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p. 1-9

Partie 1 : Statistique et probabilités

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Ch. 1

Statistiques à deux variables

Ch. 2

Probabilités

Partie 2 : Algèbre - Analyse

Ch. 3

Suites numériques

Ch. 4

Fonctions polynômes de degré 3

Ch. 5

Fonctions exponentielles et logarithme décimal

Ch. 6

Calculs commerciaux et financiers

Partie 3 : Géométrie

Ch. 7

Vecteurs

Ch. 8

Trigonométrie

Annexes

Révisions Genially

Consolidation

Poursuite d'études

Annexes

Programmation

Cahier d'algorithmique et de programmation

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Poursuite d'études

Fonctions logarithme népérien et exponentielle

✔ Connaître et utiliser la relation entre les fonctions logarithme népérien et exponentielle ainsi que les propriétés opératoires de l'exponentielle pour résoudre des inéquations.

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Définition

On appelle fonction exponentielle la fonction exponentielle de base

e

. Elle est définie sur

R

, strictement positive et strictement croissante.

Propriétés

$ln (e) = 1$
Pour tout $x > 0$ et $a \in R,$ $ln (x) = a \Leftrightarrow x = e^{a} .$
La représentation graphique de la fonction exponentielle est le symétrique de la courbe représentative de $ln$ par rapport à la droite d'équation $y = x .$

Poursuite d'études,Fonctions logarithme népérien et exponentielle

Propriétés

Pour tout $x \in R,$ $ln (e^{x}) = x .$
Pour tout $y > 0,$ $e^{l n y} = y .$ En particulier, $e^{0} = e^{l n (1)} = 1.$

Propriétés

Soit

a

b

k

des nombres réels.

$e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$
$e^{a - b} = \frac{e ^{a}}{e ^{b}}$
$e^{k a} = (e^{a})^{k}$
$e^{- b} = \frac{1}{e ^{b}}$

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Exercice corrigé

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Énoncé

Résoudre dans

] 0; + \infty [

l'équation

x^{7} = 0, 15.

On donnera une valeur approchée au centième.

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Solution

x^{7} = 0, 15

équivaut à

ln (x^{7}) = ln (0, 15) .

ln (x^{7}) = 7 \times ln (x),

on a donc

7 \times ln (x) = ln (0, 15)

soit

ln (x) = \frac{ln ( 0 , 15 )}{7} \approx - 0, 27.

Ainsi une valeur approchée de

x

est

x \approx e^{- 0, 27} \approx 0, 76.

Méthode

On cherche l'unique réel

x > 0

tel que

x^{7} = 0, 15.

On applique la fonction $ln$ des deux côtés de l'équation : $x^{7} = 0, 15$ équivaut à $ln (x^{7}) = ln (0, 15) .$

On utilise les propriétés de la fonction $ln$ pour simplifier l'expression $ln (x^{7}) .$

On résout cette équation d'inconnue $ln (x) .$

On utilise la propriété $ln (x) = a$ équivaut à $x = e^{a}$ pour déduire la valeur de $x$ de celle de $ln (x) .$

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Exercices

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Exercice 26

Utiliser les propriétés opératoires des fonctions exponentielles pour simplifier les expressions suivantes.

1.

A = e^{- 4} \times e^{3}

B = e^{- 2, 5} \times e

C = (e^{4})^{2}

D = \frac{e ^{1, 3}}{e ^{2}}

E = \frac{e ^{2}}{e ^{k}}

F = (e^{x})^{4}

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Exercice 27

Utiliser les propriétés opératoires des fonctions exponentielles pour simplifier les expressions suivantes.

1.

A = e^{x} \times e^{- 2 x}

B = e^{3 x + 1} \times e^{- 5}

C = \frac{e ^{x}}{e ^{- 3}}

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Exercice 28

Écrire plus simplement les expressions suivantes.

1.

A = e^{l n (6)}

B = 2 \times ln (e^{0, 1})

C = ln (e^{5} \times e^{- 2})

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Exercice 29

Résoudre dans

] 0; + \infty [

l'équation

x^{1, 5} = e^{3},

où

e

est défini par

ln (e) = 1

.
Donner la valeur exacte puis une valeur approchée au dixième.

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Exercice 30

Résoudre dans

] 0; + \infty [

l'équation

x^{12} = 1.

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Exercice 31

Résoudre dans

] 0; + \infty [

l'équation

x^{10} = 6.

Donner une valeur approchée au centième.

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Exercice 32

Donner une valeur approchée à

1 0^{- 1}

près de la solution dans

] 0; + \infty [

de l'équation

(2 x)^{3} = 1, 6.

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Exercice 33

Résoudre sur

] - 1; + \infty [

l'équation

(x + 1)^{7} = 1.

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Exercice 34

En utilisant les propriétés de la fonction exponentielle, résoudre sur

R

les équations.

1.

e^{3 x + 1} = e^{4}

e^{- x} = e^{x - 1}

e^{- 5 x + 8} = e^{- 1}

e^{9 - x} = 1

e = e^{- 4 x - 3}

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Exercice 35

En utilisant les propriétés de la fonction exponentielle, résoudre sur

R

les inéquations.

1.

e^{x - 7} < e^{2 x}

e^{5 x} ⩽ e^{5}

\frac{e ^{8 x + 9}}{e ^{x}} > 1

e^{2} \times e^{4 x} ⩾ e^{5}

(e^{x})^{2} < e^{3}

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Exercice 36

En utilisant les propriétés de la fonction logarithme, résoudre sur

] 0; + \infty [

les équations.

1.

ln (3 x) = ln (12)

ln (x + 2) = ln (20)

ln (x) = - ln (x)

ln (4 x) = ln (x^{2})

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Exercice 37

Déterminer les ensembles de définition des fonctions.

1.

f : x \mapsto ln (3 x - 15)

g : x \mapsto ln (8 - 5 x)

h : x \mapsto ln (x^{2} + 1)

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Exercice 38

Résoudre sur

] 0; + \infty [

les équations.

1.

(2 x)^{1, 2} = 4^{1, 2}

x^{0, 5} = x

(x - 5)^{9} = 121

x^{3, 5} \times x^{2} = 16

(x^{- 8})^{0, 5} = 20

(x + 3)^{4} = 4096

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Exercice 39

Résoudre sur

R

les équations.

1.

1, 4^{- x} = 6

0, 8^{x + 2} = 0, 5

(\frac{1}{3})^{x} = 0, 1

2^{x} = 6

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Exercice 40

Résoudre sur

] 0; + \infty [

les inéquations.

1.

ln (5 x) ⩾ ln (35)

ln (x + 3) > ln (14)

ln (x + 6) < ln (2 x)

ln (7 x) ⩽ ln (x^{2})

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Exercice 41

Résoudre sur

] 0; + \infty [

les inéquations.

1.

1, 5^{x} ⩾ e^{5}

e^{l n (x)} ⩾ e^{4}

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