Fonctions logarithme népérien et exponentielle

Résoudre dans $]0;+\infty [$ l'inéquation $\ln (x)⩾2.$ On donnera la solution sous la forme $x⩾b.$

Résoudre sur $]0;+\infty [$ les équations suivantes.

1. $\ln (x)=3$

2. $8\ln (x)=40$

3. $-4\ln (x)=-2$

Résoudre sur $]0;+\infty [$ les inéquations suivantes.

1. $\ln (x)⩾\ln (0,5)$

2. $\ln (x)⩽0,5$

3. $\ln (x)>10$

4. $2\ln (x)<4$

Résoudre sur $]0;+\infty [$ les inéquations suivantes.

1. $-\ln (x)<1$

2. $-5\ln (x)⩽0$

3. $0,5\ln (x)>1$

Donner l'expression de la dérivée des fonctions suivantes.

1. $f:x\mapsto 2x^2+\ln (x)$

2. $g:x\mapsto 5x^3+\frac{2}{3}\ln (x)$

3. $h:x\mapsto \ln (x)+\frac{2}{3}\ln (x)$

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté une fonction $f$ et sa dérivée $f^{\prime }.$ Identifier les courbes représentatives de $f$ et $f^{\prime }.$ Justifier.

Les courbes des fonctions $f:x\mapsto -\ln (x),$ $g:x\mapsto \ln (x+2),$ $h:x\mapsto \ln (x)+2$ et $m:x\mapsto \ln (-x)$ sont représentées sur le graphique ci-dessous.

Associer chaque courbe à sa fonction.

Justifier la réponse.

On considère la fonction $g:x\mapsto -0,5x^2+\ln (x)$ définie sur $]0;+\infty [.$
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de $g$ en $x=2$ en arrondissant les coefficients au dixième.

On considère la fonction $h:x\mapsto 3x-2\ln (x)$ définie sur $]0;+\infty [.$
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de $h$ en $x=1.$

On considère la fonction $f:x\mapsto -\frac{x}{2}+10\ln (x)$ définie sur $]0;+\infty [.$

1. Déterminer l'expression de $f^{\prime }(x)$ pour $x\in ]0;+\infty [.$

2. En déduire le tableau de variations de $f.$

Dans une usine de production de savon, le coût de production, en euro, est donné, en fonction de la quantité produite, en litre, par la fonction $f:x\mapsto 4x-5\ln (x),$ pour $x\in ]0;10].$

Le coût unitaire est défini par $g:x\mapsto \frac{f(x)}{x}.$
Le coût marginal d'une quantité $q$ est défini comme le coût de production d'un litre supplémentaire quand on a déjà produit $q$ litres. On choisit d'approcher le coût marginal par la dérivée du coût total $f.$

1. a. Donner l'expression du coût marginal $f^{\prime }(x)$ en fonction de $x$ pour $x\in ]0;10].$

b. En déduire les variations de $f$ sur $]0;10].$

2. On admet que le coût unitaire est minimal lorsqu'il est égal au coût marginal.

a. Résoudre l'équation $4-\frac{5\ln (x)}{x}=4-\frac{5}{x}$ sur $]0;10]$ et interpréter ce résultat.

b. Déterminer le coût unitaire minimal.