Mathématiques Terminale Bac Pro - Cahier

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Partie 1 : Statistique et probabilités
Ch. 1
Statistiques à deux variables
Ch. 2
Probabilités
Partie 2 : Algèbre - Analyse
Ch. 3
Suites numériques
Ch. 4
Fonctions polynômes de degré 3
Ch. 5
Fonctions exponentielles et logarithme décimal
Ch. 6
Calculs commerciaux et financiers
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Cahier d'algorithmique et de programmation
Poursuite d'études

Fonctions logarithme népérien et exponentielle

Connaître et utiliser la relation entre les fonctions logarithme népérien et exponentielle ainsi que les propriétés opératoires de l'exponentielle pour résoudre des inéquations.

15 professeurs ont participé à cette page
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Définition

On appelle fonction exponentielle la fonction exponentielle de base \text{e}. Elle est définie sur \R, strictement positive et strictement croissante.

Propriétés

  • \ln (\mathrm{e})=1
    Pour tout x>0 et a \in \mathbb{R}, \ln (x)=a \Leftrightarrow x=\mathrm{e}^{a}.
  • La représentation graphique de la fonction exponentielle est le symétrique de la courbe représentative de \ln par rapport à la droite d'équation y = x.
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Propriétés

  • Pour tout x \in \mathbb{R}, \ln \left(\mathrm{e}^{x}\right)=x.
  • Pour tout y>0, \mathrm{e}^{\ln y}=y. En particulier, \mathrm{e}^{0}=\mathrm{e}^{\ln (1)}=1.


Propriétés

Soit a, b et k des nombres réels.
  • \mathrm{e}^{a+b}=\mathrm{e}^{a} \times \mathrm{e}^{b}
  • \mathrm{e}^{a-b}=\frac{\mathrm{e}^{a}}{\mathrm{e}^{b}}
  • \mathrm{e}^{k a}=\left(\mathrm{e}^{a}\right)^{k}
  • \mathrm{e}^{-b}=\frac{1}{\mathrm{e}^{b}}
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Exercice corrigé

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Énoncé
Résoudre dans ] 0\: ;+\infty[ l'équation x^7 = 0{,}15.
On donnera une valeur approchée au centième.
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Solution
x^7 = 0{,}15 équivaut à \ln \left(x^{7}\right)=\ln (0{,}15).
Or \ln \left(x^{7}\right)=7 \times \ln (x), on a donc 7 \times \ln (x)=\ln (0{,}15) soit \ln (x)=\frac{\ln (0{,}15)}{7} \approx-0{,}27.
Ainsi une valeur approchée de x est x \approx \mathrm{e}^{-0{,}27} \approx 0{,}76.

Méthode
On cherche l'unique réel x > 0 tel que x^7 = 0{,}15.
  • On applique la fonction \ln des deux côtés de l'équation : x^7 = 0{,}15 équivaut à \ln \left(x^{7}\right)=\ln (0{,}15).

  • On utilise les propriétés de la fonction \ln pour simplifier l'expression \ln\left(x^{7}\right).

  • On résout cette équation d'inconnue \ln(x).

  • On utilise la propriété \ln(x) = a équivaut à x = \text{e}^a pour déduire la valeur de x de celle de \ln(x).
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Exercices

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Exercice 26
Utiliser les propriétés opératoires des fonctions exponentielles pour simplifier les expressions suivantes.

1. \mathrm{A}=\mathrm{e}^{-4} \times \mathrm{e}^{3}

2. \mathrm{B}=\mathrm{e}^{-2{,}5} \times \mathrm{e}

3. \mathrm{C}=\left(\mathrm{e}^{4}\right)^{2}

4. \mathrm{D}=\frac{\mathrm{e}^{1{,}3}}{\mathrm{e}^{2}}

5. \mathrm{E}=\frac{\mathrm{e}^{2}}{\mathrm{e}^{k}}

6. \mathrm{F}=\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{4}
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Exercice 27
Utiliser les propriétés opératoires des fonctions exponentielles pour simplifier les expressions suivantes.

1. \mathrm{A}=\mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{-2 x}

2. \mathrm{B}=\mathrm{e}^{3 x+1} \times \mathrm{e}^{-5}

3. \mathrm{C}=\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{-3}}
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Exercice 28
Écrire plus simplement les expressions suivantes.

1. \mathrm{A}=\mathrm{e}^{\ln (6)}

2. \mathrm{B}=2 \times \ln \left(\mathrm{e}^{0{,}1}\right)

3. \mathrm{C}=\ln \left(\mathrm{e}^{5} \times \mathrm{e}^{-2}\right)
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Exercice 29
Résoudre dans ] 0\: ;+\infty[ l'équation x^{1{,}5}=\mathrm{e}^{3},\mathrm{e} est défini par \ln (\mathrm{e})=1.
Donner la valeur exacte puis une valeur approchée au dixième.
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Exercice 30
Résoudre dans ] 0 \:;+\infty[ l'équation x^{12} = 1.
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Exercice 31
Résoudre dans ] 0 \:;+\infty[ l'équation x^{10} = 6.
Donner une valeur approchée au centième.
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Exercice 32
Donner une valeur approchée à 10^{-1} près de la solution dans ] 0 \:;+\infty[ de l'équation (2 x)^{3}=1{,}6.
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Exercice 33
Résoudre sur ]-1\: ;+\infty[ l'équation (x + 1)^7 = 1.
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Exercice 34
En utilisant les propriétés de la fonction exponentielle, résoudre sur \R les équations.

1. \mathrm{e}^{3 x+1}=\mathrm{e}^{4}

2. \mathrm{e}^{-x}=\mathrm{e}^{x-1}

3. \mathrm{e}^{-5 x+8}=\mathrm{e}^{-1}

4. \mathrm{e}^{9-x}=1

5. \mathrm{e}=\mathrm{e}^{-4 x-3}
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Exercice 35
En utilisant les propriétés de la fonction exponentielle, résoudre sur \R les inéquations.

1. \mathrm{e}^{x-7}\lt\mathrm{e}^{2 x}

2. \mathrm{e}^{5 x} \leqslant \mathrm{e}^{5}

3. \frac{\mathrm{e}^{8 x+9}}{\mathrm{e}^{x}}>1

4. \mathrm{e}^{2} \times \mathrm{e}^{4 x} \geqslant \mathrm{e}^{5}

5. \left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}\lt\mathrm{e}^{3}
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Exercice 36
En utilisant les propriétés de la fonction logarithme, résoudre sur ] 0 \:;+\infty[ les équations.

1. \ln (3 x)=\ln (12)

2. \ln (x+2)=\ln (20)

3. \ln (x)=-\ln (x)

4. \ln (4 x)=\ln \left(x^{2}\right)
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Exercice 37
Déterminer les ensembles de définition des fonctions.

1. f: x \mapsto \ln (3 x-15)

2. g: x \mapsto \ln (8-5 x)

3. h: x \mapsto \ln \left(x^{2}+1\right)
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Exercice 38
Résoudre sur ] 0\: ;+\infty[ les équations.

1. (2 x)^{1{,}2}=4^{1{,}2}

2. x^{0{,}5}=x

3. (x-5)^{9}=121

4. x^{3{,}5} \times x^{2}=16

5. \left(x^{-8}\right)^{0{,}5}=20

6. (x+3)^{4}=4\:096
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Exercice 39
Résoudre sur \R les équations.

1. 1{,}4^{-x}=6

2. 0{,}8^{x+2}=0{,}5

3. \left(\frac{1}{3}\right)^{x}=0{,}1

4. 2^{x}=6
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Exercice 40
Résoudre sur ] 0 \:;+\infty[ les inéquations.

1. \ln (5 x) \geqslant \ln (35)

2. \ln (x+3)>\ln (14)

3. \ln (x+6)\lt\ln (2 x)

4. \ln (7 x) \leqslant \ln \left(x^{2}\right)
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Exercice 41
Résoudre sur ] 0 \:;+\infty[ les inéquations.

1. 1{,}5^{x} \geqslant \mathrm{e}^{5}

2. \mathrm{e}^{\ln (x)} \geqslant \mathrm{e}^{4}
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