Variations d'une fonction

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $\text{I}$ et $a$ un nombre réel appartenant à $\text{I}$.
On appelle taux de variation de $f$ au point d'abscisse $a$ (ou entre $a$ et $a+h$) le nombre $\tau =\frac{f(a+h)-f(a)}{h},$ où $h$ est un nombre réel quelconque différent de $0$ tel que $a+h\in \mathrm{I}$.

Le taux de variation d'une fonction $f$ entre les valeurs $a$ et $a+h$ est le coefficient directeur de la droite passant par $\mathrm{A}(a;f(a))$ et $\mathrm{B}(a+h;f(a+h))$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=0,5x^2+2.$ On note $C_f$ sa courbe représentative dans le repère ci‑dessous.
On a $f(2)=0,5\times 2^2+2=4$ donc $\mathrm{A}(2;4)\in {\mathcal{C}}_f.$
Par ailleurs, $f(4)=0,5\times 4^2+2=10$ donc $\mathrm{B}(4;10)\in {\mathcal{C}}_f.$
Le taux de variation de $f$ entre $2$ et $4$ est donc le coefficient directeur de la droite $(\mathrm{AB}):\frac{y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}}=\frac{10-4}{4-2}=\frac{6}{2}=3.$

• si $f$ est croissante sur $\text{I}$, alors les taux de variation de $f$ sur $\text{I}$ sont positifs ;

• si $f$ est décroissante sur $\text{I}$, alors les taux de variation de $f$ sur $\text{I}$ sont négatifs.
  
  
  

La fonction $x\mapsto 3-x^2$ est décroissante sur l'intervalle $[0;+\infty [.$
Le taux de variation entre deux valeurs quelconques est donc négatif. Par exemple :

• entre $1$ et $5:\tau =\frac{\left(3-5^2\right)-\left(3-1^2\right)}{5-1}=-6<0;$
• entre $10$ et $12:\tau =\frac{\left(3-12^2\right)-\left(3-10^2\right)}{12-10}=-22<0.$