Python

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty [$ par $f(x)=\sqrt{x}.$

1. Compléter la ligne 4 du programme ci‑dessous afin qu'il retourne $\sqrt{x}.$

from math import *

def f(x):
	return ...

def taux_accroissement(a, h):
   return (f(a+h) - f(a))/h

2. Tester la fonction $taux\_accroissement$ en prenant pour paramètres $\mathbf{a}=4$ et $\mathbf{h}=0,01$.

3. Que faut‑il modifier dans le programme afin de calculer le taux d'accroissement de la fonction carré ?

Rappel : On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $\text{I}$ et $a$ un réel appartenant à $\text{I.}$
Soit $h$ un réel tel que $a+h$ appartienne à $\text{I}$ (de manière que $f(a+h)$ existe).
Le nombre $f^{\prime }(a)$ correspond à la limite du taux d'accroissement de $f$ entre les réels $a$ et $a+h$ lorsque $h$ tend vers $0,$ c'est‑à‑dire la limite de $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ lorsque $h$ tend vers $0.$
Autrement dit, en prenant $h$ très proche de $0,$ on doit avoir :


1. Dans cette question, $f$ désigne la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2.$
a. D'après le cours, que vaut $f^{\prime }(x)$ ?

b. Compléter les lignes 2 et 4 du programme ci‑dessous.

def f(x):
	return ...

def fprime(x):
  return ...

def test(a, h):
  return (f(a+h) - f(a))/h - fprime(a)

c. On souhaite vérifier le résultat donné à la question 1. a. à l'aide d'un programme.

La fonction $\mathbf{test}$ permet de calculer la différence entre le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ et $f^{\prime }(a).$

Tester le programme pour :

• $a=2$ et $h=0,001$ ;
• $a=1$ et $h=0,00001.$

Les résultats obtenus sont‑ils cohérents avec le résultat annoncé à la question 1. a. ?

2. Reprendre les questions précédentes avec la fonction cube.

3. Un élève annonce que la dérivée de la fonction $x\mapsto x^{10}$ est $x\mapsto 10x^9.$ Utiliser le programme pour discuter de ce résultat.