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Chapitre 10
TP Info
Approximation d'une fonction
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Énoncé
Soit une fonction définie et dérivable sur un intervalle de .
Soit . Alors, pour tout proche de , on a
Il s'agit de l'approximation affine de en ou l'approximation polynomiale à l'ordre 1 de en .
Si est deux fois dérivable, alors, pour tout proche de , on a :
Il s'agit de l'approximation polynomiale à l'ordre 2 de en .
Si est trois fois dérivable, alors, pour tout proche de , on a :
Soit . Alors, pour tout proche de , on a
.
Il s'agit de l'approximation affine de en ou l'approximation polynomiale à l'ordre 1 de en .
Si est deux fois dérivable, alors, pour tout proche de , on a :
Si est trois fois dérivable, alors, pour tout proche de , on a :
.
Il s'agit de l'approximation polynomiale à l'ordre 3 de en .
Notation
• est la dérivée seconde de la fonction , c'est la dérivée de la fonction dérivée .
• est la dérivée d'ordre 3 de la fonction , c'est la dérivée de la dérivée seconde .
• On note l'approximation polynomiale à l'ordre de en .
Par exemple, .
• est la dérivée d'ordre 3 de la fonction , c'est la dérivée de la dérivée seconde .
• On note l'approximation polynomiale à l'ordre de en .
Par exemple, .
Questions préliminaires
On considère la fonction définie sur par .
1. Écrire l'approximation affine de en .
2. Écrire l'approximation polynomiale à l'ordre 2 de en , puis celle à l'ordre 3 .
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Étudier la précision des approximations à l'ordre et à l'ordre de en à l'aide d'une des deux méthodes.
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Méthode de résolution 1
Calculatrice
1. Régler la fenêtre d'affichage avec et .
2. Représenter graphiquement la fonction .
3. Représenter graphiquement la fonction .
4. Pour quelles valeurs de cette approximation semble-t-elle être la moins précise ?
5. Représenter graphiquement la fonction .
6. Comparer les deux approximations polynomiales. Laquelle semble être la meilleure ?
2. Représenter graphiquement la fonction .
3. Représenter graphiquement la fonction .
5. Représenter graphiquement la fonction .
6. Comparer les deux approximations polynomiales. Laquelle semble être la meilleure ?
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Méthode de résolution 2
Tableur
On rappelle que est l'approximation polynomiale à l'ordre de en . Reproduire la feuille de calcul ci-après pour variant de à avec un pas de .
1. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule B2, puis étirer vers le bas, pour afficher les images de par dans la colonne B ?
2. Quelles formules doit-on saisir dans les cellules C2 et D2, puis étirer vers le bas pour compléter les colonnes C et D ?
3. À quoi correspondent les valeurs obtenues dans la colonne D ?
4. Compléter la colonne E pour obtenir les images de par l'approximation polynomiale de à l'ordre 3.
5. Quelles valeurs peut-on faire figurer dans la colonne F pour savoir si l'approximation polynomiale de à l'ordre 3 est meilleure que l'approximation affine de ?
2. Quelles formules doit-on saisir dans les cellules C2 et D2, puis étirer vers le bas pour compléter les colonnes C et D ?
4. Compléter la colonne E pour obtenir les images de par l'approximation polynomiale de à l'ordre 3.
5. Quelles valeurs peut-on faire figurer dans la colonne F pour savoir si l'approximation polynomiale de à l'ordre 3 est meilleure que l'approximation affine de ?
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On peut déterminer une approximation encore plus précise de en utilisant l'approximation polynomiale de en a à l'ordre 4 :
Indication
Pour tout entier naturel non nul,
et se lit « factorielle ».
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j'ai une idée !
Oups, une coquille
