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Chapitre 3
Entraînement 3
Point de vue global : fonction dérivée et applications
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Exercice 64
[Calculer.]
Associer, à chaque fonction, sa fonction dérivée.
:
:
:
:
:
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Exercice 65
[Calculer.]
Soit la fonction définie pour tout réel par :
1. Déterminer, pour tout réel une expression de
2. Calculer les nombres dérivés et et interpréter graphiquement ces deux nombres.
On note la fonction dérivée de la fonction
1. Déterminer, pour tout réel une expression de
2. Calculer les nombres dérivés et et interpréter graphiquement ces deux nombres.
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Exercice 66
[Calculer.]
Soit la fonction définie pour tout réel par :
1. Calculer
2. Déterminer, pour tout réel une expression de
3. Calculer le nombre dérivé puis déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de au point d'abscisse
On note la fonction dérivée de la fonction
1. Calculer
2. Déterminer, pour tout réel une expression de
3. Calculer le nombre dérivé puis déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de au point d'abscisse
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Exercice 67
[Communiquer.]
On considère la fonction définie, pour tout réel par
Un élève affirme que les tangentes à la courbe représentative de aux points d'abscisses et sont parallèles.
Discuter cette affirmation.
Un élève affirme que les tangentes à la courbe représentative de aux points d'abscisses et sont parallèles.
Discuter cette affirmation.
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Exercice 68
[Calculer.]
Dans chaque cas, déterminer l'expression de la fonction dérivée de puis l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de au point d'abscisse
1. et
2. et
3. et
1. et
2. et
3. et
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Exercice 69
[Représenter.]
On considère la fonction définie sur par :
1. Déterminer, pour tout une expression de
2. Résoudre sur l'équation
3. Grâce à notre outil d'édition d'image, compléter le tableau suivant
On note la fonction dérivée de la fonction
1. Déterminer, pour tout une expression de
2. Résoudre sur l'équation
3. Grâce à notre outil d'édition d'image, compléter le tableau suivant
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Exercice 70
[Chercher.]
On a représenté ci‑dessous le tableau de signe de la dérivée d'une fonction définie sur
1. À l'aide de la calculatrice graphique, identifier la fonction parmi les trois propositions suivantes.
a.
b.
c.
2. Construire le tableau de variations de
1. À l'aide de la calculatrice graphique, identifier la fonction parmi les trois propositions suivantes.
a.
b.
c.
2. Construire le tableau de variations de
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Exercice 71
[Calculer.]
On considère la fonction définie, pour tout réel par
On note la fonction dérivée de la fonction
1. Déterminer, pour tout réel une expression de en fonction de
2. Étudier, pour tout réel le signe de
3. En déduire les variations de sur
On note la fonction dérivée de la fonction
1. Déterminer, pour tout réel une expression de en fonction de
2. Étudier, pour tout réel le signe de
3. En déduire les variations de sur
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Exercice 72
[Calculer.]
Reprendre l'exercice précédent avec la fonction définie, pour tout réel par
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Exercice 73
[Calculer.]
On considère la fonction définie, pour tout réel par
On note la fonction dérivée de la fonction
1. Déterminer, pour tout réel une expression de en fonction de
2. Étudier, pour tout réel le signe de
3. En déduire les variations de sur
On note la fonction dérivée de la fonction
1. Déterminer, pour tout réel une expression de en fonction de
2. Étudier, pour tout réel le signe de
Remarque
La somme de deux nombres positifs est positive.
3. En déduire les variations de sur
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Exercice 74
[Calculer.]
Reprendre l'exercice précédent avec la fonction définie, pour tout réel par
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Exercice 75
[Représenter.]
Suite à une épidémie dans une région, le nombre de personnes malades jours après l'apparition des premiers cas est modélisé par pour tout appartenant à
1. Déterminer le nombre de personnes malades prévu par ce modèle au bout de 20 jours.
2. Montrer que pour tout appartenant à :
3. Déterminer le signe de sur
4. Dresser le tableau de variations de sur l'intervalle
5. Déterminer le jour où le nombre de personnes malades est maximal durant cette période de 45 jours et préciser le nombre de personnes alors malades.
1. Déterminer le nombre de personnes malades prévu par ce modèle au bout de 20 jours.
2. Montrer que pour tout appartenant à :
3. Déterminer le signe de sur
4. Dresser le tableau de variations de sur l'intervalle
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5. Déterminer le jour où le nombre de personnes malades est maximal durant cette période de 45 jours et préciser le nombre de personnes alors malades.
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Dans la vie professionnelle
Le technicien d'analyses biomédicales effectue des analyses sur des prélèvements humains (sang, urine, selles, etc.) afin de permettre aux médecins d'établir un diagnostic. Pour cela, le technicien prépare les produits, manipule les échantillons, puis rédige une conclusion chiffrée.
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Exercice 76
[Modéliser.]
Étude d'une fonction de degré 2
On modélise le chiffre d'affaires trimestriel, en milliers d'euros, d'une entreprise hôtelière depuis le premier trimestre 2020 par la fonction définie sur l'intervalle par où s'exprime en trimestres écoulés depuis le 1er janvier 2020.
1. Quel est le chiffre d'affaires de l'entreprise au 1er janvier 2020 ? Au 1er janvier 2021 ?
2. a. Déterminer, pour tout , une expression de
b. Étudier le signe de sur l'intervalle
c. En déduire le tableau de variations de sur l'intervalle
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3. À partir de quel moment l'entreprise voit‑elle son chiffre d'affaires s'améliorer ?
4. En traçant la courbe représentative de à partir de quelle date peut‑on prévoir que le chiffre d'affaires sera supérieur à celui de début 2020 ? Justifier par le calcul.
GeoGebra
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Exercice 77
[Calculer.]
On a représenté ci‑dessous une fonction définie et dérivable sur
Étudier, pour tout le signe de
Étudier, pour tout le signe de
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Aide
On pourra utiliser le lien entre le signe de et les variations de
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Exercice 78
[Communiquer.]
Parmi les courbes ci‑dessous, une seule représente la dérivée de la fonction
Laquelle ?
Laquelle ?
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Exercice 79
[Représenter.]
On donne ci‑dessous le tableau de signe de la dérivée d'une fonction définie sur
Parmi les trois courbes suivantes, une seule correspond à la représentation graphique de la fonction Laquelle ?
1.
2.
3.
Parmi les trois courbes suivantes, une seule correspond à la représentation graphique de la fonction Laquelle ?
1.
2.
3.
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Exercice 80
[Représenter.]
Les courbes et représentent trois fonctions et
Associer, à chacune d'elles, la courbe représentative de sa fonction dérivée, ou
:
:
Associer, à chacune d'elles, la courbe représentative de sa fonction dérivée, ou
Courbes des fonctions et
Courbes des dérivées et
Courbes des dérivées et
:
:
:
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Exercice 81
[Raisonner.]
Les courbes représentatives des fonctions et définies, pour tout réel par et admettent deux tangentes parallèles, comme l'illustre la figure ci‑dessous.
1. Donner deux nombres et tels que
2. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de au point d'abscisse
3. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de au point d'abscisse
1. Donner deux nombres et tels que
2. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de au point d'abscisse
3. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de au point d'abscisse
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Exercice 82
[Modéliser.]
On considère les fonctions et définies sur
1. Pour tout réel déterminer une expression de et de
2. En déduire que ces deux courbes ont une tangente commune au point d'abscisse
1. Pour tout réel déterminer une expression de et de
2. En déduire que ces deux courbes ont une tangente commune au point d'abscisse
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Exercice 83
[Représenter.]
Soit la fonction définie pour tout réel par :
1. Déterminer, pour tout réel une expression de
2. Prouver que, pour tout réel on a
3. Interpréter graphiquement ce résultat.
1. Déterminer, pour tout réel une expression de
2. Prouver que, pour tout réel on a
3. Interpréter graphiquement ce résultat.
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Exercice 84
[Représenter.]
Soit la fonction définie sur par :
On admet que est dérivable sur et on note la fonction dérivée de
1. a. Montrer que pour tout :
1. b. Montrer que pour tout :
2. Déterminer le tableau de variations de sur
On admet que est dérivable sur et on note la fonction dérivée de
1. a. Montrer que pour tout :
1. b. Montrer que pour tout :
Aide
On pourra développer, pour tout la seconde expression.
2. Déterminer le tableau de variations de sur
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Exercice 85
Exercice inversé
Proposer une fonction polynôme de degré 2 dont le tableau de variations est le suivant.
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Exercice 86
Exercice inversé
Proposer une fonction polynôme de degré 3, de
la forme dont le tableau de variations est le suivant.
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