Chapitre 3
Entraînement 3
Point de vue global : fonction dérivée et applications
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Exercice 64
[Calculer.]
Associer, à chaque fonction, sa fonction dérivée.
: f_{1}(x)=-2 x^{3}+7 x^{2}+x+1
: f_{2}(x)=-2 x^{2}+7 x+1
: f_{3}(x)=-2 x^{2}+7
: f_{2}(x)=-2 x^{2}+7 x+1
: f_{3}(x)=-2 x^{2}+7
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Exercice 65
[Calculer.]
Soit f la fonction définie pour tout réel x par :
1. Déterminer, pour tout réel x, une expression de f^{\prime}(x).
2. Calculer les nombres dérivés f^{\prime}(0) et f^{\prime}(2) et interpréter graphiquement ces deux nombres.
f(x)=x^{2}-4 x+1.
On note f^{\prime} la fonction dérivée de la fonction f.
1. Déterminer, pour tout réel x, une expression de f^{\prime}(x).
2. Calculer les nombres dérivés f^{\prime}(0) et f^{\prime}(2) et interpréter graphiquement ces deux nombres.
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Exercice 66
[Calculer.]
Soit f la fonction définie pour tout réel x par :
1. Calculer f(0).
2. Déterminer, pour tout réel x, une expression de f^{\prime}(x).
3. Calculer le nombre dérivé f^{\prime}(0) puis déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 0.
f(x)=\frac{3}{2} x^{2}-\frac{1}{4} x+5.
On note f^{\prime} la fonction dérivée de la fonction f.
1. Calculer f(0).
2. Déterminer, pour tout réel x, une expression de f^{\prime}(x).
3. Calculer le nombre dérivé f^{\prime}(0) puis déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 0.
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Exercice 67
[Communiquer.]
On considère la fonction f définie, pour tout réel x, par f(x)=-0,5 x^{3}+0,5 x+1
Un élève affirme que les tangentes à la courbe représentative de f aux points d'abscisses -1 et 1 sont parallèles.
Discuter cette affirmation.
Un élève affirme que les tangentes à la courbe représentative de f aux points d'abscisses -1 et 1 sont parallèles.
Discuter cette affirmation.
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Exercice 68
[Calculer.]
Dans chaque cas, déterminer l'expression de f^{\prime}, la fonction dérivée de f, puis l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a.
1. f(x)=x^{2}+x+1 et a=0.
2. f(x)=x^{3}-7 x et a=-1.
3. f(x)=x^{3}+x^{2} et a=2.
1. f(x)=x^{2}+x+1 et a=0.
2. f(x)=x^{3}-7 x et a=-1.
3. f(x)=x^{3}+x^{2} et a=2.
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Exercice 69
[Représenter.]
On considère la fonction f définie sur [0 \: ; 3] par :
1. Déterminer, pour tout x \in[0 \: ; 3], une expression de f^{\prime}(x).
2. Résoudre sur [0 \: ; 3] l'équation f^{\prime}(x)=0.
3. Grâce à notre outil d'édition d'image, compléter le tableau suivant
f(x)=2 x^{2}-4 x.
On note f^{\prime} la fonction dérivée de la fonction f.
1. Déterminer, pour tout x \in[0 \: ; 3], une expression de f^{\prime}(x).
2. Résoudre sur [0 \: ; 3] l'équation f^{\prime}(x)=0.
3. Grâce à notre outil d'édition d'image, compléter le tableau suivant
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Exercice 70
[Chercher.]
On a représenté ci‑dessous le tableau de signe de la dérivée f^{\prime} d'une fonction f définie sur [0 \: ; 8].
1. À l'aide de la calculatrice graphique, identifier la fonction f parmi les trois propositions suivantes.
a. f(x)=0,5 x^{2}-3 x+7,5
b. f(x)=-0,5 x^{2}+2 x+1
c. f(x)=-0,5 x^{2}+3 x
2. Construire le tableau de variations de f.
1. À l'aide de la calculatrice graphique, identifier la fonction f parmi les trois propositions suivantes.
a. f(x)=0,5 x^{2}-3 x+7,5
b. f(x)=-0,5 x^{2}+2 x+1
c. f(x)=-0,5 x^{2}+3 x
2. Construire le tableau de variations de f.
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Exercice 71
[Calculer.]
On considère la fonction f définie, pour tout réel x, par f(x)=3,5 x^{2}-14 x+1.
On note f^{\prime} la fonction dérivée de la fonction f.
1. Déterminer, pour tout réel x, une expression de f^{\prime}(x) en fonction de x.
2. Étudier, pour tout réel x, le signe de f^{\prime}(x).
3. En déduire les variations de f sur \R.
On note f^{\prime} la fonction dérivée de la fonction f.
1. Déterminer, pour tout réel x, une expression de f^{\prime}(x) en fonction de x.
2. Étudier, pour tout réel x, le signe de f^{\prime}(x).
3. En déduire les variations de f sur \R.
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Exercice 72
[Calculer.]
Reprendre l'exercice précédent avec la fonction g définie, pour tout réel x, par g(x)=-3 x^{2}+16 x-3.
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Exercice 73
[Calculer.]
On considère la fonction f définie, pour tout réel x, par f(x)=x^{3}+4 x
On note f^{\prime} la fonction dérivée de la fonction f.
1. Déterminer, pour tout réel x, une expression de f^{\prime}(x) en fonction de x.
2. Étudier, pour tout réel x, le signe de f^{\prime}(x).
3. En déduire les variations de f sur \R.
On note f^{\prime} la fonction dérivée de la fonction f.
1. Déterminer, pour tout réel x, une expression de f^{\prime}(x) en fonction de x.
2. Étudier, pour tout réel x, le signe de f^{\prime}(x).
Remarque
La somme de deux nombres positifs est positive.
3. En déduire les variations de f sur \R.
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Exercice 74
[Calculer.]
Reprendre l'exercice précédent avec la fonction g définie, pour tout réel x, par g(x)=-x^{3}-7.
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Exercice 75
[Représenter.]
Suite à une épidémie dans une région, le nombre de personnes malades t jours après l'apparition des premiers cas est modélisé par f(t)=45 t^{2}-t^{3}, pour tout t appartenant à [0 \: ; 45].
1. Déterminer le nombre de personnes malades prévu par ce modèle au bout de 20 jours.
2. Montrer que pour tout t appartenant à [0 \: ; 45] :
3. Déterminer le signe de f^{\prime}(t) sur [0 \: ; 45].
4. Dresser le tableau de variations de f sur l'intervalle [0 \: ; 45].
5. Déterminer le jour où le nombre de personnes malades est maximal durant cette période de 45 jours et préciser le nombre de personnes alors malades.
1. Déterminer le nombre de personnes malades prévu par ce modèle au bout de 20 jours.
2. Montrer que pour tout t appartenant à [0 \: ; 45] :
f^{\prime}(t)=3 t(30-t).
3. Déterminer le signe de f^{\prime}(t) sur [0 \: ; 45].
4. Dresser le tableau de variations de f sur l'intervalle [0 \: ; 45].
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5. Déterminer le jour où le nombre de personnes malades est maximal durant cette période de 45 jours et préciser le nombre de personnes alors malades.
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Dans la vie professionnelle
Le technicien d'analyses biomédicales effectue des analyses sur des prélèvements humains (sang, urine, selles, etc.) afin de permettre aux médecins d'établir un diagnostic. Pour cela, le technicien prépare les produits, manipule les échantillons, puis rédige une conclusion chiffrée.
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Exercice 76
[Modéliser.]
Étude d'une fonction de degré 2
On modélise le chiffre d'affaires trimestriel, en milliers d'euros, d'une entreprise hôtelière depuis le premier trimestre 2020 par la fonction f définie sur l'intervalle [0 \: ; 16] par f(x)=0,8 x^{2}-10 x+200 où x s'exprime en trimestres écoulés depuis le 1er janvier 2020.
1. Quel est le chiffre d'affaires de l'entreprise au 1er janvier 2020 ? Au 1er janvier 2021 ?
2. a. Déterminer, pour tout x \in[0 \: ; 16], une expression de f^{\prime}(x).
b. Étudier le signe de f^{\prime}(x) sur l'intervalle [0 \: ; 16].
c. En déduire le tableau de variations de f sur l'intervalle [0 \: ; 16].
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3. À partir de quel moment l'entreprise voit‑elle son chiffre d'affaires s'améliorer ?
4. En traçant la courbe représentative de f, à partir de quelle date peut‑on prévoir que le chiffre d'affaires sera supérieur à celui de début 2020 ? Justifier par le calcul.
GeoGebra
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Exercice 77
[Calculer.]
On a représenté ci‑dessous une fonction f définie et dérivable sur [1 \: ; 8].
Étudier, pour tout x \in[1 \: ; 8], le signe de f^{\prime}(x).
Étudier, pour tout x \in[1 \: ; 8], le signe de f^{\prime}(x).
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Aide
On pourra utiliser le lien entre le signe de f^{\prime} et les variations de f.
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Exercice 78
[Communiquer.]
Parmi les courbes ci‑dessous, une seule représente la dérivée de la fonction f: x \mapsto-3 x^{2}+2 x+5.
Laquelle ?
Laquelle ?
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Exercice 79
[Représenter.]
On donne ci‑dessous le tableau de signe de la dérivée f^{\prime} d'une fonction f définie sur \R.
Parmi les trois courbes suivantes, une seule correspond à la représentation graphique de la fonction f. Laquelle ?
1.
2.
3.
Parmi les trois courbes suivantes, une seule correspond à la représentation graphique de la fonction f. Laquelle ?
1.
2.
3.
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Exercice 80
[Représenter.]
Les courbes \mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2 et \mathcal{C}_3 représentent trois fonctions f_1, f_2 et f_3.
Associer, à chacune d'elles, la courbe représentative de sa fonction dérivée, \mathcal{L}_1, \mathcal{L}_2 ou \mathcal{L}_3.
\mathcal{C}_2 :
\mathcal{C}_3 :
Associer, à chacune d'elles, la courbe représentative de sa fonction dérivée, \mathcal{L}_1, \mathcal{L}_2 ou \mathcal{L}_3.
Courbes des fonctions f_1, f_2 et f_3
Courbes des dérivées f_{1}^{\prime}, f_{2}^{\prime} et f_{3}^{\prime}
Courbes des dérivées f_{1}^{\prime}, f_{2}^{\prime} et f_{3}^{\prime}
\mathcal{C}_1 :
\mathcal{C}_2 :
\mathcal{C}_3 :
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Exercice 81
[Raisonner.]
Les courbes représentatives des fonctions f et g définies, pour tout réel x, par f(x)=x^{2}-2 x+5 et g(x)=-x^{2}+12 x-32 admettent deux tangentes parallèles, comme l'illustre la figure ci‑dessous.
1. Donner deux nombres a et b tels que f^{\prime}(a)=g^{\prime}(b).
2. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a.
3. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de g au point d'abscisse b.
1. Donner deux nombres a et b tels que f^{\prime}(a)=g^{\prime}(b).
2. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a.
3. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de g au point d'abscisse b.
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Exercice 82
[Modéliser.]
On considère les fonctions f: x \mapsto x^{2}-3 x+3 et g: x \mapsto x^{3}-4,5 x^{2}+5 x-0,5 définies sur \R.
1. Pour tout réel x, déterminer une expression de f^{\prime}(x) et de g^{\prime}(x).
2. En déduire que ces deux courbes ont une tangente commune au point d'abscisse 1.
1. Pour tout réel x, déterminer une expression de f^{\prime}(x) et de g^{\prime}(x).
2. En déduire que ces deux courbes ont une tangente commune au point d'abscisse 1.
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Exercice 83
[Représenter.]
Soit f la fonction définie pour tout réel x par :
1. Déterminer, pour tout réel x, une expression de f^{\prime}(x).
2. Prouver que, pour tout réel a, on a f^{\prime}(-a)=f^{\prime}(a).
3. Interpréter graphiquement ce résultat.
f(x)=-2 x^{3}-4 x+1
1. Déterminer, pour tout réel x, une expression de f^{\prime}(x).
2. Prouver que, pour tout réel a, on a f^{\prime}(-a)=f^{\prime}(a).
3. Interpréter graphiquement ce résultat.
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Exercice 84
[Représenter.]
Soit f la fonction définie sur [-10 \: ; 20] par :
On admet que f est dérivable sur [-10 \: ; 20] et on note f^{\prime} la fonction dérivée de f.
1. a. Montrer que pour tout x \in [-10 \: ; 20] :
1. b. Montrer que pour tout x \in [-10 \: ; 20] :
2. Déterminer le tableau de variations de f sur [-10 \: ; 20].
f(x)=(x-1)\left(x^{2}-2 x-26\right).
On admet que f est dérivable sur [-10 \: ; 20] et on note f^{\prime} la fonction dérivée de f.
1. a. Montrer que pour tout x \in [-10 \: ; 20] :
f^{\prime}(x)=3 x^{2}-6 x-24.
1. b. Montrer que pour tout x \in [-10 \: ; 20] :
f^{\prime}(x)=3(x-4)(x+2).
Aide
On pourra développer, pour tout x \in [-10 \: ; 20], la seconde expression.
2. Déterminer le tableau de variations de f sur [-10 \: ; 20].
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Exercice 85
Exercice inversé
Proposer une fonction polynôme de degré 2 dont le tableau de variations est le suivant.
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Exercice 86
Exercice inversé
Proposer une fonction polynôme de degré 3, de
la forme x^{3}+b x^{2}+c x+d, dont le tableau de variations est le suivant.
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j'ai une idée !
Oups, une coquille
