Mathématiques Terminale Bac Pro - Cahier

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Partie 1 : Statistique et probabilités
Ch. 1
Statistiques à deux variables
Ch. 2
Probabilités
Partie 2 : Algèbre - Analyse
Ch. 3
Suites numériques
Ch. 4
Fonctions polynômes de degré 3
Ch. 5
Fonctions exponentielles et logarithme décimal
Ch. 6
Calculs commerciaux et financiers
Partie 3 : Géométrie
Ch. 7
Vecteurs
Ch. 8
Trigonométrie
Annexes
Révisions Genially
Consolidation
Annexes
Programmation
Cahier d'algorithmique et de programmation
Poursuite d'études

Nombres complexes

Calculer et interpréter géométriquement la somme, le produit et le quotient de deux nombres complexes.

17 professeurs ont participé à cette page
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Soit z = a + \text{i}b et z^\prime = c + \text{i}d deux nombres complexes.

Définition

La somme de \bm{z} et \bm{z^\prime} est le nombre complexe z + z^\prime = (a + c) + \text{i}(b + d).

Exemple : (2 + 3\text{i}) + (1 - \text{i}) = (2 + 1) + \text{i}(3 - 1) = 3 + 2\text{i}

Propriétés

  • Pour calculer l'inverse de z, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué de z.

    Exemple : \frac{1}{1+2 \text{i}}=\frac{1 \times{\color{red}(1-2 \text{i})}}{(1+2 \text{i}){\color{red}(1-2 \text{i})}}=\frac{1-2 \text{i}}{1-2 \text{i}+2 \text{i}-4 \text{i}^{2}}=\frac{1-2 \text{i}}{1+4}=\frac{1-2 \text{i}}{5}=\frac{1}{5}-\frac{2}{5} \text{i}

  • Pour calculer le quotient de z par z^\prime, on multiplie z et z^\prime par le conjugué de z^\prime.

    Exemple : \frac{5-3 \text{i}}{8+2 \text{i}}=\frac{(5-3 \text{i}) \times{\color{red}(8-2 \text{i})}}{(8+2 \text{i}) \times{\color{red}(8-2 \text{i})}}=\frac{40-10 \text{i}-24 \text{i}+6 \text{i}^{2}}{8^{2}-16 \text{i}+16 \text{i}-4 \text{i}^{2}}=\frac{34-34 \text{i}}{68}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \text{i}
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Exercice corrigé

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Énoncé
Soit z = -3 - 5\text{i} et z^\prime = 0{,}5\text{i} deux nombres complexes.
Déterminer l'écriture algébrique des nombres complexes z+z^{\prime}, z \times z^{\prime} et \frac{1}{z^{\prime}}.
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Solution
  • z+z^{\prime}=(-3-5 \text{i})+0{,}5 \text{i}=-3-4{,}5 \text{i}

  • \begin{aligned} z \times z^{\prime} &=(-3-5 \text{i}) \times 0{,}5 \text{i} \\ &=-3 \times 0{,}5 \text{i}-5 \text{i} \times 0{,}5 \text{i} \\ &=-1{,}5 \text{i}-2{,}5 \text{i}^{2} \\ &=-1{,}5 \text{i}+2{,}5 \end{aligned}

  • \frac{1}{z^{\prime}}=\frac{1}{0{,}5 \mathrm{i}}=\frac{1 \times(-0{,}5 \mathrm{i})}{0{,}5 \mathrm{i} \times(-0{,}5 \mathrm{i})}=\frac{-0{,}5 \mathrm{i}}{-0{,}25 \times \mathrm{i}^{2}}=\frac{-0{,}5 \mathrm{i}}{0{,}25}=-2 \mathrm{i}
Méthode
  • Pour additionner deux nombres complexes, on ajoute les parties réelles entre elles et les parties imaginaires entre elles.

  • Pour multiplier deux nombres complexes, on distribue et on utilise le fait que \text{i}^2 = -1.

  • L'inverse de z est \frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z|^{2}}.
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Exercices

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Exercice 32
Répondre aux questions suivantes en utilisant un outil numérique.
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1. Placer le point d'affixe z_{1}=2+3 \text{i} en tapant dans la barre de saisie : z_1 = 2 + 3i.

2. Placer le point d'affixe z_{2}=1-\text{i} en tapant dans la barre de saisie : z_2 = 1 - i.

3. a. Déterminer l'affixe z_3 de la somme z_{1}+z_{2} en tapant dans la barre de saisie : z_3 = z_1 + z_2.

b. En observant le point d'affixe z_3, exprimer \operatorname{Re}\left(z_{3}\right) en fonction de \operatorname{Re}\left(z_{1}\right) et \operatorname{Re}\left(z_{2}\right).

c. En observant le point d'affixe z_3, exprimer \operatorname{Im}\left(z_{3}\right) en fonction de \operatorname{Im}\left(z_{1}\right) et \operatorname{Im}\left(z_{2}\right).

4. a. Déterminer l'affixe z_4 de la somme z_{1}-z_{2} en tapant dans la barre de saisie : z_4 = z_1 - z_2.

b. En observant le point d'affixe z_4, exprimer \operatorname{Re}\left(z_{4}\right) en fonction de \operatorname{Re}\left(z_{1}\right) et \operatorname{Re}\left(z_{2}\right).

c. En observant le point d'affixe z_4, exprimer \operatorname{Im}\left(z_{4}\right) en fonction de \operatorname{Im}\left(z_{1}\right) et \operatorname{Im}\left(z_{2}\right).
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Exercice 33
Soit z = 1 - 2\text{i} et z^\prime = 2 + \text{i}.
Calculer z + z^\prime et z - z^\prime puis les représenter dans un repère orthonormé direct.

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Exercice 34
Soit z = -11 - 5\text{i} et z^\prime = -12 + 3\text{i}.
Calculer z + z^\prime, z - z^\prime et z \times z^\prime.
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Exercice 35
Soit z = 2 - 6\text{i}.
Calculer l'inverse de z.
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Exercice 36
Soit z=-5 \text{i} et z^{\prime}=2.
Calculer \frac{1}{z} et \frac{1}{z^{\prime}}.
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Exercice 37
Soit z=-9+ \text{i} et z^{\prime}=\text{i}-1.
Calculer \frac{1}{z^{\prime}} et \frac{z}{z^{\prime}}.
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Exercice 38
Soit z = 0{,}2 + 3\text{i} et z^\prime = 2{,}4 - 6\text{i}.
1. Représenter z, z^\prime, z + z^\prime et leurs conjugués dans un repère orthonormé direct.

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2. Calculer \overline{z} et \overline{z^{\prime}} puis comparer \overline{z+z^{\prime}} avec \overline{z} + \overline{z^{\prime}}.
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Exercice 39
Soit z = 1{,}3 - 7\text{i} et z^\prime = -0{,}9 - 2\text{i}.
Calculer \overline{z} et \overline{z^{\prime}} puis comparer \overline{z \times z^{\prime}} avec \overline{z} \times \overline{z^{\prime}}.
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Exercice 40
Soit z = \sqrt{2} - 2\text{i}.
1. Calculer |z|, \frac{1}{|z|} et \left|\frac{1}{z}\right|.

2. Que remarque-t-on ?
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Exercice 41
Soit z = -0{,}1 + 0{,}2\text{i} et z^\prime = -0{,}4 - \text{i}.
1. Calculer \overline z, \overline {z^\prime}, \frac{z}{z^\prime} et \frac{\overline z}{\overline {z^\prime}}.

2. Comparer le conjugué de \frac{z}{z^\prime} avec \frac{\overline z}{\overline {z^\prime}}.
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Exercice 42
Soit z = 4 - 6\text{i} et z^\prime = 1 + 4{,}5\text{i}.
Calculer \left|z\right|, \left| z^{\prime} \right|, \frac{z}{z^\prime} et \left|\frac{z}{{z^\prime}}\right|.
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Exercice 43
Soit z = \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \text{i} et z^\prime = \text{i}.
1. Calculer z \times z^\prime.

2. Déterminer |z|, \left|z^{\prime}\right|, puis \left|z \times z^{\prime}\right|.
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Exercice 44
Soit z = -4 + 3\text{i}.
1. Calculer \frac{1}{z} et \frac{1}{\overline{z}}.

2. Représenter z, \frac{1}{z}, \overline{z} et \frac{1}{\overline{z}} dans un repère orthonormé.

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Exercice 45
Soit z = 8 - 0{,}5\text{i}.
Vérifier que z+\overline{z}=2 \times \operatorname{Re}(z) et z-\overline{z}=2 \mathrm{i} \times \operatorname{Im}(z).
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Exercice 46
Soit z = 1{,}3 + 0{,}1\text{i}.
Vérifier que |z|^{2}=z \times \overline{z}.
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Exercice 47
Soit z=\sqrt{2}+\sqrt{2} \mathrm{i} et z^\prime = -1 + \mathrm{i}.
1. Calculer z \times z^\prime.

2. Déterminer un argument de z, un argument de z^\prime, puis un argument de z \times z^\prime.

3. Représenter z, z^\prime et z \times z^\prime dans un repère.

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Exercice 48
Soit z, z^\prime les nombres complexes dont les écritures trigonométriques sont z=\sqrt{3}\left(\cos \left(\frac{-\pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{-\pi}{3}\right)\right) et z^{\prime}=2{,}5\left(\cos \left(\frac{-\pi}{6}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{-\pi}{6}\right)\right).
Représenter ces nombres dans un repère et déterminer l'écriture trigonométrique de z \times z^\prime.

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Exercice 49
1. Déterminer l'expression algébrique du nombre complexe z=\frac{2+3 \text{i}}{2-\text{i}}.

2. Déterminer l'expression algébrique du nombre complexe z^{\prime}=\frac{2-2 \text{i}}{5 \text{i}}.

3. En déduire l'expression algébrique du nombre complexe \frac{2+3 \text{i}}{2-\text{i}}+\frac{2-2 \text{i}}{5 \text{i}}.
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