Mathématiques Terminale Bac Pro - Cahier

Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Partie 1 : Statistique et probabilités
Ch. 1
Statistiques à deux variables
Ch. 2
Probabilités
Partie 2 : Algèbre - Analyse
Ch. 3
Suites numériques
Ch. 4
Fonctions polynômes de degré 3
Ch. 5
Fonctions exponentielles et logarithme décimal
Ch. 6
Calculs commerciaux et financiers
Partie 3 : Géométrie
Ch. 7
Vecteurs
Ch. 8
Trigonométrie
Annexes
Révisions Genially
Consolidation
Annexes
Programmation
Cahier d'algorithmique et de programmation
Poursuite d'études

Calcul intégral

Déterminer une primitive d'une somme de fonctions ou du produit d'une fonction par un nombre réel.

11 professeurs ont participé à cette page
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle \text{I.} Une primitive de \boldsymbol{f} sur \text{I} est une fonction dérivable sur \text{I} dont la dérivée est f. On note souvent \text{F} une primitive de f.

\mathrm{F} \stackrel{\text { se dérive en }}{\longrightarrow} f \stackrel{\text { se dérive en }}{\longrightarrow} f^{\prime}

Des primitives des fonctions usuelles sont obtenues par lecture inverse du tableau des dérivées.

Fonction primitive \bm{\text{F}}Fonction \bm{f}Ensemble de définition
\boldsymbol{x} \mapsto \boldsymbol{x}\boldsymbol{x} \mapsto \boldsymbol{1}\R
\boldsymbol{x} \mapsto \boldsymbol{x^2}\boldsymbol{x} \mapsto \boldsymbol{2x}\R
\boldsymbol{x} \mapsto \boldsymbol{x^3}\boldsymbol{x} \mapsto \boldsymbol{3x^{2}}\R
\boldsymbol{x} \mapsto \boldsymbol{\frac{1}{x}}\boldsymbol{x} \mapsto \boldsymbol{\frac{-1}{x^2}}]-\infty \:; 0[\:\cup\:] 0\: ;+\infty[
\boldsymbol{x} \mapsto \mathbf{e}^{x}\boldsymbol{x} \mapsto \mathbf{e}^{x}\R
\boldsymbol{x} \mapsto \boldsymbol{\ln (x)}\boldsymbol{x} \mapsto \boldsymbol{\frac{1}{x}}] 0 \:;+\infty[


Propriétés

Soit f une fonction définie sur un intervalle \text{I} et \text{F} une primitive de f sur \text{I.}
Pour tout nombre réel k, la fonction \mathrm{G}: x \mapsto \mathrm{F}(x)+k est aussi une primitive de f sur \text{I.}

Propriétés

Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle \text{I} et k un nombre réel.
Si \text{F} et \text{G} sont des primitives respectives de f et de g, alors :
  • \text{F + G} est une primitive de f + g ;
  • k \times F est une primitive de k \times f.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice corrigé

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
Soit f: x \mapsto \frac{1}{2} \times 3 x^{2}. Déterminer l'expression de la primitive \text{F} de \text{f} telle que \text{F}(-1) = 0.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Solution
Une primitive de x \mapsto 3 x^{2} est x \mapsto x^{3}.
Donc une primitive de f est x \mapsto \frac{1}{2} \times x^{3}.
Ainsi l'ensemble des primitives est de la forme x \mapsto \frac{1}{2} x^{3}+k (avec k un réel).
Comme \mathrm{F}(-1)=0, alors \frac{1}{2} \times(-1)^{3}+k=0 d'où \frac{-1}{2}+k=0 donc k=\frac{1}{2}.
Donc la primitive \text{F} de f qui vérifie \mathrm{F}(-1)=0 est \mathrm{F}: x \mapsto \frac{1}{2} x^{3}+\frac{1}{2}.

Méthode
  • On identifie la forme de la fonction : somme de fonctions usuelles ou produit d'une fonction usuelle par un nombre réel.

  • À l'aide du tableau, on détermine une primitive \text{F} de f.

  • L'ensemble des primitives est de la forme x \mapsto \mathrm{F}(x)+k.

  • On détermine la valeur de k en résolvant l'équation \mathrm{F}(-1) + k = 0.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercices

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exercice 1
1. Déterminer une primitive de x \mapsto 8.

2. Déterminer une primitive de x \mapsto 2x.

3. En déduire une primitive de x \mapsto 2x+8.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exercice 2
1. a. Déterminer une primitive de x \mapsto x^{2}.

b. En déduire une primitive de x \mapsto 4x^{2}.

2. a. Déterminer une primitive de x \mapsto x^{3}.

b. En déduire une primitive de x \mapsto -2x^{3}+6x^{2}.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exercice 3
Soit f: x \mapsto \frac{1}{x}, définie sur ] 0 \:;+\infty[. Laquelle des fonctions suivantes est une primitive de f ?

1. x \mapsto \frac{-1}{x^{2}}

2. x \mapsto \ln (x)
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exercice 4
Soit f et g les fonctions définies sur \R par f(x)=12 x^{2}-3 x+4 et g(x)=x^{2}+\frac{2}{3} x.
Montrer que \mathrm{F}: x \mapsto 4 x^{3}-1,5 x^{2}+4 x et \mathrm{G}: x \mapsto \frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{3} x^{2}+1 sont respectivement des primitives de f et de g sur \R.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exercice 5
Déterminer une primitive des fonctions suivantes sur leur ensemble de définition.

1. f: x \mapsto \frac{1}{x^{2}}

2. g: x \mapsto-3 x^{2}

3. h: x \mapsto 6 x+1

4. m: x \mapsto \frac{-1}{x^{2}}+2

5. n: x \mapsto 4-8 x
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exercice 6
Déterminer, pour chacune des fonctions suivantes, une primitive sur leur ensemble de définition.

1. l: x \mapsto \frac{7}{x^{2}}-9

2. f: x \mapsto \frac{3}{x^{2}}

3. g: x \mapsto x^{2}-x+1

4. h: x \mapsto 5 x-9 x^{2}
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exercice 7
Soit f: x \mapsto 2 x. Déterminer la primitive \text{F} de f telle que \text{F}(3) = 0 et la primitive \text{G} de f telle que \text{G}(-1) = 0.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exercice 8
Soit f: x \mapsto 3 x^{2}. Déterminer l'expression de la primitive \text{F} de f telle que \text{f}(2) = 2.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exercice 9
Soit f: x \mapsto 10. Déterminer la primitive \text{F} de f telle que \text{F}(0{,}2) = 0 et la primitive \text{G} de f telle que \text{G}(5) = 1{,}8.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exercice 10
Soit h: x \mapsto \frac{1}{x}. Déterminer les expressions de deux primitives différentes pour cette fonction.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exercice 11
Soit h: x \mapsto \ln (x). Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?


Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exercice 12
Soit f: x \mapsto 1, \text{F} et \text{G} les primitives de f telles que \text{F}(0) = 0{,}5 et \text{G}(0) = 1.

1. Déterminer les expressions de \text{F} et \text{G.}

2. Calculer \text{F}(1) - \text{F}(0) et \text{G}(1) - \text{G}(0). Que remarque-t-on ?
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exercice 13
1. Soit f: x \mapsto 2 x. Déterminer les expressions de \text{F} et \text{G,} deux primitives différentes de f.

2. Calculer \text{F}(4) - \text{F}(1) et \text{G}(4) - \text{G}(1). Que remarque-t-on ?

3. Refaire les questions 1. et 2. avec f: x \mapsto 7 x.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exercice 14
Soit f: x \mapsto \frac{-5}{x^{2}}, définie pour x > 0.
Déterminer la primitive \text{F} de f telle que \text{F}(4) = 0. Existe-t-il une autre primitive vérifiant cette condition ?
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exercice 15
Soit \text{F} et \text{G} deux primitives différentes d'une fonction f.

1. Pourquoi peut-on affirmer que \mathrm{F}^{\prime}(0)=\mathrm{G}^{\prime}(0) ?

2. A-t-on \mathrm{F}(0)=\mathrm{G}(0) ?
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exercice 16
Déterminer les primitives \text{F} et \text{G} des fonctions définies sur ] 0 \:;+\infty[ par f: x \mapsto \frac{5}{x} et g: x \mapsto 6-\frac{1}{x} telles que \mathrm{F}(1)=\mathrm{G}(1)=0.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exercice 17
Déterminer l'expression de la primitive \text{F} de f: x \mapsto \frac{1}{x^{2}}, définie sur ] 0 \:;+\infty[ et telle que \text{F(1) = 1}.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exercice 18
Le tableur ci-dessous permet de déterminer l'expression d'une primitive de n'importe quelle fonction polynôme de degré 2. L'utilisateur entre dans les cellules B1, D1 et F1 les coefficients de cette fonction.

Placeholder pour Poursuite d'études - Calcul intégralPoursuite d'études - Calcul intégral
Le zoom est accessible dans la version Premium.

Quelles formules doit-on entrer en B2, D2 et F2 afin d'y faire apparaître les coefficients d'une de ses primitives ?
Afficher la correction

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

Oups, une coquille

j'ai une idée !

Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais
collaborateur

collaborateurYolène
collaborateurÉmilie
collaborateurJean-Paul
collaborateurFatima
collaborateurSarah
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.