Mathématiques Terminale Bac Pro - Cahier

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Partie 1 : Statistique et probabilités
Ch. 1
Statistiques à deux variables
Ch. 2
Probabilités
Partie 2 : Algèbre - Analyse
Ch. 3
Suites numériques
Ch. 4
Fonctions polynômes de degré 3
Ch. 5
Fonctions exponentielles et logarithme décimal
Ch. 6
Calculs commerciaux et financiers
Partie 3 : Géométrie
Ch. 7
Vecteurs
Ch. 8
Trigonométrie
Annexes
Révisions Genially
Consolidation
Annexes
Programmation
Cahier d'algorithmique et de programmation
Poursuite d'études

Fonctions logarithme népérien et exponentielle

Connaître et utiliser la représentation graphique de la fonction logarithme népérien sur son intervalle de définition.
Connaître et utiliser la définition du nombre \mathbf{e}.

15 professeurs ont participé à cette page
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Définition

La fonction logarithme népérien, notée \ln, est la fonction définie sur ] 0 \:;+\infty[ vérifiant, pour tout x > 0, (\ln (x))^{\prime}=\frac{1}{x} et \ln (1)=0.


Sens de variation

Comme sa dérivée est strictement positive sur ] 0 \:;+\infty[, la fonction \ln est strictement croissante sur ] 0 \: ;+\infty[.

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Représentation graphique

La courbe représentative de la fonction \ln passe par les points de coordonnées (1 \:; 0), car \ln (1) = 0 et (\text{e} \:; 1),\mathrm{e} \simeq 2{,}718 est le nombre défini par \ln (\mathrm{e})=1.

Propriétés

Pour tout réel a > 0, le nombre \ln (a) est l'unique solution de l'équation \mathrm{e}^{x}=a.


Remarque
Cette propriété est similaire à celle du logarithme décimal où le nombre \log (a) est l'unique solution de l'équation 10^x = a.


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Exercice corrigé

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Énoncé
Résoudre dans ] 0 \:;+\infty[ l'inéquation \ln (x) \geqslant 2. On donnera la solution sous la forme x \geqslant b.
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Solution
  • \ln (x)=2 \Leftrightarrow x=\mathrm{e}^{2}.
    La solution de l'équation \ln (x)=2 est donc \text{e}^{2} \approx 7{,}39.
  • La fonction ln est strictement croissante sur ] 0 \: ;+\infty[, donc \ln (x) \geqslant 2 \Leftrightarrow x \geqslant \mathrm{e}^{2}.
  • On peut vérifier graphiquement ce résultat.

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Méthode
  • On résout l'équation \ln (x) = 2 en utilisant l'équivalence x=\ln (a) \Leftrightarrow \mathrm{e}^{x}=a.

  • On utilise la croissance de la fonction \ln : l'ensemble des solutions de l'inéquation \ln (x) \geqslant 2 est l'ensemble des nombres supérieurs à la solution de l'équation \ln (x) = 2.
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Exercices

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Exercice 1
Résoudre sur ] 0 \:;+\infty[ les équations suivantes.

1. \ln (x)=3

2. 8 \ln (x)=40

3. -4 \ln (x)=-2
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Exercice 2
Résoudre sur ] 0 \:;+\infty[ les inéquations suivantes.

1. \ln (x)\lt1

2. \ln (x) \leqslant 0

3. \ln (x)>\ln (4)
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Exercice 3
Résoudre sur ] 0 \:;+\infty[ les inéquations suivantes.

1. \ln (x) \geqslant \ln (0{,}5)

2. \ln (x) \leqslant 0{,}5

3. \ln (x)>10

4. 2 \ln (x)\lt4
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Exercice 4
Résoudre sur ] 0 \:;+\infty[ les inéquations suivantes.

1. -\ln (x)\lt1

2. -5 \ln (x) \leqslant 0

3. 0{,}5 \ln (x)>1
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Exercice 5
Donner l'expression de la dérivée des fonctions suivantes.

1. f: x \mapsto-5 \ln (x)

2. g: x \mapsto \frac{1}{2} \ln (x)

3. h: x \mapsto 3 \ln (x)+x

Rappel
Si k est un nombre réel et f une fonction, la fonction dérivée de k \times f est k \times f^{\prime}.
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Exercice 6
Donner l'expression de la dérivée des fonctions suivantes.

1. f: x \mapsto 2 x^{2}+\ln (x)

2. g: x \mapsto 5 x^{3}+\frac{2}{3} \ln (x)

3. h: x \mapsto \ln (x)+\frac{2}{3} \ln (x)
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Exercice 7
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté une fonction f et sa dérivée f^{\prime}. Identifier les courbes représentatives de f et f^{\prime}. Justifier.

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Exercice 8
Les courbes des fonctions f: x \mapsto-\ln (x), g: x \mapsto \ln (x+2), h: x \mapsto \ln (x)+2 et m: x \mapsto \ln (-x) sont représentées sur le graphique ci-dessous.

Associer chaque courbe à sa fonction.
f: x \mapsto-\ln (x)

g: x \mapsto \ln (x+2)

h: x \mapsto \ln (x)+2

m: x \mapsto \ln (-x)


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Justifier la réponse.
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Exercice 9
On considère la fonction g: x \mapsto-0,5 x^{2}+\ln (x) définie sur ] 0\: ;+\infty[.
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de g en x = 2 en arrondissant les coefficients au dixième.
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Exercice 10
On considère la fonction h: x \mapsto 3 x-2 \ln (x) définie sur ] 0 \:;+\infty[.
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de h en x = 1.
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Exercice 11
On considère la fonction f: x \mapsto-\frac{x}{2}+10 \ln (x) définie sur ] 0 \:;+\infty[.

1. Déterminer l'expression de f^{\prime}(x) pour x \in ] 0 \:;+\infty[.

2. En déduire le tableau de variations de f.

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Exercice 12
Dans une usine de production de savon, le coût de production, en euro, est donné, en fonction de la quantité produite, en litre, par la fonction f: x \mapsto 4 x-5 \ln (x), pour x \in] 0 \: ; 10].

Le coût unitaire est défini par g: x \mapsto \frac{f(x)}{x}.
Le coût marginal d'une quantité q est défini comme le coût de production d'un litre supplémentaire quand on a déjà produit q litres. On choisit d'approcher le coût marginal par la dérivée du coût total f.

1. a. Donner l'expression du coût marginal f^{\prime}(x) en fonction de x pour x \in] 0 \:; 10].

b. En déduire les variations de f sur ] 0 \:; 10].

2. On admet que le coût unitaire est minimal lorsqu'il est égal au coût marginal.

a. Résoudre l'équation 4-\frac{5 \ln (x)}{x}=4-\frac{5}{x} sur ] 0 \:; 10] et interpréter ce résultat.

b. Déterminer le coût unitaire minimal.
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