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Partie 1 : Statistique et probabilités
Ch. 1
Statistiques à deux variables
Ch. 2
Probabilités
Partie 2 : Algèbre - Analyse
Ch. 3
Suites numériques
Ch. 4
Fonctions polynômes de degré 3
Ch. 5
Fonctions exponentielles et logarithme décimal
Ch. 6
Calculs commerciaux et financiers
Partie 3 : Géométrie
Ch. 7
Vecteurs
Ch. 8
Trigonométrie
Annexes
Révisions Genially
Consolidation
Poursuite d'études
Annexes
Programmation
Cahier d'algorithmique et de programmation
Poursuite d'études
Nombres complexes
✔Calculer et interpréter géométriquement la somme, le produit et le quotient de deux nombres complexes.
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Soit z = a + \text{i}b et z^\prime = c + \text{i}d deux nombres complexes.
Exemple : (2 + 3\text{i}) + (1 - \text{i}) = (2 + 1) + \text{i}(3 - 1) = 3 + 2\text{i}
Définition
La somme de \bm{z} et \bm{z^\prime} est le nombre complexe z + z^\prime = (a + c) + \text{i}(b + d).Exemple : (2 + 3\text{i}) + (1 - \text{i}) = (2 + 1) + \text{i}(3 - 1) = 3 + 2\text{i}
Propriétés
- Pour calculer l'inverse de z, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué de z.
Exemple : \frac{1}{1+2 \text{i}}=\frac{1 \times{\color{red}(1-2 \text{i})}}{(1+2 \text{i}){\color{red}(1-2 \text{i})}}=\frac{1-2 \text{i}}{1-2 \text{i}+2 \text{i}-4 \text{i}^{2}}=\frac{1-2 \text{i}}{1+4}=\frac{1-2 \text{i}}{5}=\frac{1}{5}-\frac{2}{5} \text{i} - Pour calculer le quotient de z par z^\prime, on multiplie z et z^\prime par le conjugué de z^\prime.
Exemple : \frac{5-3 \text{i}}{8+2 \text{i}}=\frac{(5-3 \text{i}) \times{\color{red}(8-2 \text{i})}}{(8+2 \text{i}) \times{\color{red}(8-2 \text{i})}}=\frac{40-10 \text{i}-24 \text{i}+6 \text{i}^{2}}{8^{2}-16 \text{i}+16 \text{i}-4 \text{i}^{2}}=\frac{34-34 \text{i}}{68}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \text{i}
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Exercice corrigé
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Énoncé
Soit z = -3 - 5\text{i} et z^\prime = 0{,}5\text{i} deux nombres complexes.
Déterminer l'écriture algébrique des nombres complexes z+z^{\prime}, z \times z^{\prime} et \frac{1}{z^{\prime}}.
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Solution
- z+z^{\prime}=(-3-5 \text{i})+0{,}5 \text{i}=-3-4{,}5 \text{i}
- \begin{aligned} z \times z^{\prime} &=(-3-5 \text{i}) \times 0{,}5 \text{i} \\ &=-3 \times 0{,}5 \text{i}-5 \text{i} \times 0{,}5 \text{i} \\ &=-1{,}5 \text{i}-2{,}5 \text{i}^{2} \\ &=-1{,}5 \text{i}+2{,}5 \end{aligned}
- \frac{1}{z^{\prime}}=\frac{1}{0{,}5 \mathrm{i}}=\frac{1 \times(-0{,}5 \mathrm{i})}{0{,}5 \mathrm{i} \times(-0{,}5 \mathrm{i})}=\frac{-0{,}5 \mathrm{i}}{-0{,}25 \times \mathrm{i}^{2}}=\frac{-0{,}5 \mathrm{i}}{0{,}25}=-2 \mathrm{i}
Méthode
- Pour additionner deux nombres complexes, on ajoute les parties réelles entre elles et les parties imaginaires entre elles.
- Pour multiplier deux nombres complexes, on distribue et on utilise le fait que \text{i}^2 = -1.
- L'inverse de z est \frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z|^{2}}.
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Exercices
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Exercice 32
Répondre aux questions suivantes en utilisant un outil numérique.
1. Placer le point d'affixe z_{1}=2+3 \text{i} en tapant dans la barre de saisie : z_1 = 2 + 3i.
2. Placer le point d'affixe z_{2}=1-\text{i} en tapant dans la barre de saisie : z_2 = 1 - i.
3. a. Déterminer l'affixe z_3 de la somme z_{1}+z_{2} en tapant dans la barre de saisie : z_3 = z_1 + z_2.
b. En observant le point d'affixe z_3, exprimer \operatorname{Re}\left(z_{3}\right) en fonction de \operatorname{Re}\left(z_{1}\right) et \operatorname{Re}\left(z_{2}\right).
c. En observant le point d'affixe z_3, exprimer \operatorname{Im}\left(z_{3}\right) en fonction de \operatorname{Im}\left(z_{1}\right) et \operatorname{Im}\left(z_{2}\right).
4. a. Déterminer l'affixe z_4 de la somme z_{1}-z_{2} en tapant dans la barre de saisie : z_4 = z_1 - z_2.
b. En observant le point d'affixe z_4, exprimer \operatorname{Re}\left(z_{4}\right) en fonction de \operatorname{Re}\left(z_{1}\right) et \operatorname{Re}\left(z_{2}\right).
c. En observant le point d'affixe z_4, exprimer \operatorname{Im}\left(z_{4}\right) en fonction de \operatorname{Im}\left(z_{1}\right) et \operatorname{Im}\left(z_{2}\right).
GeoGebra
1. Placer le point d'affixe z_{1}=2+3 \text{i} en tapant dans la barre de saisie : z_1 = 2 + 3i.
2. Placer le point d'affixe z_{2}=1-\text{i} en tapant dans la barre de saisie : z_2 = 1 - i.
3. a. Déterminer l'affixe z_3 de la somme z_{1}+z_{2} en tapant dans la barre de saisie : z_3 = z_1 + z_2.
b. En observant le point d'affixe z_3, exprimer \operatorname{Re}\left(z_{3}\right) en fonction de \operatorname{Re}\left(z_{1}\right) et \operatorname{Re}\left(z_{2}\right).
c. En observant le point d'affixe z_3, exprimer \operatorname{Im}\left(z_{3}\right) en fonction de \operatorname{Im}\left(z_{1}\right) et \operatorname{Im}\left(z_{2}\right).
4. a. Déterminer l'affixe z_4 de la somme z_{1}-z_{2} en tapant dans la barre de saisie : z_4 = z_1 - z_2.
b. En observant le point d'affixe z_4, exprimer \operatorname{Re}\left(z_{4}\right) en fonction de \operatorname{Re}\left(z_{1}\right) et \operatorname{Re}\left(z_{2}\right).
c. En observant le point d'affixe z_4, exprimer \operatorname{Im}\left(z_{4}\right) en fonction de \operatorname{Im}\left(z_{1}\right) et \operatorname{Im}\left(z_{2}\right).
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Exercice 33
Soit z = 1 - 2\text{i} et z^\prime = 2 + \text{i}.
Calculer z + z^\prime et z - z^\prime puis les représenter dans un repère orthonormé direct.
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GeoGebra
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Exercice 34
Soit z = -11 - 5\text{i} et z^\prime = -12 + 3\text{i}.
Calculer z + z^\prime, z - z^\prime et z \times z^\prime.
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Exercice 35
Soit z = 2 - 6\text{i}.
Calculer l'inverse de z.
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Exercice 36
Soit z=-5 \text{i} et z^{\prime}=2.
Calculer \frac{1}{z} et \frac{1}{z^{\prime}}.
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Exercice 37
Soit z=-9+ \text{i} et z^{\prime}=\text{i}-1.
Calculer \frac{1}{z^{\prime}} et \frac{z}{z^{\prime}}.
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Exercice 38
Soit z = 0{,}2 + 3\text{i} et z^\prime = 2{,}4 - 6\text{i}.
1. Représenter z, z^\prime, z + z^\prime et leurs conjugués dans un repère orthonormé direct.
2. Calculer \overline{z} et \overline{z^{\prime}} puis comparer \overline{z+z^{\prime}} avec \overline{z} + \overline{z^{\prime}}.
1. Représenter z, z^\prime, z + z^\prime et leurs conjugués dans un repère orthonormé direct.
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Exercice 39
Soit z = 1{,}3 - 7\text{i} et z^\prime = -0{,}9 - 2\text{i}.
Calculer \overline{z} et \overline{z^{\prime}} puis comparer \overline{z \times z^{\prime}} avec \overline{z} \times \overline{z^{\prime}}.
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Exercice 40
Soit z = \sqrt{2} - 2\text{i}.
1. Calculer |z|, \frac{1}{|z|} et \left|\frac{1}{z}\right|.
2. Que remarque-t-on ?
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Exercice 41
Soit z = -0{,}1 + 0{,}2\text{i} et z^\prime = -0{,}4 - \text{i}.
1. Calculer \overline z, \overline {z^\prime}, \frac{z}{z^\prime} et \frac{\overline z}{\overline {z^\prime}}.
2. Comparer le conjugué de \frac{z}{z^\prime} avec \frac{\overline z}{\overline {z^\prime}}.
1. Calculer \overline z, \overline {z^\prime}, \frac{z}{z^\prime} et \frac{\overline z}{\overline {z^\prime}}.
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Exercice 42
Soit z = 4 - 6\text{i} et z^\prime = 1 + 4{,}5\text{i}.
Calculer \left|z\right|, \left| z^{\prime} \right|, \frac{z}{z^\prime} et \left|\frac{z}{{z^\prime}}\right|.
Calculer \left|z\right|, \left| z^{\prime} \right|, \frac{z}{z^\prime} et \left|\frac{z}{{z^\prime}}\right|.
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Exercice 43
Soit z = \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \text{i} et z^\prime = \text{i}.
1. Calculer z \times z^\prime.
2. Déterminer |z|, \left|z^{\prime}\right|, puis \left|z \times z^{\prime}\right|.
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Exercice 44
Soit z = -4 + 3\text{i}.
1. Calculer \frac{1}{z} et \frac{1}{\overline{z}}.
2. Représenter z, \frac{1}{z}, \overline{z} et \frac{1}{\overline{z}} dans un repère orthonormé.
1. Calculer \frac{1}{z} et \frac{1}{\overline{z}}.
2. Représenter z, \frac{1}{z}, \overline{z} et \frac{1}{\overline{z}} dans un repère orthonormé.
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Exercice 45
Soit z = 8 - 0{,}5\text{i}.
Vérifier que z+\overline{z}=2 \times \operatorname{Re}(z) et z-\overline{z}=2 \mathrm{i} \times \operatorname{Im}(z).
Vérifier que z+\overline{z}=2 \times \operatorname{Re}(z) et z-\overline{z}=2 \mathrm{i} \times \operatorname{Im}(z).
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Exercice 46
Soit z = 1{,}3 + 0{,}1\text{i}.
Vérifier que |z|^{2}=z \times \overline{z}.
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Exercice 47
Soit z=\sqrt{2}+\sqrt{2} \mathrm{i} et z^\prime = -1 + \mathrm{i}.
1. Calculer z \times z^\prime.
2. Déterminer un argument de z, un argument de z^\prime, puis un argument de z \times z^\prime.
3. Représenter z, z^\prime et z \times z^\prime dans un repère.
1. Calculer z \times z^\prime.
2. Déterminer un argument de z, un argument de z^\prime, puis un argument de z \times z^\prime.
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Exercice 48
Soit z, z^\prime les nombres complexes dont les écritures trigonométriques sont z=\sqrt{3}\left(\cos \left(\frac{-\pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{-\pi}{3}\right)\right) et z^{\prime}=2{,}5\left(\cos \left(\frac{-\pi}{6}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{-\pi}{6}\right)\right).
Représenter ces nombres dans un repère et déterminer l'écriture trigonométrique de z \times z^\prime.
Représenter ces nombres dans un repère et déterminer l'écriture trigonométrique de z \times z^\prime.
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Exercice 49
1. Déterminer l'expression algébrique du nombre complexe z=\frac{2+3 \text{i}}{2-\text{i}}.
2. Déterminer l'expression algébrique du nombre complexe z^{\prime}=\frac{2-2 \text{i}}{5 \text{i}}.
3. En déduire l'expression algébrique du nombre complexe \frac{2+3 \text{i}}{2-\text{i}}+\frac{2-2 \text{i}}{5 \text{i}}.
2. Déterminer l'expression algébrique du nombre complexe z^{\prime}=\frac{2-2 \text{i}}{5 \text{i}}.
3. En déduire l'expression algébrique du nombre complexe \frac{2+3 \text{i}}{2-\text{i}}+\frac{2-2 \text{i}}{5 \text{i}}.
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