Mathématiques 1re Techno
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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 3
Cours 1
Variations d'une fonction
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A
Taux de variation en un point
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Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle \text{I} et a un nombre réel appartenant à \text{I}.
On appelle taux de variation de f au point d'abscisse a (ou entre a et a + h) le nombre \tau=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}, où h est un nombre réel quelconque différent de 0 tel que a+h \in \mathrm{I}.
On appelle taux de variation de f au point d'abscisse a (ou entre a et a + h) le nombre \tau=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}, où h est un nombre réel quelconque différent de 0 tel que a+h \in \mathrm{I}.
Remarque
Le taux de variation s'écrit aussi \frac{\Delta f}{\Delta x}.
Notation
On utilise la lettre grecque \tau qui se prononce « tau ».
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Exemple
Soit f la fonction, qui à tout réel x, associe le nombre f(x)=x^{3}.
Le taux de variation de f entre les valeurs 0 et 0 + 5 est le nombre :
Le taux de variation de f entre les valeurs 0 et 0 + 5 est le nombre :
\tau=\frac{f(0+5)-f(0)}{5}=\frac{5^{3}-0^{3}}{5}=25.
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B
Point de vue graphique
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Propriété
Le taux de variation d'une fonction f entre les valeurs a et a + h est le coefficient directeur de la droite passant par \mathrm{A}(a \: ; f(a)) et \mathrm{B}(a+h \: ; f(a+h)).
Remarque
Le coefficient directeur de la droite (\mathrm{AB}) vaut : m=\frac{y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}}.
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Le coefficient directeur de la droite passant par les points \mathrm{A}(a \: ; f(a)) et \mathrm{B}(a+h \: ; f(a+h)) s'écrit \frac{y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}}=\frac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
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Exemple
Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=0,5 x^{2}+2. On note C_f sa courbe représentative dans le repère ci‑dessous.
On a f(2)=0,5 \times 2^{2}+2=4 donc \mathrm{A}(2 ; 4) \in \mathcal{C}_{f}.
Par ailleurs, f(4)=0,5 \times 4^{2}+2=10 donc \mathrm{B}(4 ; 10) \in \mathcal{C}_{f}.
Le taux de variation de f entre 2 et 4 est donc le coefficient directeur de la droite (\mathrm{AB}): \frac{y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}}=\frac{10-4}{4-2}=\frac{6}{2}=3.
On a f(2)=0,5 \times 2^{2}+2=4 donc \mathrm{A}(2 ; 4) \in \mathcal{C}_{f}.
Par ailleurs, f(4)=0,5 \times 4^{2}+2=10 donc \mathrm{B}(4 ; 10) \in \mathcal{C}_{f}.
Le taux de variation de f entre 2 et 4 est donc le coefficient directeur de la droite (\mathrm{AB}): \frac{y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}}=\frac{10-4}{4-2}=\frac{6}{2}=3.
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Application et méthode - 1
Calculer un taux de variation
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Énoncé
Soit f la fonction définie, pour tout réel x, par f(x)=1-x^{3}. Soient \text{A} et \text{B} les points d'abscisses -1 et 3.
Calculer le taux de variation de f entre -1 et 3.
Calculer le taux de variation de f entre -1 et 3.
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Solution
f(\color{#CE422B}-1\color{black})=1-(-1)^{3}=1+1=\color{#5EB45E}2 donc le point \text{A} a pour coordonnées (\color{#CE422B}-1\color{black} \: ; \color{#5EB45E}2\color{black}).
f(\color{#CE422B}3\color{black})=1-3^{3}=1-27=\color{#5EB45E}-26 donc le point \text{B} a pour coordonnées (\color{#CE422B}3\color{black} \: ; \color{#5EB45E}-26\color{black}).
Le taux de variation de f entre -1 et 3 vaut m=\frac{y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}}=\frac{-26-2}{3-(-1)}=-7.
Pour s'entraîner : exercices et
f(\color{#CE422B}3\color{black})=1-3^{3}=1-27=\color{#5EB45E}-26 donc le point \text{B} a pour coordonnées (\color{#CE422B}3\color{black} \: ; \color{#5EB45E}-26\color{black}).
Le taux de variation de f entre -1 et 3 vaut m=\frac{y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}}=\frac{-26-2}{3-(-1)}=-7.
Pour s'entraîner : exercices et
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1. On détermine les coordonnées des points \text{A} et \text{B}.
2. On calcule le coefficient directeur m de la droite (\mathrm{AB}).
2. On calcule le coefficient directeur m de la droite (\mathrm{AB}).
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C
Lien avec les variations de la fonction
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Propriété
Soit f une fonction monotone sur un intervalle \text{I}. Alors les taux de variation entre deux valeurs de cet intervalle sont de signe constant (tous positifs ou tous négatifs).
Plus précisément :
Plus précisément :
- si f est croissante sur \text{I}, alors les taux de variation de f sur \text{I} sont positifs ;
- si f est décroissante sur \text{I}, alors les taux de variation de f sur \text{I} sont négatifs.
À visualiser dans ce module GeoGebra :
GeoGebra
Remarque
Une fonction f est monotone sur un intervalle \text{I} lorsque f ne change pas de variation sur \text{I} (f reste soit croissante, soit décroissante).
Remarque
La condition monotone est essentielle ici.
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- f étant croissante sur \text{I}, alors, quels que soient les nombres a et a + h de \text{I}, les droites joignant deux points de la courbe ont des coefficients directeurs positifs et donc les taux de variation sont positifs.
- f étant décroissante sur \text{I}, alors, quels que soient les nombres a et a + h de \text{I}, les droites joignant deux points de la courbe ont des coefficients directeurs négatifs et donc les taux de variation sont négatifs.
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Exemple
La fonction x \mapsto 3-x^{2} est décroissante sur l'intervalle [0 \: ;+\infty[.
Le taux de variation entre deux valeurs quelconques est donc négatif. Par exemple :
Le taux de variation entre deux valeurs quelconques est donc négatif. Par exemple :
- entre 1 et 5: \tau=\frac{\left(3-5^{2}\right)-\left(3-1^{2}\right)}{5-1}=-6 \lt 0 \: ;
- entre 10 et 12: \tau=\frac{\left(3-12^{2}\right)-\left(3-10^{2}\right)}{12-10}=-22 \lt 0.
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Application et méthode - 2
Utiliser le lien entre taux de variation et variations
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Énoncé
Soit f une fonction dont on donne le tableau de variations ci‑dessous.
Sans calcul, donner le signe du taux de variation de f entre 0 et 5, puis le calculer.
Sans calcul, donner le signe du taux de variation de f entre 0 et 5, puis le calculer.
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Le tableau nous donne :
- le sens de variation de la fonction ;
- les images de 0 et de 5 par f.
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