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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 3
Entraînement 3

Point de vue global : fonction dérivée et applications

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Différenciation

Parcours 1 : exercices  ;  ;  ;  ;  ; et

Parcours 2 : exercices  ;  ;  ;  ;  ; et

Parcours 3 : exercices  ;  ;  ; et

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Exercice 64
[Calculer.]

Associer, à chaque fonction, sa fonction dérivée.

     : f_{1}(x)=-2 x^{3}+7 x^{2}+x+1
     : f_{2}(x)=-2 x^{2}+7 x+1
     : f_{3}(x)=-2 x^{2}+7
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    Exercice 65
    [Calculer.]

    Soit f la fonction définie pour tout réel x par :
    f(x)=x^{2}-4 x+1.
    On note f^{\prime} la fonction dérivée de la fonction f.

    1. Déterminer, pour tout réel x, une expression de f^{\prime}(x).

    2. Calculer les nombres dérivés f^{\prime}(0) et f^{\prime}(2) et interpréter graphiquement ces deux nombres.
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    Exercice 66
    [Calculer.]

    Soit f la fonction définie pour tout réel x par :
    f(x)=\frac{3}{2} x^{2}-\frac{1}{4} x+5.
    On note f^{\prime} la fonction dérivée de la fonction f.

    1. Calculer f(0).

    2. Déterminer, pour tout réel x, une expression de f^{\prime}(x).

    3. Calculer le nombre dérivé f^{\prime}(0) puis déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 0.
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    Exercice 67
    [Communiquer.]

    On considère la fonction f définie, pour tout réel x, par f(x)=-0,5 x^{3}+0,5 x+1
    Un élève affirme que les tangentes à la courbe représentative de f aux points d'abscisses -1 et 1 sont parallèles.
    Discuter cette affirmation.
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    Exercice 68
    [Calculer.]

    Dans chaque cas, déterminer l'expression de f^{\prime}, la fonction dérivée de f, puis l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a.

    1. f(x)=x^{2}+x+1 et a=0.

    2. f(x)=x^{3}-7 x et a=-1.

    3. f(x)=x^{3}+x^{2} et a=2.
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    Exercice 69
    [Représenter.]

    On considère la fonction f définie sur [0 \: ; 3] par :
    f(x)=2 x^{2}-4 x.
    On note f^{\prime} la fonction dérivée de la fonction f.

    1. Déterminer, pour tout x \in[0 \: ; 3], une expression de f^{\prime}(x).

    2. Résoudre sur [0 \: ; 3] l'équation f^{\prime}(x)=0.

    3. Grâce à notre outil d'édition d'image, compléter le tableau suivant

    tableau de variations - exercice 66
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    Exercice 70
    Placeholder pour calculatricecalculatrice
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    [Chercher.]

    On a représenté ci‑dessous le tableau de signe de la dérivée f^{\prime} d'une fonction f définie sur [0 \: ; 8].

    tableau de variations - exercice 70
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    1. À l'aide de la calculatrice graphique, identifier la fonction f parmi les trois propositions suivantes.

    a. f(x)=0,5 x^{2}-3 x+7,5

    b. f(x)=-0,5 x^{2}+2 x+1

    c. f(x)=-0,5 x^{2}+3 x

    2. Construire le tableau de variations de f.

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    Exercice 71
    [Calculer.]

    On considère la fonction f définie, pour tout réel x, par f(x)=3,5 x^{2}-14 x+1.
    On note f^{\prime} la fonction dérivée de la fonction f.

    1. Déterminer, pour tout réel x, une expression de f^{\prime}(x) en fonction de x.

    2. Étudier, pour tout réel x, le signe de f^{\prime}(x).

    3. En déduire les variations de f sur \R.
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    Exercice 72
    [Calculer.]

    Reprendre l'exercice précédent avec la fonction g définie, pour tout réel x, par g(x)=-3 x^{2}+16 x-3.
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    Exercice 73
    [Calculer.]

    On considère la fonction f définie, pour tout réel x, par f(x)=x^{3}+4 x
    On note f^{\prime} la fonction dérivée de la fonction f.

    1. Déterminer, pour tout réel x, une expression de f^{\prime}(x) en fonction de x.

    2. Étudier, pour tout réel x, le signe de f^{\prime}(x).

    Remarque
    La somme de deux nombres positifs est positive.

    3. En déduire les variations de f sur \R.
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    Exercice 74
    [Calculer.]

    Reprendre l'exercice précédent avec la fonction g définie, pour tout réel x, par g(x)=-x^{3}-7.
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    Exercice 75
    [Représenter.]

    Suite à une épidémie dans une région, le nombre de personnes malades t jours après l'apparition des premiers cas est modélisé par f(t)=45 t^{2}-t^{3}, pour tout t appartenant à [0 \: ; 45].

    Placeholder pour hôpital - exercice 74hôpital - exercice 74
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    1. Déterminer le nombre de personnes malades prévu par ce modèle au bout de 20 jours.

    2. Montrer que pour tout t appartenant à [0 \: ; 45] :
    f^{\prime}(t)=3 t(30-t).

    3. Déterminer le signe de f^{\prime}(t) sur [0 \: ; 45].

    4. Dresser le tableau de variations de f sur l'intervalle [0 \: ; 45].

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    5. Déterminer le jour où le nombre de personnes malades est maximal durant cette période de 45 jours et préciser le nombre de personnes alors malades.
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    Dans la vie professionnelle
    Le technicien d'analyses biomédicales effectue des analyses sur des prélèvements humains (sang, urine, selles, etc.) afin de permettre aux médecins d'établir un diagnostic. Pour cela, le technicien prépare les produits, manipule les échantillons, puis rédige une conclusion chiffrée.
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    Exercice 76
    [Modéliser.]

    Placeholder pour escaliers d'un hôtel - exercice 76escaliers d'un hôtel - exercice 76
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    Étude d'une fonction de degré 2
    On modélise le chiffre d'affaires trimestriel, en milliers d'euros, d'une entreprise hôtelière depuis le premier trimestre 2020 par la fonction f définie sur l'intervalle [0 \: ; 16] par f(x)=0,8 x^{2}-10 x+200x s'exprime en trimestres écoulés depuis le 1er janvier 2020.

    1. Quel est le chiffre d'affaires de l'entreprise au 1er janvier 2020 ? Au 1er janvier 2021 ?

    2. a. Déterminer, pour tout x \in[0 \: ; 16], une expression de f^{\prime}(x).

    b. Étudier le signe de f^{\prime}(x) sur l'intervalle [0 \: ; 16].

    c. En déduire le tableau de variations de f sur l'intervalle [0 \: ; 16].

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    3. À partir de quel moment l'entreprise voit‑elle son chiffre d'affaires s'améliorer ?

    4. En traçant la courbe représentative de f, à partir de quelle date peut‑on prévoir que le chiffre d'affaires sera supérieur à celui de début 2020 ? Justifier par le calcul.
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    Exercice 77
    [Calculer.]

    On a représenté ci‑dessous une fonction f définie et dérivable sur [1 \: ; 8].

    figure - exercice 77
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    Étudier, pour tout x \in[1 \: ; 8], le signe de f^{\prime}(x).

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    Aide
    On pourra utiliser le lien entre le signe de f^{\prime} et les variations de f.
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    Exercice 78
    [Communiquer.]

    Parmi les courbes ci‑dessous, une seule représente la dérivée de la fonction f: x \mapsto-3 x^{2}+2 x+5.
    Laquelle ?

    figure - exercice 78
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    Exercice 79
    [Représenter.]

    On donne ci‑dessous le tableau de signe de la dérivée f^{\prime} d'une fonction f définie sur \R.

    Placeholder pour tableau de variationstableau de variations
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    Parmi les trois courbes suivantes, une seule correspond à la représentation graphique de la fonction f. Laquelle ?

    1.
    Placeholder pour figure 1 - exercice 79figure 1 - exercice 79
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    2.
    Placeholder pour figure 2 - exercice 79figure 2 - exercice 79
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    3.
    Placeholder pour figure 3 - exercice 79figure 3 - exercice 79
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    Exercice 80
    [Représenter.]

    Les courbes \mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2 et \mathcal{C}_3 représentent trois fonctions f_1, f_2 et f_3.
    Associer, à chacune d'elles, la courbe représentative de sa fonction dérivée, \mathcal{L}_1, \mathcal{L}_2 ou \mathcal{L}_3.

    Courbes des fonctions f_1, f_2 et f_3

    figure 1 - exercice 80
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    Courbes des dérivées f_{1}^{\prime}, f_{2}^{\prime} et f_{3}^{\prime}

    figure 2 - exercice 80
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    \mathcal{C}_1 :

    \mathcal{C}_2 :

    \mathcal{C}_3 :


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    Exercice 81
    [Raisonner.]

    Les courbes représentatives des fonctions f et g définies, pour tout réel x, par f(x)=x^{2}-2 x+5 et g(x)=-x^{2}+12 x-32 admettent deux tangentes parallèles, comme l'illustre la figure ci‑dessous.

    figure - exercice 81
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    1. Donner deux nombres a et b tels que f^{\prime}(a)=g^{\prime}(b).

    2. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a.

    3. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de g au point d'abscisse b.
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    Exercice 82
    [Modéliser.]

    On considère les fonctions f: x \mapsto x^{2}-3 x+3 et g: x \mapsto x^{3}-4,5 x^{2}+5 x-0,5 définies sur \R.

    1. Pour tout réel x, déterminer une expression de f^{\prime}(x) et de g^{\prime}(x).

    2. En déduire que ces deux courbes ont une tangente commune au point d'abscisse 1.
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    Exercice 83
    [Représenter.]

    Soit f la fonction définie pour tout réel x par :
    f(x)=-2 x^{3}-4 x+1


    1. Déterminer, pour tout réel x, une expression de f^{\prime}(x).

    2. Prouver que, pour tout réel a, on a f^{\prime}(-a)=f^{\prime}(a).

    3. Interpréter graphiquement ce résultat.
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    Exercice 84
    [Représenter.]

    Soit f la fonction définie sur [-10 \: ; 20] par :
    f(x)=(x-1)\left(x^{2}-2 x-26\right).

    On admet que f est dérivable sur [-10 \: ; 20] et on note f^{\prime} la fonction dérivée de f.

    1. a. Montrer que pour tout x \in [-10 \: ; 20] :
    f^{\prime}(x)=3 x^{2}-6 x-24.

    1. b. Montrer que pour tout x \in [-10 \: ; 20] :
    f^{\prime}(x)=3(x-4)(x+2).

    Aide
    On pourra développer, pour tout x \in [-10 \: ; 20], la seconde expression.

    2. Déterminer le tableau de variations de f sur [-10 \: ; 20].

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    Exercice 85
    Exercice inversé

    Proposer une fonction polynôme de degré 2 dont le tableau de variations est le suivant.

    tableau de variations - exercice 85
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    Exercice 86
    Exercice inversé

    Proposer une fonction polynôme de degré 3, de la forme x^{3}+b x^{2}+c x+d, dont le tableau de variations est le suivant.

    Placeholder pour tableau de variations - exercice 89tableau de variations - exercice 89
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