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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 3
Cours 3

Point de vue global : fonction dérivée et applications

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Dans toute cette partie, f désigne une fonction dérivable en tout point d'un intervalle \text{I}.
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A
Fonction dérivée

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Définition
La fonction f^{\prime} qui, à tout x \in \mathrm{I}, associe le nombre f^{\prime}(x) s'appelle la fonction dérivée de f.
Remarque
Lorsqu'une fonction est dérivable en tout point de \text{I}, on dit qu'elle est dérivable sur \text{I}.
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Exemple
On a vu dans l' que la dérivée de la fonction f définie sur \R par f(x)=x^{2} est la fonction f^{\prime} définie sur \R par f^{\prime}(x)=2 x.
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B
Fonction dérivée des fonctions usuelles

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Propriété
On obtient le tableau suivant récapitulant les dérivées des fonctions usuelles.

Fonction \bm{f}Fonction dérivée \boldsymbol{f}^{\prime}
k,k est un réel0
x1
x^22x
x^33x^2
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Propriété (dérivée d'une somme de fonctions)
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle \text{I}. Alors :
  • u + v est dérivable sur \text{I} ;
  • la dérivée de la fonction u + v est la fonction u^{\prime}+v^{\prime}.
Remarque
Attention, cette propriété est fausse pour le produit de deux fonctions.
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Exemple
La dérivée de la fonction f définie sur \R par f(x)=\color{#CE422B}x^{3}\color{black}+\color{#5EB45E}x^{2}\color{black}+\color{#2D85BB}x\color{black}+\color{#E98C40}1 est la fonction f^{\prime} définie sur \R par f^{\prime}(x)=\color{#CE422B}3 x^{2}\color{black}+\color{#5EB45E}2 x\color{black}+\color{#2D85BB}1\color{black}+\color{#E98C40}0\color{black}=3 x^{2}+2 x+1.
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Propriété (dérivée et multiplication par un réel)
Soient \text{k} un nombre réel et u une fonction définie et dérivable sur un intervalle \text{I} dont la fonction dérivée est u^{\prime}. Alors :
  • ku est dérivable sur \text{I} ;
  • la fonction dérivée de ku est k u^{\prime}. Autrement dit, (k u)^{\prime}=k u^{\prime}.
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Exemple
Si, pour tout réel x, f(x)=3 \color{#CE422B}x^{2}\color{black}, alors, pour tout réel x, f^{\prime}(x)=3 \times \color{#CE422B}2 x\color{black}=6 x.
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Conséquence
Soient f, g et h les fonctions définies, pour tout réel x, par f(x)=m x+p, g(x)=a x^{2}+b x+c et h(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d avec m, p, a, b, c, et d des réels.
Alors, pour tout réel x, f^{\prime}(x)=m, g^{\prime}(x)=2 a x+b et h^{\prime}(x)=3 a x^{2}+2 b x+c.
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Application et méthode - 4

Calculer la dérivée d'une somme

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Énoncé
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes définies sur \R par l'expression donnée.

1. f(x)=3 x-1
2. g(x)=-1,5 x^{2}+4 x+3
3. h(x)=-2 x^{3}+0,25 x^{2}-7 x
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Solution
1. Pour tout réel x, f^{\prime}(x)=3 \times 1-0=3.

2. Pour tout réel x, g^{\prime}(x)=-1,5 \times 2 x+4 \times 1+0=-3 x+4.

3. Pour tout réel x, h^{\prime}(x)=-2 \times 3 x^{2}+0,25 \times 2 x-7 \times 1=-6 x^{2}+0,5 x-7.

Pour s'entraîner : exercices et
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Méthode

  • Nous étudions des sommes de fonctions, on peut donc dériver terme à terme.
  • On utilise le tableau des dérivées de référence.
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C
Application aux variations d'une fonction

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Propriété (variations)
Soit f une fonction définie sur un intervalle \text{I} dont la fonction dérivée est f^{\prime}. Le signe de f^{\prime} donne les variations de f. Plus précisément :
  • si f^{\prime}(x) est positive sur \text{I}, alors f est croissante sur cet intervalle ;
  • si f^{\prime}(x) est négative sur \text{I}, alors f est décroissante sur cet intervalle.
Remarque
Cette propriété est quasi systématique pour déterminer algébriquement les variations d'une fonction.
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Définition
Soit f une fonction définie et dérivable sur \text{I} dont on note f^{\prime} la fonction dérivée.
Si f^{\prime} s'annule et change de signe en une valeur a, on dit que f atteint un extremum local en a.
Remarque
Un extremum local peut correspondre à un minimum local ou à un maximum local.
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Application et méthode - 5

Construire algébriquement un tableau de variations

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Énoncé
Soit f la fonction définie sur l'intervalle [-3 \: ; 3] par f(x)=3 x^{2}+6 x+1.

1. Déterminer, pour tout x \in[-3 \: ; 3], f^{\prime}(x).
2. Construire le tableau de variations de f sur x \in[-3 \: ; 3].
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Solution
1. Pour tout x \in[-3 \: ; 3], f^{\prime}(x)=3 \times 2 x+6 \times 1+0=6 x+6.

2. Le signe de f^{\prime} donne les variations de f.

Étape 1 : On résout f^{\prime}(x)=0.
f^{\prime}(x)=0 si, et seulement si, 6 x+6=0, soit 6 x=-6, d'où x=-\frac{6}{6}=-1.

Étape 2 : On construit le tableau.

figure - solution - méthode 5
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Pour s'entraîner : exercices et
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Méthode

Pour étudier les variations d'une fonction f \: :
  • on calcule f^{\prime} \: ;
  • on détermine le signe de f^{\prime} (en résolvant f^{\prime}(x)=0, puis en construisant le tableau) ;
  • on en déduit les variations de la fonction f \: ;
  • on calcule les valeurs atteintes par la fonction f.


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