - x \times sin (x)

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Exercice 97

Exercice inversé

Déterminer une expression possible d'une fonction produit dont le tableau de variations correspond à celui-ci.

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Ch. 1Suites

Ch. 2Fonctions

Ch. 3Dérivation

Ch. 4Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles

Ch. 5Variables aléatoires

Automatismes

Ch. 6Trigonométrie

Ch. 7Produit scalaire

Ch. 8Nombres complexes

Ch. 9Compléments sur la dérivation

Ch. 10Primitives

Révisions Genially

Fonctions dérivées

Parcours 1 : exercices 52 ; 56 ; 62 ; 72 ; 74 ; 85 et 86

Parcours 2 : exercices 55 ; 63 ; 76 ; 78 ; 87 ; 89 et 90

Parcours 3 : exercices 61 ; 65 ; 67 ; 80 ; 81 et 88

ConsignePour les exercices 71 à 81

Exercice 71 [Calculer.]

Exercice 72 [Calculer.]

Exercice 73 [Calculer.]

Exercice 74 [Calculer.]

Exercice 75 [Calculer.]

Exercice 76 [Calculer.]

Exercice 77 [Calculer.]

Exercice 78 [Calculer.]

Exercice 79 [Calculer.]

Exercice 80 [Calculer.]

Exercice 81 [Calculer.]

Exercice 82 [Modéliser.]

Exercice 83 Vrai / Faux [Communiquer.]

Exercice 84 Vrai / Faux [Communiquer.]

ConsignePour les exercices 85 à 88

Exercice 85 [Raisonner.]

Exercice 86 [Raisonner.]

Exercice 87 [Raisonner.]

Exercice 88 [Raisonner.]

Exercice 89 [Raisonner.]

Exercice 90 [Raisonner.]

Exercice 91 Vrai / Faux [Raisonner.]

Exercice 92 Vrai / Faux [Raisonner.]

Exercice 93 [Raisonner.]

Exercice 94 [Raisonner.]

Exercice 95 Exercice inversé

Exercice 96 Exercice inversé

Exercice 97 Exercice inversé

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Produit scalaire

Ch. 8
Nombres complexes

Ch. 9
Compléments sur la dérivation

Ch. 10
Primitives

Parcours 1 : exercices
52
;
56
;
62
;
72
;
74
;
85
et
86

Parcours 2 : exercices
55
;
63
;
76
;
78
;
87
;
89
et
90

Parcours 3 : exercices
61
;
65
;
67
;
80
;
81
et
88

Consigne
Pour les
exercices 71
à
81

Exercice 71
[Calculer.]

Exercice 72

[Calculer.]

Exercice 73
[Calculer.]

Exercice 74

[Calculer.]

Exercice 75
[Calculer.]

Exercice 76

[Calculer.]

Exercice 77
[Calculer.]

Exercice 78

[Calculer.]

Exercice 79
[Calculer.]

Exercice 80

[Calculer.]

Exercice 81

[Calculer.]

Exercice 82
[Modéliser.]

Exercice 83

Vrai / Faux
[Communiquer.]

Exercice 84

Vrai / Faux
[Communiquer.]

Consigne
Pour les
exercices 85
à
88

Exercice 85

[Raisonner.]

Exercice 86

[Raisonner.]

Exercice 87

[Raisonner.]

Exercice 88

[Raisonner.]

Exercice 89

[Raisonner.]

Exercice 90

[Raisonner.]

Exercice 91

Vrai / Faux
[Raisonner.]

Exercice 92

Vrai / Faux
[Raisonner.]

Exercice 93
[Raisonner.]

Exercice 94
[Raisonner.]

Exercice 95

Exercice inversé

Exercice 96

Exercice inversé

Exercice 97

Exercice inversé