Mathématiques 1re Techno

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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 3
Exercices

Python

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Exercice 15
On considère la fonction f définie sur [0 \: ;+\infty[ par f(x)=\sqrt{x}.

1. Compléter la ligne 4 du programme ci‑dessous afin qu'il retourne \sqrt{x}.
from math import *

def f(x):
	return ...

def taux_accroissement(a, h):
   return (f(a+h) - f(a))/h


2. Tester la fonction \color{purple}\bf{taux\_accroissement} en prenant pour paramètres \color{purple}\bf{a= 4} et \color{purple}\bf{h= 0,01}\color{black}.

3. Que faut‑il modifier dans le programme afin de calculer le taux d'accroissement de la fonction carré ?

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Exercice 16
On modélise le polynôme \mathrm{P}(x)=1+2 x+x^{2}+4 x^{3} par la liste \color{purple}\bf{[1,2,1,4]} (la liste contient chaque coefficient du polynôme dans l'ordre croissant des puissances de x).

1. a. Calculer la fonction dérivée de ce polynôme.

b. Quelle liste modélise cette dérivée ? Quelle est la taille de cette nouvelle liste ?

2. a. Tester le programme suivant.
def Dérivée_polynôme(P):
  Pprime = []
  for i in range(1,len(P)):
    Pprime.append(i*P[i])
  return Pprime


b. Expliquer pourquoi ce programme permet de calculer la dérivée du polynôme donné par la liste \color{purple}\bf{P}.

3. Pour chacun des polynômes ci‑dessous, déterminer la liste le représentant, puis tester le programme précédent avec la liste obtenue.
Vérifier ensuite que le résultat correspond bien à la liste modélisant le polynôme dérivé.

a. \mathrm{P}(x)=4-3 x+7 x^{2}

b. \mathrm{P}(x)=8+5 x^{2}

c. \mathrm{P}(x)=x+x^{2}+x^{3}
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Exercice 17
On a écrit un programme pour estimer les extremums de la fonction g définie sur [-2 \: ; 2] par g(x)=3 x^{4}-4 x^{3}.
def derivee(x):
	return(12*(x**3 - x**2))

for i in range(2001):
	if derivee(-2 + 4*i/2000) == 0:
  	print("Extremum en ", -2 + 4*i/2000)

1. Expliquer le fonctionnement de ce programme.

2. a.  Déterminer à quoi correspondent les nombres qui s'affichent.

b. Expliquer pourquoi ce programme est incomplet.

3. Proposer une amélioration du programme pour que seules des valeurs de x_0 correspondant aux extremums locaux de f soient affichées.

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Exercice 18
Rappel : On considère une fonction f définie sur un intervalle \text{I} et a un réel appartenant à \text{I.}
Soit h un réel tel que a + h appartienne à \text{I} (de manière que f(a+h) existe).
Le nombre f^{\prime}(a) correspond à la limite du taux d'accroissement de f entre les réels a et a + h lorsque h tend vers 0, c'est‑à‑dire la limite de \frac{f(a+h)-f(a)}{h} lorsque h tend vers 0.
Autrement dit, en prenant h très proche de 0, on doit avoir :
\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \approx f^{\prime}(a)


1. Dans cette question, f désigne la fonction définie sur \R par f(x)=x^{2}.
a. D'après le cours, que vaut f^{\prime}(x) ?

b. Compléter les lignes 2 et 4 du programme ci‑dessous.
def f(x):
	return ...

def fprime(x):
  return ...

def test(a, h):
  return (f(a+h) - f(a))/h - fprime(a)


c. On souhaite vérifier le résultat donné à la question 1. a. à l'aide d'un programme.

La fonction \color{purple}\bf{test} permet de calculer la différence entre le taux de variation de f entre a et a + h et f^{\prime}(a).

Tester le programme pour :
  • a = 2 et h = 0,001 ;
  • a = 1 et h = 0,000\:01.

Les résultats obtenus sont‑ils cohérents avec le résultat annoncé à la question 1. a. ?

2. Reprendre les questions précédentes avec la fonction cube.

3. Un élève annonce que la dérivée de la fonction x \mapsto x^{10} est x \mapsto 10 x^{9}. Utiliser le programme pour discuter de ce résultat.

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