Le but de cette activité est d'estimer la vitesse de croissance de la population à la 12^e heure (au point \text{A} sur le graphique).

Question préliminaire

À l'aide du tableau, justifier que la vitesse de développement n'est pas constante. Comment observe‑t‑on ce résultat sur le graphique ?

2. a. Entre la 12^e et la 36^e heure, de quelle quantité la population de bactéries a‑t‑elle augmenté ?
À quelle vitesse moyenne, en nombre de bactéries par heure, cette population a‑t‑elle augmenté ?
Cette vitesse est aussi appelée taux de variation de \text{P} entre 12 et 36.

b. Déterminer le taux de variation de \text{P} entre 12 et 24, puis entre 12 et 18.

3. a. Tracer la droite \left(\mathrm{AB}_{1}\right), puis calculer son coefficient directeur.
Pourquoi pouvait‑on prévoir son signe ?

b. On note \text{M} le milieu de \left[\mathrm{AB}_{1}\right]. Placer le point \text{M} dans le graphique.
Quelles sont ses coordonnées ?

c. En supposant que la population se soit réellement développée à la vitesse trouvée en question 2 a) depuis la 12^e heure, estimer sa valeur à la 24^e heure.
En déduire l'erreur commise entre cette estimation et la mesure correspondante du tableau.

6. a. Tracer la droite passant par \text{A} qui représenterait le mieux cette vitesse. Comment peut‑on la caractériser ?

b. Estimer graphiquement son coefficient directeur.
La vitesse ainsi calculée est appelée vitesse instantanée à la 12^e heure. Ce nombre est aussi appelé nombre dérivé de la fonction \text{P} en 12, noté \mathrm{P}^{\prime}(12).

On supposera que les fonctions rencontrées dans cette activité sont dérivables sur leur ensemble de définition.

On considère la fonction f définie sur \R par f(x)=x^{2}. On a tracé quatre tangentes à la courbe représentative de f aux points \text{A}_1, \text{A}_2, \text{A}_3 et \text{A}_4, notées respectivement \text{T}_1 , \text{T}_2, \text{T}_3 et \text{T}_4.