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p. 1-9

Partie 1 : Statistique et probabilités

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Ch. 1
Statistiques à deux variables

Ch. 2
Probabilités

Partie 2 : Algèbre - Analyse

Ch. 3
Suites numériques

Ch. 4
Fonctions polynômes de degré 3

Ch. 5
Fonctions exponentielles et logarithme décimal

Ch. 6
Calculs commerciaux et financiers

Partie 3 : Géométrie

Ch. 7
Vecteurs

Ch. 8
Trigonométrie

Annexes

Révisions Genially

Consolidation

Poursuite d'études

Annexes

Programmation
Cahier d'algorithmique et de programmation

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Poursuite d'études

Calcul intégral

✔ Déterminer une primitive d'une somme de fonctions ou du produit d'une fonction par un nombre réel.

Ressource affichée de l'autre côté.
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Définition

Soit

f

une fonction définie sur un intervalle

I.

Une primitive de

f

sur

I

est une fonction dérivable sur

I

dont la dérivée est

f .

On note souvent

F

une primitive de

f .

F ⟶ se d e ˊ rive en f ⟶ se d e ˊ rive en f^{'}

Des primitives des fonctions usuelles sont obtenues par lecture inverse du tableau des dérivées.

Fonction primitive $F$	Fonction $f$	Ensemble de définition
$x \mapsto x$	$x \mapsto 1$	$R$
$x \mapsto x^{2}$	$x \mapsto 2 x$	$R$
$x \mapsto x^{3}$	$x \mapsto 3 x^{2}$	$R$
$x \mapsto \frac{1}{x}$	$x \mapsto \frac{- 1}{x ^{2}}$	$] - \infty; 0 [\cup] 0; + \infty [$
$x \mapsto e^{x}$	$x \mapsto e^{x}$	$R$
$x \mapsto l n (x)$	$x \mapsto \frac{1}{x}$	$] 0; + \infty [$

Propriétés

Soit

f

une fonction définie sur un intervalle

I

F

une primitive de

f

sur

I.

Pour tout nombre réel

k

, la fonction

G : x \mapsto F (x) + k

est aussi une primitive de

f

sur

I.

Propriétés

Soit

f

g

deux fonctions définies sur un intervalle

I

k

un nombre réel.
Si

F

G

sont des primitives respectives de

f

et de

g

, alors :

$F + G$ est une primitive de $f + g$ ;
$k \times F$ est une primitive de $k \times f .$

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Exercice corrigé

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Énoncé

Soit

f : x \mapsto \frac{1}{2} \times 3 x^{2} .

Déterminer l'expression de la primitive

F

f

telle que

F (- 1) = 0.

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Solution

Une primitive de

x \mapsto 3 x^{2}

est

x \mapsto x^{3} .

Donc une primitive de

f

est

x \mapsto \frac{1}{2} \times x^{3} .

Ainsi l'ensemble des primitives est de la forme

x \mapsto \frac{1}{2} x^{3} + k

(avec

k

un réel).
Comme

F (- 1) = 0

, alors

\frac{1}{2} \times (- 1)^{3} + k = 0

d'où

\frac{- 1}{2} + k = 0

donc

k = \frac{1}{2} .

Donc la primitive

F

f

qui vérifie

F (- 1) = 0

est

F : x \mapsto \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2} .

Méthode

On identifie la forme de la fonction : somme de fonctions usuelles ou produit d'une fonction usuelle par un nombre réel.

À l'aide du tableau, on détermine une primitive $F$ de $f .$

L'ensemble des primitives est de la forme $x \mapsto F (x) + k .$

On détermine la valeur de $k$ en résolvant l'équation $F (- 1) + k = 0.$

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Exercices

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Exercice 1

1. Déterminer une primitive de

x \mapsto 8.

2. Déterminer une primitive de

x \mapsto 2 x .

3. En déduire une primitive de

x \mapsto 2 x + 8.

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Exercice 2

1. a. Déterminer une primitive de

x \mapsto x^{2} .

b. En déduire une primitive de

x \mapsto 4 x^{2} .

2. a. Déterminer une primitive de

x \mapsto x^{3} .

b. En déduire une primitive de

x \mapsto - 2 x^{3} + 6 x^{2} .

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Exercice 3

Soit

f : x \mapsto \frac{1}{x}

, définie sur

] 0; + \infty [.

Laquelle des fonctions suivantes est une primitive de

f

?

1.

x \mapsto \frac{- 1}{x ^{2}}

x \mapsto ln (x)

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Exercice 4

Soit

f

g

les fonctions définies sur

R

par

f (x) = 12 x^{2} - 3 x + 4

g (x) = x^{2} + \frac{2}{3} x .

Montrer que

F : x \mapsto 4 x^{3} - 1, 5 x^{2} + 4 x

G : x \mapsto \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} x^{2} + 1

sont respectivement des primitives de

f

et de

g

sur

R .

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Exercice 5

Déterminer une primitive des fonctions suivantes sur leur ensemble de définition.

1.

f : x \mapsto \frac{1}{x ^{2}}

g : x \mapsto - 3 x^{2}

h : x \mapsto 6 x + 1

m : x \mapsto \frac{- 1}{x ^{2}} + 2

n : x \mapsto 4 - 8 x

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Exercice 6

Déterminer, pour chacune des fonctions suivantes, une primitive sur leur ensemble de définition.

1.

l : x \mapsto \frac{7}{x ^{2}} - 9

f : x \mapsto \frac{3}{x ^{2}}

g : x \mapsto x^{2} - x + 1

h : x \mapsto 5 x - 9 x^{2}

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Exercice 7

Soit

f : x \mapsto 2 x .

Déterminer la primitive

F

f

telle que

F (3) = 0

et la primitive

G

f

telle que

G (- 1) = 0.

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Exercice 8

Soit

f : x \mapsto 3 x^{2} .

Déterminer l'expression de la primitive

F

f

telle que

f (2) = 2.

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Exercice 9

Soit

f : x \mapsto 10.

Déterminer la primitive

F

f

telle que

F (0, 2) = 0

et la primitive

G

f

telle que

G (5) = 1, 8.

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Exercice 10

Soit

h : x \mapsto \frac{1}{x} .

Déterminer les expressions de deux primitives différentes pour cette fonction.

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Exercice 11

Soit

h : x \mapsto ln (x) .

Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?

1. La fonction définie sur

] 0; + \infty [

par

x \mapsto \frac{1}{x}

est une primitive de

h .

h

est une primitive de la fonction définie sur

] 0; + \infty [

par

x \mapsto \frac{1}{x} .

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Exercice 12

Soit

f : x \mapsto 1

F

G

les primitives de

f

telles que

F (0) = 0, 5

G (0) = 1.

1. Déterminer les expressions de

F

G.

2. Calculer

F (1) - F (0)

G (1) - G (0) .

Que remarque-t-on ?

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Exercice 13

1. Soit

f : x \mapsto 2 x .

Déterminer les expressions de

F

G,

deux primitives différentes de

f .

2. Calculer

F (4) - F (1)

G (4) - G (1) .

Que remarque-t-on ?

3. Refaire les questions 1. et 2. avec

f : x \mapsto 7 x .

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Exercice 14

Soit

f : x \mapsto \frac{- 5}{x ^{2}},

définie pour

x > 0.

Déterminer la primitive

F

f

telle que

F (4) = 0.

Existe-t-il une autre primitive vérifiant cette condition ?

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Exercice 15

Soit

F

G

deux primitives différentes d'une fonction

f .

1. Pourquoi peut-on affirmer que

F^{'} (0) = G^{'} (0)

2. A-t-on

F (0) = G (0)

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Exercice 16

Déterminer les primitives

F

G

des fonctions définies sur

] 0; + \infty [

par

f : x \mapsto \frac{5}{x}

g : x \mapsto 6 - \frac{1}{x}

telles que

F (1) = G (1) = 0.

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Exercice 17

Déterminer l'expression de la primitive

F

f : x \mapsto \frac{1}{x ^{2}}

, définie sur

] 0; + \infty [

et telle que

F(1) = 1 .

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Exercice 18

Le tableur ci-dessous permet de déterminer l'expression d'une primitive de n'importe quelle fonction polynôme de degré

2

. L'utilisateur entre dans les cellules B1, D1 et F1 les coefficients de cette fonction.

Tableau de mathématiques montrant des fonctions et leurs primitives correspondantes. Calcul intégral et exercices.

Quelles formules doit-on entrer en B2, D2 et F2 afin d'y faire apparaître les coefficients d'une de ses primitives ?

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Propriétés

Propriétés

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