Préparer le bac

Le tableau ci‑dessous donne la répartition des salariés d'une grande entreprise selon leur âge et le secteur dans lequel ils travaillent.


1. Justifier que le pourcentage de commerciaux de moins de 40 ans est environ 64,9 %.

2. Parmi les commerciaux, est‑il vrai que plus de 80 % d'entre eux ont moins de 40 ans ? Justifier.
On choisit au hasard la fiche d'un salarié. Les résultats seront arrondis au millième.

3. Compléter le tableau des fréquences ci‑dessous.



4. Calculer la probabilité que le salarié choisi ait plus de 40 ans.

5. Le salarié choisi a plus de 40 ans. Calculer la probabilité que ce soit un commercial.

1. La fréquence de commerciaux de moins de 40 ans est de $\frac{124}{191}\approx 0,6492.$
Le pourcentage correspondant est donc bien environ 64,9 %.

2. $\frac{124}{152}\approx 0,82.$ Le pourcentage de moins de 40 ans parmi les commerciaux est donc bien supérieur à 80 %.

3. On a déjà calculé la fréquence des commerciaux de moins de 40 ans.


La fréquence des moins de 40 ans est de $\frac{132}{191}\simeq 0,691$, donc celle des 40 ans et plus est environ $1-0,601=0,309$ et celle des administratifs de moins de 40 ans est $0,691-0,649=0,042.$
De même, la fréquence des commerciaux est $\frac{152}{191}\simeq 0,796$, donc celle des administratifs est $1-0,796=0,204$, celle des commerciaux de 40 ans et plus est $0,796-0,649=0,147$ et celle des administratifs de plus de 40 ans est $0,309-0,147=0,162.$

4. La probabilité que le salarié choisi ait plus de 40 ans est égale à la fréquence de plus de 40 ans : $0,309$.

5. La probabilité que le salarié soit un commercial sachant qu'il a plus de 40 ans est $\frac{0,147}{0,309}=0,476.$

Dans un lycée de 450 élèves, le foyer a dénombré les lycéens utilisant la connexion wifi mise à leur disposition : 72 % des élèves utilisent cette connexion, dont 148 filles. En revanche, 20 % des garçons affirment ne pas l'utiliser.

1. À l'aide des données précédentes, compléter le tableau croisé d'effectifs donné ci‑dessous.

	Filles	Garçons	Total
Utilisent la connexion
N'utilisent pas la connexion
Total

2. On prélève au hasard une fiche dans le fichier des élèves du lycée. On admettra que toutes les fiches ont la même probabilité d'être prélevées. On note $\text{G}$ l'événement « La fiche prélevée est celle d'un garçon. » et $\text{W}$ l'événement « La fiche prélevée est celle d'un élève utilisant la connexion wifi. ». Si nécessaire, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.

Les ateliers A et B d'une entreprise produisent respectivement 1 400 et 1 100 pièces d'un modèle chaque jour. 2 % de la production de l'atelier A et 3 % de la production de l'atelier B est défectueuse.

1. Compléter ce tableau d'effectifs.

	Pièces défectueuses	Pièces non défectueuses	Total
Atelier A
Atelier B
Total			2 500

2. Calculer la fréquence des pièces défectueuses.

3. On prélève, au hasard, une pièce dans la production journalière totale de l'entreprise. On définit les événements suivants :

• $\text{A}$ : « La pièce prélevée provient de l'atelier A. » ;
• $\text{B}$ : « La pièce prélevée est défectueuse. ».

Calculer la probabilité que la pièce prélevée provienne de l'atelier A, sachant qu'elle est défectueuse. Arrondir le résultat à $10^{-2}$ près.

4. Les pièces défectueuses présentent l'un des défauts suivants : taille non conforme, poids non conforme, défaut de structure.
Parmi les pièces ayant une taille non conforme, on a les résultats ci‑dessous.

Une étude statistique a montré que 4 % d'une population est intolérante au gluten. Un laboratoire pharmaceutique élabore un test de dépistage.
D'après les essais sur un groupe témoin de 1 000 individus dont 4 % sont atteints par la maladie, 85 % des personnes atteintes réagissent positivement au test et 950 personnes non atteintes par la maladie y réagissent négativement.

1. Compléter le tableau d'effectifs ci‑dessous, en justifiant la valeur 34.

On choisit au hasard un individu dans le groupe témoin et on admet que chaque individu a la même probabilité d'être choisi. On note les événements $\text{M}$ « L'individu choisi est atteint par la maladie. » et $\text{T}$ « L'individu réagit positivement au test. ».

2. Définir par une phrase l'événement $\text{M}\cap \text{T}$, puis calculer sa probabilité.

3. Calculer la probabilité ${\mathrm{P}}_{\mathrm{M}}(\mathrm{T}).$ Traduire ce résultat dans le contexte de l'exercice.

4. Certains organismes de santé autorisent la commercialisation d'un test de dépistage lorsque la probabilité de ne pas être atteint par la maladie, sachant que la réaction au test est positive, est inférieure à 20 %. Le laboratoire pharmaceutique peut‑il espérer une commercialisation de son test  ?