Mathématiques Terminale Bac Pro - Cahier

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Partie 1 : Statistique et probabilités
Ch. 1
Statistiques à deux variables
Partie 2 : Algèbre - Analyse
Ch. 3
Suites numériques
Ch. 4
Fonctions polynômes de degré 3
Ch. 5
Fonctions exponentielles et logarithme décimal
Ch. 6
Calculs commerciaux et financiers
Partie 3 : Géométrie
Ch. 7
Vecteurs
Ch. 8
Trigonométrie
Annexes
Révisions Genially
Consolidation
Poursuite d'études
Annexes
Programmation
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 2
Activité B

Efficacité des tests médicaux

Capacité : Dans des cas simples, calculer une probabilité à l'aide de la formule des probabilités totales.

16 professeurs ont participé à cette page
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Énoncé

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Lors d'une épidémie de mathématite aiguë (passion obsessionnelle pour les mathématiques), des tests sont effectués sur les personnes qui ont été en contact avec des individus malades. Les premiers symptômes de cette maladie très contagieuse n'apparaissant pas immédiatement, on souhaite repérer puis isoler les individus asymptomatiques.
On étudie un échantillon de 1 000 élèves choisis au hasard dans un lycée. Au moment où on effectue les tests, on estime que 20 % des élèves de ce lycée sont contaminés.
Les tests ne sont malheureusement pas fiables à 100 %. En effet, on constate que :
  • si l'élève est malade, le test est négatif dans 10 % des cas ;
  • si l'élève n'est pas malade, le test est positif dans 5 % des cas.
Le proviseur désigne au hasard un élève.
Problématique
Problématique : Quelle est la probabilité qu'un élève testé négatif soit en réalité malade ?

On note respectivement \mathrm M et \mathrm N les événements « L'élève est malade » et « Le test est négatif ».

On donne ci-contre l'arbre de probabilités pondéré qui représente la situation donnée dans l᾽énoncé.

Pour écrire sur cet arbre de probabilité, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.

Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.
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Questions

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1
S'approprier

Interpréter les événements \overline{\mathrm{M}} \text { et } \overline{\mathrm{N}} dans le contexte de l'activité.
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2
S'approprier

À l'aide des données de l᾽énoncé, donner la probabilité des événements « Le test est positif sachant que l'élève est malade », notée \mathrm{ P_{M}(\overline{N})} et « Le test est négatif sachant que l'élève est en bonne santé », notée \mathrm{P}_{\overline{\mathrm{M}}}(\mathrm{N}) .
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3
S'approprier

À l'aide de l'outil de dessin, préciser sur chaque branche de l'arbre les probabilités qui correspondent aux différents événements
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4
Réaliser

Parmi les 1 000 élèves, déterminer combien sont malades et testés négatif puis donner {\mathrm{P}(\mathrm{M} \cap \mathrm{N})}.
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5
Réaliser

Parmi les 1 000 élèves, déterminer combien sont sains et testés négatif puis donner {\mathrm{P}(\overline{\mathrm{M}} \cap \mathrm{N})} .
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6
Réaliser

Calculer la probabilité qu'un individu soit testé négatif, notée \mathrm{P}(\mathrm{N}).
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7
Valider, Communiquer

Indiquer la proportion d᾽élèves malades parmi ceux testés négatif et répondre à la problématique.
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8
Valider

Laura est tombée malade. Son amie Amandine, cas contact, s'est donc fait tester. Le test est négatif.
En utilisant le résultat de la question 7., Amandine a-t-elle raison de penser qu'elle n'est pas malade ?
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9
Réaliser

À l'aide des questions 2., 3. et 4., vérifier que \mathrm{P}(\mathrm{M} \cap \mathrm{N})=\mathrm{P}(\mathrm{M}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{M}}(\mathrm{N}).
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10
Réaliser

À l'aide des questions 2., 3. et 6., vérifier que \mathrm{P}(\mathrm{N}) = \mathrm{P}(\mathrm{M}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{M}}(\mathrm{N})+\mathrm{P}(\overline{\mathrm{M}}) \times \mathrm{P}_{\overline{\mathrm{M}}}(\mathrm{N}).
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À retenir

  • La probabilité d'un événement correspond à
    des probabilités des chemins qui conduisent à cet événement.

  • Dans cette activité :
    \mathrm{P}(\mathrm{N})= \color{blue}{\mathrm{P}(\mathrm{M} \cap \mathrm{N})} \color{black}{+} \color{green}{\mathrm{P}(\overline{\mathrm{M}} \cap \mathrm{N})} \color{black}=
    .


Pour s᾽entraîner : p. 32 et p. 33.
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