Dérivation

1. Interpréter graphiquement le nombre dérivé comme coefficient directeur de la tangente.
2. Construire la tangente à une courbe en un point.
3. Déterminer l'équation réduite de la tangente à une courbe en un point.
4. Calculer la dérivée d'une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à trois.
5. Déterminer le sens de variation et les extremums d'une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3.

Définition :

Une fonction affine est une fonction de la forme $f:x\mapsto ax+b$, avec $a$ et $b$ deux réels.

Propriété :

Une fonction affine est représentée par une droite dans un repère.

Propriété :

Une fonction affine est strictement croissante si $a>0$, strictement décroissante si $a<0$.

Définition :

Un tableau de variations permet de résumer le sens de variation d'une fonction $f$ selon les valeurs de $x$. La fonction est représentée par une flèche montante lorsqu'elle est croissante, et descendante lorsqu'elle est décroissante.
Le tableau peut se construire à partir du graphique de la fonction ou par le calcul.

Méthode :

Soit $f$ la fonction représentée ci‑dessous.


1. On commence par déterminer son ensemble de définition, ici $\left[-1;+\infty \right]$.

2. On note les points où la fonction change de sens de variations : ici, en $-0,5$ et $0,5.$

3. On dresse le tableau.

Définition :

Une droite non verticale du plan est représentée par une équation de droite de la forme $y=ax+b$. Le coefficient $a$ est appelé pente ou coefficient directeur de la droite, et le coefficient $b$ est appelé ordonnée à l'origine.
Une droite verticale est représentée par une équation du type $x=a$.

Méthode :

Graphiquement,
1. Pour déterminer l'ordonnée à l'origine, il suffit de relever l'ordonnée du point d'intersection entre la droite et l'axe des ordonnées ;
2. Pour déterminer le coefficient directeur, on choisit deux points distincts de la droite $\text{A}(x_{\text{A}};y_{\text{A}})$ et $\text{B}(x_{\text{B}};y_{\text{B}})$. Le coefficient directeur est alors donné par $a=\frac{y_{\text{B}}-y_{\text{A}}}{x_{\text{B}}-x_{\text{A}}}$.

Exemple :

La droite ci‑dessous coupe l'axe des ordonnées au point $\text{A}(0;2)$. Son ordonnée à l'origine est donc $2$.
Les points $\text{A}(0;2)$ et $\text{B}(3;6)$ sont sur la droite. Le coefficient directeur est donc $a=\frac{y_{\text{B}}-y_{\text{A}}}{x_{\text{B}}-x_{\text{A}}}=\frac{6-2}{3-0}=\frac{4}{3}$.
Une équation de la droite est donc $y=\frac{4}{3}x+2$.

Définition :

Le tableau de signe permet de résumer le signe d'une expression dépendant de $x$ en fonction des valeurs prises par $x$.
Pour le construire, on factorise au maximum l'expression, on étudie le signe de chacun des facteurs, puis on utilise la règle des signes.

Exemple :

On veut étudier le signe de $(x+1)(2x+6)$ pour $x$ un nombre réel.
On résout les inéquations $x+1⩽0\iff x⩽-1$ et $2x+6⩽0\iff 2x⩽-6\iff x⩽\frac{-6}{2}=-3$.

Enfin, on dresse le tableau de signe donnant le signe de chacun des facteurs en fonction de la valeur de $x$, et on déduit le signe du produit en utilisant la règle des signes.

1. Étudier une fonction affine.
2. Déterminer une équation de droite dans un repère.
3. Dresser un tableau de variations.
4. Construire un tableau de signe.

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $[-3;5]$ par $f(x)=x+1$ et $g(x)=-0,5x^2+x+3$. On a représenté ci‑dessous leur courbe représentative dans un repère orthonormé.


1. Par lecture graphique, construire les tableaux de variations des fonctions $f$ et $g$ sur $[-3;5].$

2. Justifier les variations de $f.$

3. Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=g(x)$, puis vérifier algébriquement le résultat obtenu.

Au cours du XVII^e siècle, une polémique enflamma le monde des mathématiques pour savoir qui, d'Isaac Newton ou de Gottfried Wilhelm Leibniz, était le père du calcul infinitésimal (calcul sur des nombres infiniment petits). Quand Newton parlait de « fluxion » et avait une approche numérique du phénomène, Leibniz en avait plutôt développé une approche géométrique. Cette polémique était probablement surtout une question de prestige national entre l'Angleterre et l'Allemagne. Si elle fait encore débat aujourd'hui, on s'accorde au moins sur le fait qu'aucun des deux n'a plagié l'autre.