Mathématiques Terminale Bac Pro - Cahier

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Partie 1 : Statistique et probabilités
Ch. 1
Statistiques à deux variables
Ch. 2
Probabilités
Partie 2 : Algèbre - Analyse
Ch. 3
Suites numériques
Ch. 4
Fonctions polynômes de degré 3
Ch. 5
Fonctions exponentielles et logarithme décimal
Ch. 6
Calculs commerciaux et financiers
Partie 3 : Géométrie
Ch. 7
Vecteurs
Ch. 8
Trigonométrie
Annexes
Révisions Genially
Consolidation
Annexes
Programmation
Cahier d'algorithmique et de programmation
Poursuite d'études

Produit scalaire

Calculer le produit scalaire de deux vecteurs en utilisant leurs coordonnées.

14 professeurs ont participé à cette page
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On se place dans un repère orthonormé (\mathrm{O} \: ; \vec{i}, \vec{j}).

Propriété

Pour tout vecteur \vec{u} de coordonnées \vec{u}\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right), on a :
\|\vec{u}\|^{2}=\vec{u} \cdot \vec{u}=x^{2}+y^{2}, donc \|\vec{u}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Exemple : Soit \vec{u} le vecteur de coordonnées \vec{u}\left(\begin{array}{c} -1{,}5 \\ 2 \end{array}\right).
Alors \|\vec{u}\|=\sqrt{(-1{,}5)^{2}+2^{2}}=\sqrt{2{,}25+4}=\sqrt{6{,}25}=2{,}5.

Propriété

Soit \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs de coordonnées \vec{u}\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right).
Alors \vec{u} \cdot \vec{v}=x x^{\prime}+y y^{\prime}.

Exemple : Soit \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs de coordonnées \vec{u}\left(\begin{array}{c} 2 \\ 0{,}5 \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array}\right).
Alors \vec{u} \cdot \vec{v}=2 \times 3+0{,}5 \times(-4)=6-2=4.
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Exercice corrigé

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Énoncé
Dans un repère orthonormé (\mathrm{O}\: ; \vec{i}, \vec{j}), on considère les points \text{A}(2 \:; - 3), \text{B}(-1 \:; 1) et \text{C}(0{,}5 \:; - 3).

1. Calculer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\| et \| \overrightarrow{\mathrm{AC}}\|.

2. En déduire une valeur approchée de la mesure en degré de l'angle \widehat{\text { BAC }}, arrondie à l'unité.
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Solution
1. \overrightarrow{\mathrm{AB}} a pour coordonnées \left(\begin{array}{c} -1-2 \\ 1-(-3) \end{array}\right) soit \overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(\begin{array}{c} -3 \\ 4 \end{array}\right) et \overrightarrow{\mathrm{AC}} a pour coordonnées \left(\begin{array}{c} 0{,}5-2 \\ -3-(-3) \end{array}\right) soit \overrightarrow{\mathrm{AC}}\left(\begin{array}{c} -1{,}5 \\ 0 \end{array}\right).
Donc \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-3) \times(-1{,}5)+4 \times 0=4{,}5, \|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|=\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=5 et \|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\| =\sqrt{(-1{,}5)^{2}+0^{2}}=\sqrt{2{,}25}=1{,}5.

2. Par ailleurs, \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\| \times\|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\| \times \cos (\widehat{\mathrm{BAC}}), donc 4{,}5=5 \times 1{,}5 \times \cos (\widehat{\mathrm{BAC}}), d'où \cos (\widehat{\mathrm{BAC}})=\frac{4{,}5}{7{,}5}.
On en déduit \widehat{\mathrm{BAC}} \simeq 53^{\circ}.

Méthode
1. On détermine les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}}.
On utilise les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} pour calculer leur produit scalaire et leurs normes.

2. On écrit l'expression du produit scalaire de \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} en fonction du cosinus de \widehat{\text { BAC }}.
On remplace \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\| et \|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\| par leurs valeurs dans la formule avec le cosinus et on résout l'équation ainsi obtenue.
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Exercices

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Exercice 18
Soit \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs de coordonnées \vec{u}\left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{c} 2{,}5 \\ 5 \end{array}\right) dans un repère orthonormé.
Calculer \vec{u} \cdot \vec{v}.
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Exercice 19
Soit \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs de coordonnées \vec{u}\left(\begin{array}{c} 10 \\ 25 \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{c} 0{,}02 \\ -0{,}04 \end{array}\right) dans un repère orthonormé.
Calculer \vec{u} \cdot \vec{v}.
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Exercice 20
Soit \vec{u} de coordonnées \vec{u}\left(\begin{array}{c} -1{,}2 \\ 0{,}6 \end{array}\right) dans un repère orthonormé.
Calculer une valeur approchée, arrondie au dixième, de \|\vec{u}\|.
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Exercice 21
Soit \vec{u} de coordonnées \vec{u}\left(\begin{array}{c} 5 \\ -5 \end{array}\right).
Donner la valeur exacte de \|\vec{u}\|.
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Exercice 22
Dans un repère orthonormé, on considère les points \mathrm{A}(0 \:; 2), \mathrm{B}(1\: ; 1), \mathrm{C}(-1 \:; 0) et \mathrm{D}(0{,}5 \: ; 0{,}5).
Calculer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}, \overrightarrow{\mathrm{CD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}} et \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}.
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Exercice 23
Dans un repère orthonormé, on considère les points \mathrm{A}(-2{,}1 \:; 0{,}4), \mathrm{B}(0{,}4\: ; 0{,}4), et \mathrm{C}(4{,}9 \:; -0{,}6).
Calculer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}.
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Exercice 24
Dans un repère orthonormé, on considère les points \mathrm{A}(3 \:; 10), \mathrm{B}(1\: ; 12), et \mathrm{C}(-4 \:; 0).
Calculer les valeurs approchées de \| \overrightarrow{\mathrm{AB}}\| et \| \overrightarrow{\mathrm{AC}} \|, arrondies au dixième.
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Exercice 25
En utilisant les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{EB}} et \overrightarrow{\mathrm{DC}} dans le repère (\mathrm{A} \:; \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}}), calculer \overrightarrow{\mathrm{EB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DC}}.

Poursuite d'études - Produit scalaire
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Exercice 26
En utilisant les coordonnées dans le repère (\mathrm{A} \:; \overrightarrow{\mathrm{AG}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}}), calculer \overrightarrow{\mathrm{GB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \overrightarrow{\mathrm{GB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EC}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}} et \overrightarrow{\mathrm{AG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}.

Poursuite d'études - Produit scalaire
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Exercice 27
Soit x un nombre réel, \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs de coordonnées \vec{u}\left(\begin{array}{c} 6 \\ 0{,}5 \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{l} 1 \\ x \end{array}\right).
Exprimer \vec{u} \cdot \vec{v} en fonction de x.
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Exercice 28
Soit x un nombre réel, \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs de coordonnées \vec{u}\left(\begin{array}{c} -2{,}4 \\ 3 \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{l} 5 \\ x \end{array}\right).
Déterminer la valeur de x telle que \vec{u} \cdot \vec{v}=0.
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Exercice 29
Soit x un nombre réel, \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs de coordonnées \vec{u}\left(\begin{array}{c} 10 \\ 4 \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{l} 2 \\ x \end{array}\right).
Déterminer la valeur de x telle que \vec{u} \cdot \vec{v}=0.
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Exercice 30
On considère les points \mathrm{A}(-2 \:;-1), \mathrm{B}(-1\: ; 1) et \mathrm{C}(1 \:; 0) dans un repère orthonormé.

Poursuite d'études - Produit scalaire
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1. Calculer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}},\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\| et \|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\| à l'aide des coordonnées de ces vecteurs.

2. Exprimer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}} en fonction de \cos (\widehat{\mathrm{BAC}}) et en déduire la mesure en degré de \widehat{\mathrm{BAC}}.
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Exercice 31
On considère les points \mathrm{E}(1 \:; 0), \mathrm{D}(0 \:; 2) et \mathrm{F}(2 \:; 3) dans un repère orthonormé.
1. Calculer \overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DF}} à l'aide des coordonnées de ces vecteurs.

2. Exprimer \overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DF}} en fonction du cosinus de l'angle \widehat{\text { EDF }} et en déduire la valeur de \widehat{\text { EDF }}.
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Exercice 32
Soit \vec{u} et \vec{v} les vecteurs de coordonnées \vec{u}\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{l} -2 \\ -1 \end{array}\right).

Poursuite d'études - Produit scalaire
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1. Calculer \vec{u} \cdot \vec{v}.

2. Exprimer \vec{u} \cdot \vec{v} en fonction de \cos (a), \|\vec{u}\| et \| \vec{v} \|.

3. En déduire une valeur approchée de la mesure en degré de l'angle a, arrondie à l'unité.
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