Dérivation

Le but de cette activité est d'estimer la vitesse de croissance de la population à la 12^e heure (au point $\text{A}$ sur le graphique).

Question préliminaire

À l'aide du tableau, justifier que la vitesse de développement n'est pas constante. Comment observe‑t‑on ce résultat sur le graphique ?

2. a. Entre la 12^e et la 36^e heure, de quelle quantité la population de bactéries a‑t‑elle augmenté ?
À quelle vitesse moyenne, en nombre de bactéries par heure, cette population a‑t‑elle augmenté ?
Cette vitesse est aussi appelée taux de variation de $\text{P}$ entre 12 et 36.

b. Déterminer le taux de variation de $\text{P}$ entre 12 et 24, puis entre 12 et 18.

3. a. Tracer la droite $\left({\mathrm{AB}}_1\right)$, puis calculer son coefficient directeur.
Pourquoi pouvait‑on prévoir son signe ?

b. On note $\text{M}$ le milieu de $\left[{\mathrm{AB}}_1\right]$. Placer le point $\text{M}$ dans le graphique.
Quelles sont ses coordonnées ?

c. En supposant que la population se soit réellement développée à la vitesse trouvée en question 2 a) depuis la 12^e heure, estimer sa valeur à la 24^e heure.
En déduire l'erreur commise entre cette estimation et la mesure correspondante du tableau.

6. a. Tracer la droite passant par $\text{A}$ qui représenterait le mieux cette vitesse. Comment peut‑on la caractériser ?

b. Estimer graphiquement son coefficient directeur.
La vitesse ainsi calculée est appelée vitesse instantanée à la 12^e heure. Ce nombre est aussi appelé nombre dérivé de la fonction $\text{P}$ en 12, noté ${\mathrm{P}}^{\prime }(12).$

On supposera que les fonctions rencontrées dans cette activité sont dérivables sur leur ensemble de définition.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2.$ On a tracé quatre tangentes à la courbe représentative de $f$ aux points ${\text{A}}_1$, ${\text{A}}_2$, ${\text{A}}_3$ et ${\text{A}}_4$, notées respectivement ${\text{T}}_1$ , ${\text{T}}_2$, ${\text{T}}_3$ et ${\text{T}}_4$.