Chapitre 3
Cours 2
Point de vue local : nombre dérivé et tangente à la courbe
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A
Nombre dérivé
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Définition
Lorsque h tend vers 0, le taux de variation de f entre a et a + h tend vers une valeur limite appelée nombre dérivé de f en a, noté f^{\prime}(a).
Remarque
Lorsque f^{\prime}(a) existe, on dit que f est dérivable en \bm{a}.
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Propriété
Lorsque h tend vers 0, la droite passant par les points et se rapproche d'une position limite qu'on appelle tangente à la courbe au point \text{A}.
Remarque
C'est le mathématicien français Lagrange (1736‑1813) qui a proposé la notation f^{\prime}(a).
À visualiser dans ce module GeoGebra :
GeoGebra
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Propriété
f^{\prime}(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a.
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Exemple
L'écart entre le point \text{A} et les points \text{B}_1, \text{B}_2 , \text{B}_3 est de plus en plus petit ; les droites \left(\mathrm{AB}_{1}\right), \left(\mathrm{AB}_{2}\right), \left(\mathrm{AB}_{3}\right) se rapprochent de la tangente \text{T}.
Notation
En physique, on utilise aussi les notations \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{~d} x} (ou \dot{f} lorsqu'on dérive par rapport au temps).
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Le nombre dérivé correspond à la limite du taux de variation, donc à la limite du coefficient directeur de la droite (\mathrm{AB}), et donc au coefficient directeur de la tangente.
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Exemple
Soit f une fonction dont on a tracé la représentation graphique C_f dans le repère ci‑dessous.
Alors f^{\prime}(2) correspond au coefficient directeur de la tangente à C_f au point \text{A} d'abscisse 2. Ce coefficient directeur valant -1, on en déduit que f^{\prime}(2)=-1.
Alors f^{\prime}(2) correspond au coefficient directeur de la tangente à C_f au point \text{A} d'abscisse 2. Ce coefficient directeur valant -1, on en déduit que f^{\prime}(2)=-1.
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Application et méthode - 3
Déterminer graphiquement un nombre dérivé
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Énoncé
On a représenté la fonction f: x \mapsto-x^{2}+4 x-2 ainsi que les tangentes à sa courbe représentative aux points \text{A}, \text{B} et \text{C}.
1. Déterminer graphiquement f(0), f(2) et f(3).
2. Déterminer graphiquement f^{\prime}(0), f^{\prime}(2) et f^{\prime}(3).
1. Déterminer graphiquement f(0), f(2) et f(3).
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Solution
1. On lit les ordonnées des points \text{A}, \text{B} et \text{C} : f(0)=-2, f(2)=2 et f(3)=1.
2. On calcule ou on lit les coefficients directeurs des tangentes \text{T}_\text{A}, \text{T}_\text{B} et \text{T}_\text{C}.
On obtient respectivement f^{\prime}(0)=4, f^{\prime}(2)=0 et f^{\prime}(3)=-2
Pour s'entraîner : exercices et
2. On calcule ou on lit les coefficients directeurs des tangentes \text{T}_\text{A}, \text{T}_\text{B} et \text{T}_\text{C}.
On obtient respectivement f^{\prime}(0)=4, f^{\prime}(2)=0 et f^{\prime}(3)=-2
Pour s'entraîner : exercices et
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1. f(a) est l'ordonnée
du point \text{A}.
2. f^{\prime}(a) est le coefficient directeur de la droite \text{T}_\text{A}.
2. f^{\prime}(a) est le coefficient directeur de la droite \text{T}_\text{A}.
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B
Équation réduite de la tangente
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Propriété
La tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a a pour équation :
y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a).
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Voir
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Exemples
En reprenant l', on a f^{\prime}(2)=-1 et on observe que f(2)=1.
Ainsi, l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f en 2 est donnée par y=f^{\prime}(2)(x-2)+f(2), soit y=-1(x-2)+1 donc y=-x+3.
Ainsi, l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f en 2 est donnée par y=f^{\prime}(2)(x-2)+f(2), soit y=-1(x-2)+1 donc y=-x+3.
Remarque
Lorsque la tangente est horizontale, son équation est de la forme y=k, k \in \mathbb{R}. Dans ce cas, f^{\prime}(a)=0.
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