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p. 1-9

Partie 1 : Analyse

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Ch. 1
Suites

Ch. 2
Fonctions

Ch. 3
Dérivation

Partie 2 : Statistiques et probabilités

Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles

Ch. 5
Variables aléatoires

Automatismes

Partie 3 : Géométrie

Ch. 6
Trigonométrie

Ch. 7
Produit scalaire

Ch. 8
Nombres complexes

Partie 4 : Analyse

Ch. 9
Compléments sur la dérivation

Ch. 10
Primitives

Révisions Genially

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Chapitre 3

Cours 2

Point de vue local : nombre dérivé et tangente à la courbe

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A
Nombre dérivé

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Définition

Lorsque

h

tend vers

0

, le taux de variation de

f

entre

a

a + h

tend vers une valeur limite appelée nombre dérivé de

f

a

, noté

f^{'} (a) .

Remarque

Lorsque

f^{'} (a)

existe, on dit que

f

est dérivable en

a .

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Propriété

Lorsque

h

tend vers

0

, la droite passant par les points

se rapproche d'une position limite qu'on appelle tangente à la courbe au point

A .

Remarque

C'est le mathématicien français Lagrange (1736‑1813) qui a proposé la notation

f^{'} (a)

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Propriété

f^{'} (a)

est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de

f

au point d'abscisse

a .

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Exemple

L'écart entre le point

A

et les points

B_{1}

B_{2}

B_{3}

est de plus en plus petit ; les droites

(AB_{1})

(AB_{2})

(AB_{3})

se rapprochent de la tangente

T .

Notation

En physique, on utilise aussi les notations

\frac{d f}{d x}

(ou

f ˙

lorsqu'on dérive par rapport au temps).

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Démonstration

Le nombre dérivé correspond à la limite du taux de variation, donc à la limite du coefficient directeur de la droite

(AB),

et donc au coefficient directeur de la tangente.

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Exemple

Soit

f

une fonction dont on a tracé la représentation graphique

C_{f}

dans le repère ci‑dessous.
Alors

f^{'} (2)

correspond au coefficient directeur de la tangente à

C_{f}

au point

A

d'abscisse

2

. Ce coefficient directeur valant

- 1,

on en déduit que

f^{'} (2) = - 1.

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Application et méthode - 3

Déterminer graphiquement un nombre dérivé

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Énoncé

On a représenté la fonction

f : x \mapsto - x^{2} + 4 x - 2

ainsi que les tangentes à sa courbe représentative aux points

A,

B

C .

1. Déterminer graphiquement

f (0),

f (2)

f (3) .

2. Déterminer graphiquement

f^{'} (0),

f^{'} (2)

f^{'} (3) .

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Solution

1. On lit les ordonnées des points

A

B

C

f (0) = - 2,

f (2) = 2

f (3) = 1.

2. On calcule ou on lit les coefficients directeurs des tangentes

T_{A},

T_{B}

T_{C} .

On obtient respectivement

f^{'} (0) = 4,

f^{'} (2) = 0

f^{'} (3) = - 2

Pour s'entraîner : exercices

30 p. 76

31 p. 77

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Méthode

f (a)

est l'ordonnée du point

A .

f^{'} (a)

est le coefficient directeur de la droite

T_{A} .

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B
Équation réduite de la tangente

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Propriété

La tangente à la courbe représentative de

f

au point d'abscisse

a

a pour équation :

y = f^{'} (a) (x - a) + f (a) .

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Démonstration

Voir

Activité B p. 65

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Exemples

En reprenant l'

exemple précédent

, on a

f^{'} (2) = - 1

et on observe que

f (2) = 1.

Ainsi, l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de

f

2

est donnée par

y = f^{'} (2) (x - 2) + f (2),

soit

y = - 1 (x - 2) + 1

donc

y = - x + 3.

Remarque

Lorsque la tangente est horizontale, son équation est de la forme

y = k, k \in R .

Dans ce cas,

f^{'} (a) = 0.

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Ch. 1Suites

Ch. 2Fonctions

Ch. 3Dérivation

Ch. 4Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles

Ch. 5Variables aléatoires

Automatismes

Ch. 6Trigonométrie

Ch. 7Produit scalaire

Ch. 8Nombres complexes

Ch. 9Compléments sur la dérivation

Ch. 10Primitives

Révisions Genially

Point de vue local : nombre dérivé et tangente à la courbe

A Nombre dérivé

GeoGebra

Démonstration

Déterminer graphiquement un nombre dérivé

Méthode

B Équation réduite de la tangente

Démonstration

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Ch. 1
Suites

Ch. 2
Fonctions

Ch. 3
Dérivation

Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles

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Variables aléatoires

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Trigonométrie

Ch. 7
Produit scalaire

Ch. 8
Nombres complexes

Ch. 9
Compléments sur la dérivation

Ch. 10
Primitives

A
Nombre dérivé

B
Équation réduite de la tangente