Fonctions logarithme népérien et exponentielle

Exprimer, en fonction de $\ln (2)$ et $\ln (3)$ les expressions suivantes.

1. $\ln (3\times 2)$

2. $\ln (2\times 27)$

3. $\ln \left(\frac{2}{9}\right)$

4. $\ln (9\times 4\times 27)$

Exprimer, en fonction de $x$, $\ln (2)$ et $\ln (3)$ les expressions suivantes.

1. $\mathrm{A}=\ln \left(\frac{2}{9^x}\right)$

2. $\mathrm{B}=\ln \left(\frac{2^x}{3}\right)$

3. $\mathrm{C}=\ln (6)-\ln (2)$

4. $\mathrm{D}=\ln \left(8\times 1,5^x\right)$

5. $\mathrm{E}=\ln \left(12^x\right)-\ln \left(4^x\right)$

6. $\mathrm{F}=\ln \left(\frac{3}{4}\right)+\ln \left(\frac{2}{3}\right)$

Utiliser les propriétés opératoires du logarithme pour simplifier les expressions suivantes.

1. $\text{A}=\ln \left(\frac{0,75^x}{2}\right)$

2. $\mathrm{B}=\ln \left((x-1{)}^2\right)-\ln (x-1)$

3. $\mathrm{C}=\ln \left(\frac{1}{2}\right)+\ln \left(\frac{1}{2}\right)$

4. $\mathrm{D}=\ln \left(1,4^x\right)$

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f:x\mapsto \ln \left(x^2\right).$
Simplifier l'expression de $f$ et en déduire l'expression de sa fonction dérivée.

Donner une valeur approchée, arrondie au dixième, de la solution de chacune de ces équations.

1. $2^x=1$

2. $0,1^x=\mathrm{e}$

3. ${\mathrm{e}}^x=2$

4. $1,2^x=1,44$

Donner une valeur approchée, arrondie au dixième, de la solution de chacune de ces équations.
1. ${\left(\frac{2}{3}\right)}^n=1$

2. $2\times 5^n=4$

3. $2\times 3^n=9$

Dans chaque cas, déterminer le plus grand entier $n$ vérifiant l'inéquation donnée.

1. $2,1^n⩽8$

2. $4\times 10^n⩽200$

3. ${\left(\frac{3}{2}\right)}^n⩽20$

Dans chaque cas, déterminer le plus petit entier $n$ vérifiant l'inéquation donnée.

1. $5,3^n>40$

2. $4,5^n⩾18$

3. ${\left(\frac{8}{3}\right)}^n⩾1$

Résoudre les inéquations suivantes. On arrondira les solutions à $10^{-2}$ près.

1. $0,9^x<0,5$

2. $1,8^x>1,9^2$

3. ${\left(\frac{4}{5}\right)}^x⩾0,6$

4. $4^x⩽5^x$

5. $0,1^x<0,2^x$

Une quantité augmente de $20$ % par heure. Sa valeur au début de l'observation est $u_0=1.$

1. Calculer sa valeur, arrondie au dixième, au bout de cinq heures.

2. On donne l'algorithme suivant, écrit en langage courant.


À quoi sert cet algorithme ?

3. Déterminer la valeur de la variable $n$ à la fin de l'exécution de l'algorithme.

Une quantité un diminue de $12$ % par an. Sa valeur de départ est $u_0=1.$

1. Calculer sa valeur arrondie à $10^{-1}$ après quatre ans.

2. On modélise l'évolution de cette quantité dans un tableur.


Compléter la formule à entrer en B3 puis à faire glisser vers le bas, afin de calculer la valeur de cette quantité chaque année.

3. Compléter la formule suivante, à entrer en C2, afin qu'elle affiche $1$ jusqu'à ce que la quantité observée ait diminué de moitié et $0$ ensuite : « =SI(B2 … ; 0 ; 1) ».

4. Déterminer le nombre de $1$ obtenus dans la colonne C et interpréter ce résultat.

Soit $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $f:x\mapsto 5\times 1,5^x$ et $g:x\mapsto 100\times 0,7^x.$ On a représenté ces deux fonctions dans le repère ci-dessous.

https://assets.lls.fr/pages/55470040/mattppeinf14-plan-de-travail-1.svg
1. Identifier la courbe représentative de chaque fonction. Justifier la réponse.

2. Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)<g(x).$ Arrondir à l'unité.

3. Retrouver ce résultat par le calcul.

Soit $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $f:x\mapsto 5\times 1,4^x$ et $g:x\mapsto 8\times 1,3^x.$

1. Représenter ces fonctions sur l'écran d'une calculatrice et conjecturer les coordonnées de leur point d'intersection.

2. Recopier et compléter le programme suivant, qui détermine une valeur approchée de l'abscisse de leur point d'intersection.

$\boxed{\begin{array}{rl}1& x=0,f=\text{..., }g=\text{...}\\ 2& \text{Tant que }g-f>0,01\text{ faire :}\\ 3& f\leftarrow \text{...}\\ 4& g\leftarrow \text{...}\\ 5& \text{Afficher }x\end{array}}$

3. Déterminer la valeur affichée à la fin de l'exécution de ce programme.