Chapitre 3
Activité
Dérivation
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A
Développement d'une population de bactéries
p. 66 et p. 68
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Mettre en relation le signe du taux de variation et le sens de variation de la fonction.
Passer de la notion de taux de variation (vitesse moyenne) à celle de nombre dérivé (vitesse instantanée).
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On considère une culture de bactéries dont on relève la population toutes les six heures. On a consigné les résultats dans le tableau suivant.
| Durée \bm{t} (en heure) | Population \mathbf{P}\bm{(t)} (en nombre de bactéries) |
|---|---|
| 0 | 2\:000 |
| 6 | 2\:900 |
| 12 | 4\:000 |
| 18 | 6\:000 |
| 24 | 12\:000 |
| 30 | 20\:800 |
| 36 | 30\:000 |
Le but de cette activité est d'estimer la vitesse de croissance de la population à la 12e heure (au point \text{A} sur le graphique).
À l'aide du tableau, justifier que la vitesse de développement n'est pas constante. Comment observe‑t‑on ce résultat sur le graphique ?
Question préliminaire
À l'aide du tableau, justifier que la vitesse de développement n'est pas constante. Comment observe‑t‑on ce résultat sur le graphique ?
On appelle \text{A}, \text{B}_1, \text{B}_2 et \text{B}_3 les points d'abscisse respective 12, 36, 24 et 18.
GeoGebra
2.
a.
Entre la 12e et la 36e heure, de quelle quantité la population de bactéries a‑t‑elle augmenté ?
À quelle vitesse moyenne, en nombre de bactéries par heure, cette population a‑t‑elle augmenté ?
Cette vitesse est aussi appelée taux de variation de \text{P} entre 12 et 36.
b. Déterminer le taux de variation de \text{P} entre 12 et 24, puis entre 12 et 18.
À quelle vitesse moyenne, en nombre de bactéries par heure, cette population a‑t‑elle augmenté ?
Cette vitesse est aussi appelée taux de variation de \text{P} entre 12 et 36.
b. Déterminer le taux de variation de \text{P} entre 12 et 24, puis entre 12 et 18.
Remarque
Pour une fonction f donnée, le taux de variation de f entre un nombre a et un nombre a+h (h non nul) est égal à \frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
3.
a.
Tracer la droite \left(\mathrm{AB}_{1}\right), puis calculer son coefficient directeur.
Pourquoi pouvait‑on prévoir son signe ?
b. On note \text{M} le milieu de \left[\mathrm{AB}_{1}\right]. Placer le point \text{M} dans le graphique.
Quelles sont ses coordonnées ?
c. En supposant que la population se soit réellement développée à la vitesse trouvée en question 2 a) depuis la 12e heure, estimer sa valeur à la 24e heure.
En déduire l'erreur commise entre cette estimation et la mesure correspondante du tableau.
Pourquoi pouvait‑on prévoir son signe ?
b. On note \text{M} le milieu de \left[\mathrm{AB}_{1}\right]. Placer le point \text{M} dans le graphique.
Quelles sont ses coordonnées ?
c. En supposant que la population se soit réellement développée à la vitesse trouvée en question 2 a) depuis la 12e heure, estimer sa valeur à la 24e heure.
En déduire l'erreur commise entre cette estimation et la mesure correspondante du tableau.
Remarque
Le coefficient directeur de la droite \left(\mathrm{AB}_{1}\right) représente la vitesse moyenne de développement (en nombre de bactéries par heure) sur cette période de 24 heures.
4. Reprendre la question 3 entre les points \text{A} et \text{B}_2, puis entre les points \text{A} et \text{B}_3.
5. Proposer une solution pour réduire au maximum l'erreur d'estimation de la vitesse de développement à la 12e heure.
6.
a.
Tracer la droite passant par \text{A} qui représenterait le mieux cette vitesse. Comment peut‑on la caractériser ?
Remarque
Cette droite est appelée tangente à la courbe au point \text{A}.
b.
Estimer graphiquement son coefficient directeur.
La vitesse ainsi calculée est appelée vitesse instantanée à la 12e heure. Ce nombre est aussi appelé nombre dérivé de la fonction \text{P} en 12, noté \mathrm{P}^{\prime}(12).
La vitesse ainsi calculée est appelée vitesse instantanée à la 12e heure. Ce nombre est aussi appelé nombre dérivé de la fonction \text{P} en 12, noté \mathrm{P}^{\prime}(12).
Remarque
Pour une fonction f donnée, le coefficient directeur de la tangente à C_f au point d'abscisse a est appelé nombre dérivé de la fonction en a, noté f^{\prime}(a).
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Comment calculer la vitesse instantanée d'évolution d'une quantité au cours du temps ?
Quel est le lien avec les droites dans un repère ?
Quel est le lien avec les droites dans un repère ?
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B
Équation réduite de la tangente
p. 69
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Déterminer une formule permettant de calculer l'équation réduite d'une tangente.
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On supposera que les fonctions rencontrées dans cette activité sont dérivables sur leur ensemble de définition.
Partie A : Étude d'un cas particulier
On considère la fonction g définie sur [0 \: ; 5] par g(x)=1+0,5 x^{2} et la tangente \text{T} à sa courbe représentative \mathcal{C}_g au point d'abscisse a = 4.On admet que \text{T} passe par le point \mathrm{B}(2 \: ; 1).
1. Déterminer graphiquement le nombre dérivé g^{\prime}(4).
2. Déterminer par le calcul l'équation réduite de \text{T}.
Partie B : Étude d'un cas général
On considère une fonction f définie sur un intervalle \text{I}, a un réel de \text{I} et \text{T} la tangente à la courbe représentative de f au point \mathrm{A}(a \: ; f(a)).
1. Justifier que \text{T} admet une équation de la forme y=f^{\prime}(a) x+p, où p est un nombre réel.
2. À l'aide des coordonnées de \text{A}, déterminer la valeur de p en fonction de a.
Aide
\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}} \: ; y_{\mathrm{A}}\right) appartient à \text{T} si, et seulement si, {y_{\mathrm{A}}=f^{\prime}(a) x_{\mathrm{A}}+p.}
3. Prouver que \text{T} a pour équation y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a).
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Comment s'écrit l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative d'une fonction \boldsymbol{f} en un point d'abscisse \boldsymbol{a} ?
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Découvrir la notion de fonction dérivée.
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On considère la fonction f définie sur \R par f(x)=x^{2}. On a tracé quatre tangentes à la courbe représentative de f aux points \text{A}_1, \text{A}_2, \text{A}_3 et \text{A}_4, notées respectivement \text{T}_1 , \text{T}_2, \text{T}_3 et \text{T}_4.
| \bm{a} | \bm{f^{\prime}(a)} |
|---|---|
| -3 | |
| -1 | |
| 1 | |
| 2 |
2. En conjecturant une relation entre a et f^{\prime}(a), proposer la valeur de f^{\prime}(0), f^{\prime}(4) et f^{\prime}(0,5).
Ces résultats sont‑ils cohérents avec le graphique ?
3. Exprimer, pour tout réel x, f^{\prime}(x) en fonction de x.
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Qu'est‑ce que la fonction dérivée ? Quelle est celle de la fonction carré ?
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j'ai une idée !
Oups, une coquille
