Mathématiques Terminale Bac Pro - Cahier

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Partie 1 : Statistique et probabilités
Ch. 1
Statistiques à deux variables
Ch. 2
Probabilités
Partie 2 : Algèbre - Analyse
Ch. 3
Suites numériques
Ch. 4
Fonctions polynômes de degré 3
Ch. 5
Fonctions exponentielles et logarithme décimal
Ch. 6
Calculs commerciaux et financiers
Partie 3 : Géométrie
Ch. 7
Vecteurs
Ch. 8
Trigonométrie
Annexes
Révisions Genially
Consolidation
Annexes
Programmation
Cahier d'algorithmique et de programmation
Poursuite d'études

Nombres complexes

Déterminer par lecture graphique l'affixe d'un point associé à un nombre complexe et représenter un nombre complexe et son conjugué dans un repère orthonormé.

15 professeurs ont participé à cette page
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Définition

Un nombre complexe est un nombre de la forme a + \text{i}b,a et b sont des nombres réels et \text{i} est un nombre « imaginaire » tel que \text{i}^2 = -1. Le nombre a est appelé partie réelle et le nombre b est appelé partie imaginaire. L'écriture a + \text{i}b est appelée la forme algébrique du nombre complexe.

Exemple : 3 - 2\text{i} et -0,5 + \text{i} sont des nombres complexes.
La partie réelle de {\color{red}3} {\color{blue}-2}\text{i} est {\color{red}3}, sa partie imaginaire est {\color{blue}-2}.

Notation

On note \text{Re}(z) la partie réelle et \text{Im}(z) la partie imaginaire d'un nombre complexe z.

Définition

Soit z = a + \text{i}b un nombre complexe. On associe au nombre z le point \text{M} de coordonnées (a \:; b) dans un repère orthonormé direct. On dit que z est l'affixe de \mathbf{M}.

Exemple : Sur le graphique ci-dessous, l'affixe de \text{A} est z_{\mathrm{A}}=-3+\mathrm{i}, l'affixe de \text{B} est z_{\mathrm{B}}=-2 \mathrm{i}.

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Définition

Le conjugué d'un nombre complexe a + \text{i}b est le nombre complexe a - \text{i}b. On note \overline{z} le conjugué de z.

Exemple : Sur le graphique précédent, l'affixe de \text{A} est -3 + \text{i} et l'affixe de \text{C} est -3 - \text{i}.
Leurs affixes sont conjuguées. Ces points sont donc symétriques par rapport à l'axe horizontal.
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Exercice corrigé

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Énoncé
On considère les points \text{A}(0{,}25 \:; 1), \text{B}(1 \:; 0{,}5), \text{C}(-0{,}5 \: ; - 1) dans un repère orthonormé.

1. Écrire les affixes respectives z_\text{A}, z_\text{B} et z_\text{C} des points \text{A,} \text{B} et \text{C.}

2. Écrire les conjugués \overline{z_\text{A}}, \overline{z_\text{B}} et \overline{z_\text{C}} des nombres z_\text{A}, z_\text{B} et z_\text{C}

3. Placer les points \mathrm{A}^{\prime}, \mathrm{B}^{\prime} et \mathrm{C}^{\prime} d'affixes respectives \overline{z_\text{A}}, \overline{z_\text{B}} et \overline{z_\text{C}}.
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Solution
1. z_{\text{A}}=0{,}25+1 \text{i}=0{,}25+\text{i} car la partie réelle de z_{\text{A}} est 0{,}25 et sa partie imaginaire est 1.
De même, z_{\mathrm{B}}=1+0{,}5 \mathrm{i} et z_{\mathrm{C}}=-0{,}5-\mathrm{i}.

2. \overline{\text{z}_{\mathrm{A}}}=0{,}25-\mathrm{i}, \overline{\text{z}_{\mathrm{B}}}=1-0{,}5 \mathrm{i} et \overline{\text{z}_{\text{C}}}=-0{,}5+i.

3. \operatorname{Re}\left(\overline{\text{z}_{\text{A}}}\right)=0{,}25 et \operatorname{Im}\left(\overline{\text{z}_{\text{A}}}\right)=-1 donc \mathrm{A}^{\prime} a pour coordonnées (0{,}25\: ; - 1).
De même, \mathrm{B}^{\prime}(1 \:;-0{,}5) et \mathrm{C}^{\prime}(-0{,}5 \:; 1).

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Méthode
1. On identifie les parties réelle et imaginaire de l'affixe de chaque point à partir de ses coordonnées :
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2. On change le signe de la partie imaginaire dans l'écriture de l'affixe.

3. L'abscisse d'un point est la partie réelle de son affixe. L'ordonnée est la partie imaginaire. On peut aussi placer les points \text{A,} \text{B} et \text{C} et construire leurs symétriques par rapport à l'axe horizontal.
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Exercices

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Exercice 1
Écrire les affixes des points \text{A,} \text{B} et \text{C} dont les coordonnées dans un repère orthonormé sont \text{A}(-1 \:; 1), \text{B}(1\: ; - 1) et \text{C}(0\: ; 2).
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Exercice 2
Écrire les affixes des points \text{D,} \text{E} et \text{F} dont les coordonnées dans un repère orthonormé sont \mathrm{D}\left(\frac{1}{2} \: ; \frac{-1}{2}\right), \mathrm{E}\left(\frac{1}{3} \:;-1\right) et \text{F}(0\: ; 0).
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Exercice 3
Écrire les affixes des points \text{M,} \text{N} et \text{L} dont les coordonnées dans un repère orthonormé sont \text{M}(4 \:; 2), \text{N}(-1 \:; - 2) et \text{L}(0{,}5\: ; 0).
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Exercice 4
Écrire les coordonnées des points \text{F,} \text{G} et \text{H} d'affixes respectives \text{z}_{\mathrm{F}}=6-5 \text{i}, \text{z}_{\mathrm{G}}=-1+ \text{i} et \text{z}_{\mathrm{H}}=0{,}3- 0{,}1\text{i}.
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Exercice 5
Écrire les coordonnées des points \text{M,} \text{N} et \text{L} d'affixes respectives z_{\text{M}}=-4\text{i}, z_{\text{N}} = -2{,}5 et z_{\text{L}}=3+\text{i}.
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Exercice 6
Dans le repère orthonormé ci-dessous, placer les points \text{A,} \text{B} et \text{C} d'affixes respectives z_{\text{A}}= 0{,}8 +\text{i}, z_{\text{B}}=0{,}5 \text{i} et z_{\text{C}}=-0{,}2-0{,}1 \text{i}.

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Exercice 7
Dans le repère orthonormé ci-dessous, placer les points \text{F,} \text{G} et \text{H} d'affixes respectives z_{\text{F}}=- 0{,}5 +0{,}5\text{i}, z_{\text{G}}=0{,}1-0{,}3 \text{i} et z_{\text{H}}=-0{,}8.

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Exercice 8
Donner les parties réelle et imaginaire de chacun des nombres complexes suivants.

1. z_{\text{A}}=3-\text{i}

2. z_{\mathrm{B}}=4 \text{i}-7

3. z_{\mathrm{C}}=\frac{8+7 \mathrm{i}}{2}

4. z_{\mathrm{D}}=6 \mathrm{i}
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Exercice 9
Écrire trois nombres complexes ayant la même partie réelle que 6 - 7\text{i}, puis trois nombres complexes ayant la même partie imaginaire que -2 + 10\text{i}.
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Exercice 10
Écrire le conjugué de z = -0{,}5 + 2\text{i}.
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Exercice 11
Écrire les affixes des points \text{K,} \text{L,} \text{M} et \text{N} représentés dans le repère orthonormé ci-dessous.

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Exercice 12
On considère les points \text{A,} \text{B} et \text{C,} d'affixes respectives z_{\mathrm{A}}=1-3 \mathrm{i}, z_{\mathrm{B}}=-3,5+\mathrm{i} et z_{\mathrm{C}}=2. Dans le repère ci-dessous, placer les points \mathrm{A}^{\prime}, \mathrm{B}^{\prime} et \mathrm{C}^{\prime} d'affixes respectives \overline{z}_{\mathrm{A}}, \overline{z_{\mathrm{B}}} et \overline{z_{\mathrm{C}}}.

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Exercice 13
On considère les points \text{A,} \text{B} et \text{C,} d'affixes respectives z_{\mathrm{A}}=-2 \mathrm{i}, z_{\mathrm{B}}=5+0,5 \mathrm{i} et z_{\mathrm{C}}=-4. Écrire les conjugués \overline{z_{\mathrm{A}}}, \overline{z_{\mathrm{B}}} et \overline{z_{\mathrm{C}}} de z_{\mathrm{A}}, z_{\mathrm{B}} et z_{\mathrm{C}}.
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Exercice 14
Écrire les conjugués des nombres z_{\mathrm{A}}=4+1{,}2 \mathrm{i}, z_{\mathrm{B}}=-5-\mathrm{i}, z_{\mathrm{C}}=7{,}2 \mathrm{i} et z_{\mathrm{D}}=\frac{1}{2}.
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Exercice 15
Soit z = 2{,}8\text{i} - 9 un nombre complexe. Écrire son conjugué \overline{z} et le conjugué \overline{\overline{z}} de \overline{z}.
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Exercice 16
Soit le point \text{A} d'affixe z = 2 + 3\text{i}.

1. Calculer \overline{z} l'affixe du point \text{B.}

2. Calculer -z l'affixe du point \text{C.}

3. Calculer \overline{-z} l'affixe du point \text{D.}

4. Placer ces quatre points dans un repère. Que remarque-t-on ?

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