Chapitre 3
Exercices
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Exercice corrigé[D'après EC sujet T1CMATH03525.]
La courbe \mathcal{C}_f ci‑dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [-6 \: ; 14].
La droite \mathrm{T}_{\mathrm{A}} est la tangente à la courbe \mathcal{C}_f au point \text{A}.
La droite \mathrm{T}_{\mathrm{B}} est la tangente à la courbe \mathcal{C}_f au point \text{B}.
Utiliser le graphique pour répondre aux questions suivantes.
1. Déterminer f(3) et f^{\prime}(3).
2. Déterminer f(-1) et f^{\prime}(-1).
3. Résoudre graphiquement l'équation f(x)=6.
4. Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle [-6 \: ; 14] en y faisant figurer le signe de f^{\prime}(x).
5.
Une seule des trois courbes suivantes peut être la représentation graphique de f^{\prime}, la fonction dérivée de la fonction f. Laquelle ? Justifier.
La droite \mathrm{T}_{\mathrm{A}} est la tangente à la courbe \mathcal{C}_f au point \text{A}.
La droite \mathrm{T}_{\mathrm{B}} est la tangente à la courbe \mathcal{C}_f au point \text{B}.
Utiliser le graphique pour répondre aux questions suivantes.
1. Déterminer f(3) et f^{\prime}(3).
2. Déterminer f(-1) et f^{\prime}(-1).
3. Résoudre graphiquement l'équation f(x)=6.
4. Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle [-6 \: ; 14] en y faisant figurer le signe de f^{\prime}(x).
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Solution rédigée
1. f(3) est l'ordonnée du point \text{B} donc f(3)=7.
f^{\prime}(3) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point \text{B}. Donc f^{\prime}(3)=0.
2. f(-1) est l'ordonnée du point \text{A} donc f(-1)=3.
f^{\prime}(-1) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point \text{A}.
D'après le graphique, \mathrm{T}_{\mathrm{A}} passe par les points \mathrm{A}(-1 \: ; 3) et \mathrm{C}(0 \: ; 5). Donc f^{\prime}(-1)=\frac{y_{\mathrm{C}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{C}}-x_{\mathrm{A}}}=\frac{5-3}{0-(-1)}=2.
3. Les solutions de l'équation f(x)=6 sont les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée vaut 6. Donc \mathrm{S}=\{1 ; 5\}.
4. Les variations de f donnent le signe de f^{\prime}.
5. La seule courbe représentant une fonction positive sur l'intervalle [-6 \: ; 3] est la courbe \mathcal{C}_3, c'est donc la courbe représentative de la fonction f^{\prime}.
f^{\prime}(3) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point \text{B}. Donc f^{\prime}(3)=0.
2. f(-1) est l'ordonnée du point \text{A} donc f(-1)=3.
f^{\prime}(-1) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point \text{A}.
D'après le graphique, \mathrm{T}_{\mathrm{A}} passe par les points \mathrm{A}(-1 \: ; 3) et \mathrm{C}(0 \: ; 5). Donc f^{\prime}(-1)=\frac{y_{\mathrm{C}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{C}}-x_{\mathrm{A}}}=\frac{5-3}{0-(-1)}=2.
3. Les solutions de l'équation f(x)=6 sont les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée vaut 6. Donc \mathrm{S}=\{1 ; 5\}.
4. Les variations de f donnent le signe de f^{\prime}.
5. La seule courbe représentant une fonction positive sur l'intervalle [-6 \: ; 3] est la courbe \mathcal{C}_3, c'est donc la courbe représentative de la fonction f^{\prime}.
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Exercice 99
[D'après EC sujet T1CMATH03531.]
Le chiffre d'affaires, en milliers d'euros, d'une entreprise en fonction du temps est modélisé par la fonction f(x)=3 x\left(48 x-5 x^{2}\right), où x représente le nombre d'années.
1. a. Pour tout x \gt 0, développer f(x).
b. En déduire l'expression de f^{\prime}.
c. On admet que f^{\prime}(x)=-3 x(15 x-96).
Dresser le tableau de variation de f.
d. En déduire le maximum de f sur [0 \: ; 10].
Interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.
2. Compléter la ligne 9 du programme écrit en Python ci‑dessous afin qu'en fin d'exécution, la variable \color{purple}\bf{M} contienne une valeur approchée du chiffre d'affaires maximal, exprimé en millier d'euros.
1. a. Pour tout x \gt 0, développer f(x).
b. En déduire l'expression de f^{\prime}.
c. On admet que f^{\prime}(x)=-3 x(15 x-96).
Dresser le tableau de variation de f.
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d. En déduire le maximum de f sur [0 \: ; 10].
Interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.
2. Compléter la ligne 9 du programme écrit en Python ci‑dessous afin qu'en fin d'exécution, la variable \color{purple}\bf{M} contienne une valeur approchée du chiffre d'affaires maximal, exprimé en millier d'euros.
def chiffresaffairesmax():
x = 0
B = 3*x*(48*x - 5*x**2)
M = B
for k in range(100):
x = x + 0.1
B = 3*x*(48*x - 5*x**2)
if B > M :
M = ...
return M
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Exercice 100
[D'après EC sujet T1CMATH03528.]
Une entreprise produit et vend des courgettes. Elle a la capacité d'en produire entre 0 et 16 tonnes.
On note \mathrm{C}(x) le coût de production, exprimé en euros, de x tonnes de courgettes.
La fonction \mathrm{C} est donc définie sur [0 \: ; 16] et elle est donnée par \mathrm{C}(x)=x^{3}-15 x^{2}+78 x-650.
Chaque tonne de courgettes est vendue 150 €.
On rappelle que le bénéfice correspond à la différence entre la recette et le coût de production.
1. Vérifier que le bénéfice \mathrm{B}(x) s'exprime, pour tout x \in[0 \: ; 16], par \mathrm{B}(x)=-x^{3}+15 x^{2}+72 x+650.
2. On admet que la fonction \text{B} est dérivable sur [0 \: ; 16] et on note \text{B}^{\prime} sa fonction dérivée. Déterminer \text{B}^{\prime}(x).
3. Montrer que \mathrm{B}^{\prime}(x)=-3(x+2)(x-12) pour x dans l'intervalle [0 \: ; 16].
4. À l'aide d'un tableau de signe, étudier le signe de \mathrm{B}^{\prime}(x) sur l'intervalle [0 \: ; 16], puis en déduire le tableau de variations de la fonction \text{B} sur [0 \: ; 16].
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5. Quelle quantité de courgettes l'entreprise doit‑elle produire et vendre pour avoir un bénéfice maximal ?
Quel est alors ce bénéfice ?
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Exercice 101
[D'après EC sujet T1CMATH03526.]
Soit f la fonction définie sur l'intervalle [-2 \: ; 6] dont la courbe représentative \mathcal{C}_f est donnée ci‑dessous.
On note f^{\prime} la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle [-2 \: ; 6].
On considère les points \mathrm{A}(0 \: ; 30), \mathrm{B}(2 \: ; 14), \mathrm{D}(4 \: ; -10) et \mathrm{E}(4 \: ; -2). \text{A}, \text{B} et \text{E} sont trois points de la courbe \mathcal{C}_f.
La droite (\text{BD}) est la tangente à la courbe \mathcal{C}_f au point \text{B}.
Les tangentes à la courbe \mathcal{C}_f aux points \text{A} et \text{E} sont parallèles à l'axe des abscisses.
1. À l'aide des informations précédentes, compléter le tableau ci‑dessous grâce notre outil d'édition d'image.
2. Donner le nombre de solutions de l'équation f(x)=0.
3. Déterminer graphiquement la valeur de f^{\prime}(2).
4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe \mathcal{C}_f au point d'abscisse 2.
On note f^{\prime} la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle [-2 \: ; 6].
On considère les points \mathrm{A}(0 \: ; 30), \mathrm{B}(2 \: ; 14), \mathrm{D}(4 \: ; -10) et \mathrm{E}(4 \: ; -2). \text{A}, \text{B} et \text{E} sont trois points de la courbe \mathcal{C}_f.
La droite (\text{BD}) est la tangente à la courbe \mathcal{C}_f au point \text{B}.
Les tangentes à la courbe \mathcal{C}_f aux points \text{A} et \text{E} sont parallèles à l'axe des abscisses.
1. À l'aide des informations précédentes, compléter le tableau ci‑dessous grâce notre outil d'édition d'image.
2. Donner le nombre de solutions de l'équation f(x)=0.
3. Déterminer graphiquement la valeur de f^{\prime}(2).
4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe \mathcal{C}_f au point d'abscisse 2.
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