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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 3
Cours 2

Point de vue local : nombre dérivé et tangente à la courbe

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A
Nombre dérivé

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Définition
Lorsque h tend vers 0, le taux de variation de f entre a et a + h tend vers une valeur limite appelée nombre dérivé de f en a, noté f^{\prime}(a).
Remarque
Lorsque f^{\prime}(a) existe, on dit que f est dérivable en \bm{a}.
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Propriété
Lorsque h tend vers 0, la droite passant par les points et se rapproche d'une position limite qu'on appelle tangente à la courbe au point \text{A}.
Remarque
C'est le mathématicien français Lagrange (1736‑1813) qui a proposé la notation f^{\prime}(a).


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Propriété
f^{\prime}(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a.

figure - propriété 2 - cours 2.A.
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Exemple
L'écart entre le point \text{A} et les points \text{B}_1, \text{B}_2 , \text{B}_3 est de plus en plus petit ; les droites \left(\mathrm{AB}_{1}\right), \left(\mathrm{AB}_{2}\right), \left(\mathrm{AB}_{3}\right) se rapprochent de la tangente \text{T}.

figure - exemple 1 - cours 2.A.
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Notation
En physique, on utilise aussi les notations \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{~d} x} (ou \dot{f} lorsqu'on dérive par rapport au temps).
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Démonstration

Le nombre dérivé correspond à la limite du taux de variation, donc à la limite du coefficient directeur de la droite (\mathrm{AB}), et donc au coefficient directeur de la tangente.
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Exemple
Soit f une fonction dont on a tracé la représentation graphique C_f dans le repère ci‑dessous.
Alors f^{\prime}(2) correspond au coefficient directeur de la tangente à C_f au point \text{A} d'abscisse 2. Ce coefficient directeur valant -1, on en déduit que f^{\prime}(2)=-1.

figure - exemple 2 - cours 2.A.
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Application et méthode - 3

Déterminer graphiquement un nombre dérivé

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Énoncé
On a représenté la fonction f: x \mapsto-x^{2}+4 x-2 ainsi que les tangentes à sa courbe représentative aux points \text{A}, \text{B} et \text{C}.

figure - application et méthode 3
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1. Déterminer graphiquement f(0), f(2) et f(3).
2. Déterminer graphiquement f^{\prime}(0), f^{\prime}(2) et f^{\prime}(3).
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Solution
1. On lit les ordonnées des points \text{A}, \text{B} et \text{C} : f(0)=-2, f(2)=2 et f(3)=1.

2. On calcule ou on lit les coefficients directeurs des tangentes \text{T}_\text{A}, \text{T}_\text{B} et \text{T}_\text{C}.
On obtient respectivement f^{\prime}(0)=4, f^{\prime}(2)=0 et f^{\prime}(3)=-2

Pour s'entraîner : exercices et
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Méthode

1. f(a) est l'ordonnée du point \text{A}.

2. f^{\prime}(a) est le coefficient directeur de la droite \text{T}_\text{A}.

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B
Équation réduite de la tangente

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Propriété
La tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a a pour équation :

y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a).
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Démonstration

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Exemples
En reprenant l', on a f^{\prime}(2)=-1 et on observe que f(2)=1.
Ainsi, l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f en 2 est donnée par y=f^{\prime}(2)(x-2)+f(2), soit y=-1(x-2)+1 donc y=-x+3.

figure - exemple - cours 2.B.
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Remarque
Lorsque la tangente est horizontale, son équation est de la forme y=k, k \in \mathbb{R}. Dans ce cas, f^{\prime}(a)=0.

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