La dérivée de la fonction f définie sur \R par f(x)=\color{#CE422B}x^{3}\color{black}+\color{#5EB45E}x^{2}\color{black}+\color{#2D85BB}x\color{black}+\color{#E98C40}1 est la fonction f^{\prime} définie sur \R par f^{\prime}(x)=\color{#CE422B}3 x^{2}\color{black}+\color{#5EB45E}2 x\color{black}+\color{#2D85BB}1\color{black}+\color{#E98C40}0\color{black}=3 x^{2}+2 x+1.

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Propriété (dérivée et multiplication par un réel)

Soient \text{k} un nombre réel et u une fonction définie et dérivable sur un intervalle \text{I} dont la fonction dérivée est u^{\prime}. Alors :

ku est dérivable sur \text{I} ;
la fonction dérivée de ku est k u^{\prime}. Autrement dit, (k u)^{\prime}=k u^{\prime}.

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Exemple

Si, pour tout réel x, f(x)=3 \color{#CE422B}x^{2}\color{black}, alors, pour tout réel x, f^{\prime}(x)=3 \times \color{#CE422B}2 x\color{black}=6 x.

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Conséquence

Soient f, g et h les fonctions définies, pour tout réel x, par f(x)=m x+p, g(x)=a x^{2}+b x+c et h(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d avec m, p, a, b, c, et d des réels.
Alors, pour tout réel x, f^{\prime}(x)=m, g^{\prime}(x)=2 a x+b et h^{\prime}(x)=3 a x^{2}+2 b x+c.

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Application et méthode - 4

Calculer la dérivée d'une somme

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Énoncé

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes définies sur \R par l'expression donnée.

1. f(x)=3 x-1
2. g(x)=-1,5 x^{2}+4 x+3
3. h(x)=-2 x^{3}+0,25 x^{2}-7 x

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Solution

1. Pour tout réel x, f^{\prime}(x)=3 \times 1-0=3.

2. Pour tout réel x, g^{\prime}(x)=-1,5 \times 2 x+4 \times 1+0=-3 x+4.

3. Pour tout réel x, h^{\prime}(x)=-2 \times 3 x^{2}+0,25 \times 2 x-7 \times 1=-6 x^{2}+0,5 x-7.

Pour s'entraîner : exercices

37 p. 77

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Méthode

Nous étudions des sommes de fonctions, on peut donc dériver terme à terme.
On utilise le tableau des dérivées de référence.

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C
Application aux variations d'une fonction

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Propriété (variations)

Soit f une fonction définie sur un intervalle \text{I} dont la fonction dérivée est f^{\prime}. Le signe de f^{\prime} donne les variations de f. Plus précisément :

si f^{\prime}(x) est positive sur \text{I}, alors f est croissante sur cet intervalle ;
si f^{\prime}(x) est négative sur \text{I}, alors f est décroissante sur cet intervalle.

Remarque

Cette propriété est quasi systématique pour déterminer algébriquement les variations d'une fonction.

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Définition

Soit f une fonction définie et dérivable sur \text{I} dont on note f^{\prime} la fonction dérivée.
Si f^{\prime} s'annule et change de signe en une valeur a, on dit que f atteint un extremum local en a.

Remarque

Un extremum local peut correspondre à un minimum local ou à un maximum local.

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Application et méthode - 5

Construire algébriquement un tableau de variations

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Énoncé

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [-3 \: ; 3] par f(x)=3 x^{2}+6 x+1.

1. Déterminer, pour tout x \in[-3 \: ; 3], f^{\prime}(x).
2. Construire le tableau de variations de f sur x \in[-3 \: ; 3].

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Solution

1. Pour tout x \in[-3 \: ; 3], f^{\prime}(x)=3 \times 2 x+6 \times 1+0=6 x+6.

2. Le signe de f^{\prime} donne les variations de f.

Étape 1 : On résout f^{\prime}(x)=0.
f^{\prime}(x)=0 si, et seulement si, 6 x+6=0, soit 6 x=-6, d'où x=-\frac{6}{6}=-1.

Étape 2 : On construit le tableau.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Pour s'entraîner : exercices

39 p. 77

71 p. 81

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Méthode

Pour étudier les variations d'une fonction f \: :

on calcule f^{\prime} \: ;
on détermine le signe de f^{\prime} (en résolvant f^{\prime}(x)=0, puis en construisant le tableau) ;
on en déduit les variations de la fonction f \: ;
on calcule les valeurs atteintes par la fonction f.

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Point de vue global : fonction dérivée et applications

A Fonction dérivée

B Fonction dérivée des fonctions usuelles

Calculer la dérivée d'une somme

Méthode

CApplication aux variations d'une fonction

Construire algébriquement un tableau de variations

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