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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 3
Activité

Dérivation

9 professeurs ont participé à cette page
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A
Développement d'une population de bactéries

p. 66 et p. 68


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Objectif

Mettre en relation le signe du taux de variation et le sens de variation de la fonction.
Passer de la notion de taux de variation (vitesse moyenne) à celle de nombre dérivé (vitesse instantanée).
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On considère une culture de bactéries dont on relève la population toutes les six heures. On a consigné les résultats dans le tableau suivant.

Durée \bm{t} (en heure)Population \mathbf{P}\bm{(t)} (en nombre de bactéries)
02\:000
62\:900
124\:000
186\:000
2412\:000
3020\:800
3630\:000


nuage de points - activité A
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Le but de cette activité est d'estimer la vitesse de croissance de la population à la 12e heure (au point \text{A} sur le graphique).

Question préliminaire

À l'aide du tableau, justifier que la vitesse de développement n'est pas constante. Comment observe‑t‑on ce résultat sur le graphique ?
1. On note \text{P} la fonction modélisant la population de bactéries. Tracer la courbe représentative de \text{P} en fonction de la durée t. On reliera les points à l'aide d'une seule courbe à main levée.
On appelle \text{A}, \text{B}_1, \text{B}_2 et \text{B}_3 les points d'abscisse respective 12, 36, 24 et 18.

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2. a. Entre la 12e et la 36e heure, de quelle quantité la population de bactéries a‑t‑elle augmenté ?
À quelle vitesse moyenne, en nombre de bactéries par heure, cette population a‑t‑elle augmenté ?
Cette vitesse est aussi appelée taux de variation de \text{P} entre 12 et 36.

b. Déterminer le taux de variation de \text{P} entre 12 et 24, puis entre 12 et 18.

Remarque
Pour une fonction f donnée, le taux de variation de f entre un nombre a et un nombre a+h (h non nul) est égal à \frac{f(a+h)-f(a)}{h}.



3. a. Tracer la droite \left(\mathrm{AB}_{1}\right), puis calculer son coefficient directeur.
Pourquoi pouvait‑on prévoir son signe ?


b. On note \text{M} le milieu de \left[\mathrm{AB}_{1}\right]. Placer le point \text{M} dans le graphique.
Quelles sont ses coordonnées ?


c. En supposant que la population se soit réellement développée à la vitesse trouvée en question 2 a) depuis la 12e heure, estimer sa valeur à la 24e heure.
En déduire l'erreur commise entre cette estimation et la mesure correspondante du tableau.

Remarque
Le coefficient directeur de la droite \left(\mathrm{AB}_{1}\right) représente la vitesse moyenne de développement (en nombre de bactéries par heure) sur cette période de 24 heures.

4. Reprendre la question 3 entre les points \text{A} et \text{B}_2, puis entre les points \text{A} et \text{B}_3.


5. Proposer une solution pour réduire au maximum l'erreur d'estimation de la vitesse de développement à la 12e heure.


6. a. Tracer la droite passant par \text{A} qui représenterait le mieux cette vitesse. Comment peut‑on la caractériser ?


Remarque
Cette droite est appelée tangente à la courbe au point \text{A}.
b. Estimer graphiquement son coefficient directeur.
La vitesse ainsi calculée est appelée vitesse instantanée à la 12e heure. Ce nombre est aussi appelé nombre dérivé de la fonction \text{P} en 12, noté \mathrm{P}^{\prime}(12).


Remarque
Pour une fonction f donnée, le coefficient directeur de la tangente à C_f au point d'abscisse a est appelé nombre dérivé de la fonction en a, noté f^{\prime}(a).
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Bilan

Comment calculer la vitesse instantanée d'évolution d'une quantité au cours du temps ?
Quel est le lien avec les droites dans un repère ?
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B
Équation réduite de la tangente

p. 69

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Objectif

Déterminer une formule permettant de calculer l'équation réduite d'une tangente.
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On supposera que les fonctions rencontrées dans cette activité sont dérivables sur leur ensemble de définition.
figure - activité B
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Partie A : Étude d'un cas particulier

On considère la fonction g définie sur [0 \: ; 5] par g(x)=1+0,5 x^{2} et la tangente \text{T} à sa courbe représentative \mathcal{C}_g au point d'abscisse a = 4.
On admet que \text{T} passe par le point \mathrm{B}(2 \: ; 1).

1. Déterminer graphiquement le nombre dérivé g^{\prime}(4).


2. Déterminer par le calcul l'équation réduite de \text{T}.

Partie B : Étude d'un cas général

On considère une fonction f définie sur un intervalle \text{I}, a un réel de \text{I} et \text{T} la tangente à la courbe représentative de f au point \mathrm{A}(a \: ; f(a)).

1. Justifier que \text{T} admet une équation de la forme y=f^{\prime}(a) x+p,p est un nombre réel.


2. À l'aide des coordonnées de \text{A}, déterminer la valeur de p en fonction de a.

Aide
\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}} \: ; y_{\mathrm{A}}\right) appartient à \text{T} si, et seulement si, {y_{\mathrm{A}}=f^{\prime}(a) x_{\mathrm{A}}+p.}

3. Prouver que \text{T} a pour équation y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a).
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Bilan

Comment s'écrit l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative d'une fonction \boldsymbol{f} en un point d'abscisse \boldsymbol{a} ?
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C
La fonction dérivée

et p. 70.


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Objectif

Découvrir la notion de fonction dérivée.
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On considère la fonction f définie sur \R par f(x)=x^{2}. On a tracé quatre tangentes à la courbe représentative de f aux points \text{A}_1, \text{A}_2, \text{A}_3 et \text{A}_4, notées respectivement \text{T}_1 , \text{T}_2, \text{T}_3 et \text{T}_4.

figure - activité C
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1. Déterminer graphiquement les coefficients directeurs des quatre tangentes et compléter le tableau de valeurs suivant.

\bm{a}\bm{f^{\prime}(a)}
-3
-1
1
2


2. En conjecturant une relation entre a et f^{\prime}(a), proposer la valeur de f^{\prime}(0), f^{\prime}(4) et f^{\prime}(0,5).
Ces résultats sont‑ils cohérents avec le graphique ?

3. Exprimer, pour tout réel x, f^{\prime}(x) en fonction de x.
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Bilan

Qu'est‑ce que la fonction dérivée ? Quelle est celle de la fonction carré ?
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