Mathématiques Terminale Bac Pro - Cahier

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Partie 1 : Statistique et probabilités
Ch. 1
Statistiques à deux variables
Ch. 2
Probabilités
Partie 2 : Algèbre - Analyse
Ch. 3
Suites numériques
Ch. 4
Fonctions polynômes de degré 3
Ch. 5
Fonctions exponentielles et logarithme décimal
Ch. 6
Calculs commerciaux et financiers
Partie 3 : Géométrie
Ch. 7
Vecteurs
Ch. 8
Trigonométrie
Annexes
Révisions Genially
Consolidation
Annexes
Programmation
Cahier d'algorithmique et de programmation
Poursuite d'études

Nombres complexes

Calculer et interpréter géométriquement le module et l'argument d'un nombre complexe et l'écrire sous forme trigonométrique.

16 professeurs ont participé à cette page
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Définitions

  • Le module d'un nombre complexe z = a + \text{i}b est : |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.


  • Un argument d'un nombre complexe non nul z est une mesure en radian de l'angle orienté \theta tel que \cos (\theta)=\frac{\operatorname{Re}(z)}{|z|} et \sin (\theta)=\frac{\operatorname{Im}(z)}{|z|}.
    Il est déterminé, en fonction des valeurs du cosinus et du sinus, grâce au tableau suivant.

Poursuite d'études, Nombres complexes
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\theta0\frac{\pi}{6}\frac{\pi}{4}\frac{\pi}{3}\frac{\pi}{2}\frac{2 \pi}{3}\frac{3 \pi}{4}\frac{5 \pi}{6}\pi
\cos(\theta)1\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2}0\frac{-1}{2}\frac{-\sqrt{2}}{2}\frac{-\sqrt{3}}{2}-1
\sin(\theta)0\frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}1\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2}0


  • L'écriture trigonométrique d'un nombre complexe de module r=|z| et d'argument \theta est son écriture sous la forme z=r(\cos (\theta)+\mathrm{i} \sin (\theta)).

    Exemple : Sur la figure ci-dessous, l'affixe de \text{M} sous forme trigonométrique est z={\color{blue}2}\left(\cos \left({\color{orange}\frac{3 \pi}{8}}\right)+\text{i} \sin \left({\color{orange}\frac{3 \pi}{8}}\right)\right) car la valeur en radian correspondant à 67{,}5° est \frac{3 \pi}{8}.


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    Exercice corrigé

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    Énoncé
    On considère le nombre complexe z = \sqrt{3} - \text{i}.

    1. Déterminer le module et un argument de z puis donner son écriture trigonométrique.

    2. Placer le point \text{M} d'affixe z dans un repère orthonormé.
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    Solution
    1. a=\operatorname{Re}(z)=\sqrt{3} et b=\operatorname{Im}(z)=-1 donc |z|=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{3+1}=2.

    \cos (\theta)=\frac{\sqrt{3}}{2} et \sin (\theta)=\frac{-1}{2} donc \theta=\frac{-\pi}{6}.

    Finalement, z=2\left(\cos \left(\frac{-\pi}{6}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{-\pi}{6}\right)\right).

    2.
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    Méthode
    1. On identifie a=\operatorname{Re}(z) et b=\operatorname{Im}(z).
    On calcule |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}, \cos \theta=\frac{a}{|z|} et \sin \theta=\frac{b}{|z|}.
    On utilise le tableau pour déduire la mesure de l'angle \theta de son cosinus et de son sinus.
    Dans la formule z=r(\cos (\theta)+\mathrm{i} \sin (\theta)), on remplace r et \theta par leurs valeurs, sans calculer \cos(\theta) et \sin(\theta).

    2. Pour placer le point \text{M,} on construit la demi-droite d'origine \text{O} formant un angle \theta avec l'axe horizontal.
    On place \text{M} sur cette demi-droite, tel que \text{OM} =|z|.
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    Exercices

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    Exercice 17
    Donner les valeurs exactes des modules des nombres complexes suivants.
    1. 2 - 3\text{i}

    2. -5 + \text{i}

    3. 0{,}4 + 1{,}2\text{i}
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    Exercice 18
    Donner une valeur approchée, arrondie au dixième, des modules des nombres complexes suivants.
    1. 6\text{i} - 7

    2. 13 + 9\text{i}

    3. 12\text{i}
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    Exercice 19
    Soit z = 4 - 7\text{i}. Donner la valeur exacte de |z| et de |\overline{z}|.
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    Exercice 20
    Déterminer le module et un argument des nombres complexes 2\text{i} et -3.
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    Exercice 21
    Déterminer le module et un argument du nombre complexe z = 1 - \text{i} et de son conjugué.
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    Exercice 22
    Déterminer le module et un argument du nombre complexe z = \sqrt{12} + 6\text{i} et de son conjugué.
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    Exercice 23
    Donner l'écriture trigonométrique des nombres complexes suivants.
    1. 3-\sqrt{3} \mathrm{i}

    2. -5+5 \mathrm{i}

    3. -5 \sqrt{3}-15 \mathrm{i}
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    Exercice 24
    Donner l'écriture algébrique des nombres complexes suivants.
    1. 0{,}1(\cos (\pi)+\mathrm{i} \sin (\pi))

    2. \sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{3 \pi}{4}\right)\right)

    3. 4\left(\cos \left(\frac{-\pi}{2}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{-\pi}{2}\right)\right)
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    Exercice 25
    Représenter dans un repère orthonormé les points \text{M,} \text{N} et \text{P} d'affixes respectives :
    • z_{\mathrm{M}}=1,5\left(\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)\right)\:;

    • {z_{\mathrm{N}}}=2\left(\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)\right)\:;

    • z_{\mathrm{P}}=\left(\cos \left(\frac{-\pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{-\pi}{3}\right)\right).


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    Exercice 26
    Donner les écritures trigonométriques des nombres complexes suivants : z_{\mathrm{A}}=-1, z_{\mathrm{B}}=1, z_{\mathrm{C}}=\mathrm{i} et z_{\mathrm{D}}=-\mathrm{i}.
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    Exercice 27
    Déterminer les écritures trigonométriques des affixes a, b et c des points \text{A,} \text{B} et \text{C} représentés ci-dessous, vérifiant \text{OA} = 2, \text{OB} = 1 et \text{OC} = \sqrt{2}.

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    Exercice 28
    Les points \text{C,} \text{D} et \text{E} ci-dessous sont sur le cercle de centre \text{O} et de rayon \sqrt{6}. Donner les arguments des affixes respectives z_\text{C}, z_\text{D} et z_\text{E} de chacun de ces points, puis leur écriture trigonométrique, et en déduire leur écriture algébrique.

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    Exercice 29
    Déterminer les écritures trigonométriques des nombres complexes z_{\text{A}}=-\sqrt{8}+\text{i} \sqrt{8} et z_{\text{B}}=-\sqrt{18}-\text{i} \sqrt{18} puis les représenter dans un repère orthonormé direct.

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    Exercice 30
    Déterminer les écritures trigonométriques des nombres complexes z_{\text{C}}=\sqrt{75}-5\text{i} et z_{\text{D}}=2+\text{i} \sqrt{12} puis les représenter dans un repère orthonormé direct.

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    Exercice 31
    Déterminer les écritures trigonométriques des affixes des points \text{C,} \text{D} et \text{E} représentés ci-dessous.

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