Sommaire

Mes pages

Ouverture

p. 1-9

Partie 1 : Statistique et probabilités

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 1
Statistiques à deux variables

Ch. 2
Probabilités

Partie 2 : Algèbre - Analyse

Ch. 3
Suites numériques

Ch. 4
Fonctions polynômes de degré 3

Ch. 5
Fonctions exponentielles et logarithme décimal

Ch. 6
Calculs commerciaux et financiers

Partie 3 : Géométrie

Ch. 7
Vecteurs

Ch. 8
Trigonométrie

Annexes

Révisions Genially

Consolidation

Poursuite d'études

Annexes

Programmation
Cahier d'algorithmique et de programmation

Page précédente

Poursuite d'études

Produit scalaire

✔ Calculer le produit scalaire de deux vecteurs en utilisant leurs coordonnées.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

On se place dans un repère orthonormé

(O; i, j) .

Propriété

Pour tout vecteur

u

de coordonnées

u (x y),

on a :

∥ u ∥^{2} = u \cdot u = x^{2} + y^{2}

, donc

∥ u ∥ = x^{2} + y^{2} .

Exemple : Soit

u

le vecteur de coordonnées

u (- 1, 5 2) .

Alors

∥ u ∥ = (- 1, 5)^{2} + 2^{2} = 2, 25 + 4 = 6, 25 = 2, 5.

Propriété

Soit

u

v

deux vecteurs de coordonnées

u (x y)

v (x^{'} y^{'}) .

Alors

u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} .

Exemple : Soit

u

v

deux vecteurs de coordonnées

u (2 0, 5)

v (3 - 4) .

Alors

u \cdot v = 2 \times 3 + 0, 5 \times (- 4) = 6 - 2 = 4.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice corrigé

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Énoncé

Dans un repère orthonormé

(O; i, j),

on considère les points

A (2; - 3),

B (- 1; 1)

C (0, 5; - 3) .

1. Calculer

AB \cdot AC,

∥ AB ∥

∥ AC ∥.

2. En déduire une valeur approchée de la mesure en degré de l'angle

BAC,

arrondie à l'unité.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Solution

AB

a pour coordonnées

(- 1 - 2 1 - (- 3))

soit

AB (- 3 4)

AC

a pour coordonnées

(0, 5 - 2 - 3 - (- 3))

soit

AC (- 1, 5 0)

.
Donc

AB \cdot AC = (- 3) \times (- 1, 5) + 4 \times 0 = 4, 5,

∥ AB ∥ = (- 3)^{2} + 4^{2} = 25 = 5

∥ AC ∥ = (- 1, 5)^{2} + 0^{2} = 2, 25 = 1, 5.

2. Par ailleurs,

AB \cdot AC = ∥ AB ∥ \times ∥ AC ∥ \times cos (BAC),

donc

4, 5 = 5 \times 1, 5 \times cos (BAC),

d'où

cos (BAC) = \frac{4 , 5}{7 , 5} .

On en déduit

BAC ≃ 5 3^{\circ} .

Méthode

1. On détermine les coordonnées des vecteurs

AB

AC .

On utilise les coordonnées des vecteurs

AB

AC

pour calculer leur produit scalaire et leurs normes.

2. On écrit l'expression du produit scalaire de

AB

AC

en fonction du cosinus de

BAC .

On remplace

AB \cdot AC,

∥ AB ∥

∥ AC ∥

par leurs valeurs dans la formule avec le cosinus et on résout l'équation ainsi obtenue.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercices

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 18

Soit

u

v

deux vecteurs de coordonnées

u (- 1 2)

v (2, 5 5)

dans un repère orthonormé.
Calculer

u \cdot v .

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 19

Soit

u

v

deux vecteurs de coordonnées

u (1025)

v (0, 02 - 0, 04)

dans un repère orthonormé.
Calculer

u \cdot v .

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 20

Soit

u

de coordonnées

u (- 1, 2 0, 6)

dans un repère orthonormé.
Calculer une valeur approchée, arrondie au dixième, de

∥ u ∥.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 21

Soit

u

de coordonnées

u (5 - 5) .

Donner la valeur exacte de

∥ u ∥.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 22

Dans un repère orthonormé, on considère les points

A (0; 2),

B (1; 1),

C (- 1; 0)

D (0, 5; 0, 5) .

Calculer

AB \cdot CD,

CD \cdot AD

AB \cdot AD .

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 23

Dans un repère orthonormé, on considère les points

A (- 2, 1; 0, 4),

B (0, 4; 0, 4),

C (4, 9; - 0, 6) .

Calculer

AB \cdot AC

AC \cdot BC .

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 24

Dans un repère orthonormé, on considère les points

A (3; 10),

B (1; 12),

C (- 4; 0) .

Calculer les valeurs approchées de

∥ AB ∥

∥ AC ∥,

arrondies au dixième.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 25

En utilisant les coordonnées des vecteurs

EB

DC

dans le repère

(A; AB, AD),

calculer

EB \cdot DC .

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 26

En utilisant les coordonnées dans le repère

(A; AG, AD),

calculer

GB \cdot AC,

GB \cdot EC,

AD \cdot CB

AG \cdot BC .

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 27

Soit

x

un nombre réel,

u

v

deux vecteurs de coordonnées

u (6 0, 5)

v (1 x) .

Exprimer

u \cdot v

en fonction de

x .

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 28

Soit

x

un nombre réel,

u

v

deux vecteurs de coordonnées

u (- 2, 4 3)

v (5 x) .

Déterminer la valeur de

x

telle que

u \cdot v = 0.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 29

Soit

x

un nombre réel,

u

v

deux vecteurs de coordonnées

u (104)

v (2 x) .

Déterminer la valeur de

x

telle que

u \cdot v = 0.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 30

On considère les points

A (- 2; - 1),

B (- 1; 1)

C (1; 0)

dans un repère orthonormé.

1. Calculer

AB \cdot AC,

∥ AB ∥

∥ AC ∥

à l'aide des coordonnées de ces vecteurs.

2. Exprimer

AB \cdot AC

en fonction de

cos (BAC)

et en déduire la mesure en degré de

BAC .

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 31

On considère les points

E (1; 0),

D (0; 2)

F (2; 3)

dans un repère orthonormé.
1. Calculer

DE \cdot DF

à l'aide des coordonnées de ces vecteurs.

2. Exprimer

DE \cdot DF

en fonction du cosinus de l'angle

EDF

et en déduire la valeur de

EDF .

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 32

Soit

u

v

les vecteurs de coordonnées

u (2 - 1)

v (- 2 - 1) .

1. Calculer

u \cdot v .

2. Exprimer

u \cdot v

en fonction de

cos (a),

∥ u ∥

∥ v ∥.

3. En déduire une valeur approchée de la mesure en degré de l'angle

a,

arrondie à l'unité.

Page suivante

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

j'ai une idée !

Oups, une coquille

Ch. 1Statistiques à deux variables

Ch. 2Probabilités

Ch. 3Suites numériques

Ch. 4Fonctions polynômes de degré 3

Ch. 5Fonctions exponentielles et logarithme décimal

Ch. 6Calculs commerciaux et financiers

Ch. 7Vecteurs

Ch. 8Trigonométrie

Révisions Genially

Consolidation

Poursuite d'études

Annexes

ProgrammationCahier d'algorithmique et de programmation

Produit scalaire

✔ Calculer le produit scalaire de deux vecteurs en utilisant leurs coordonnées.

Propriété

Propriété

Exercice corrigé

Exercices

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Ch. 1
Statistiques à deux variables

Ch. 2
Probabilités

Ch. 3
Suites numériques

Ch. 4
Fonctions polynômes de degré 3

Ch. 5
Fonctions exponentielles et logarithme décimal

Ch. 6
Calculs commerciaux et financiers

Ch. 7
Vecteurs

Ch. 8
Trigonométrie

Programmation
Cahier d'algorithmique et de programmation