Mathématiques 1re Techno

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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 10
Exercices

Python

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Exercice 16
On considère la fonction f définie, pour tout x \geqslant 0, par f(x)=x^{3}-x.

1. Compléter le programme suivant afin qu'il retourne le taux d'accroissement de f entre deux nombres a et b donnés en argument.
def (fx):
	return x**3 - x
 
def accroissement(a,b):
	return...


2.  Kévin souhaite utiliser ce programme pour calculer le taux d'accroissement entre 0 et 1. Quelle valeur obtient-on ?

3.  Kévin déduit de l'utilisation de ce programme que la fonction f est constante sur l'intervalle \text{[0 ; 1]}. Est-ce vrai ? Justifier.
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Exercice 17
Soit f la fonction définie sur \R par :
f(x)=-3 x^{2}+2 x+1.


1. Déterminer, pour tout réel x, f^{\prime}(x).

2. Rappeler la formule donnant l'approximation affine de la fonction f pour tout réel x proche de a.

3. Compléter les lignes 5 et 8 du programme suivant à l'aide des réponses formulées aux deux premières questions.
def f(x):
	return -3*x**2 +  2*x +1

def f_prime(x):
	return ...

def mystère(x, a):
	return abs(f(x) - approximation(x, a))


4. Expliquer le fonctionnement de la fonction mystère. À quoi sert la valeur absolue ? Que renvoie la fonction ?

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Exercice 18
Au cours de l'année de terminale STI2D/STL, une fonction appelée fonction logarithme népérien, définie sur ] 0 ;+\infty[, sera étudiée.
On notera f cette fonction et on a ainsi, pour tout x \in] 0 ;+\infty[, f(x)=\ln (x).
On admet que :
  • f(1)=\ln (1)=0\:;
  • pour tout x \in] 0\,;+\infty[, f^{\prime}(x)=\ln ^{\prime}(x)=\frac{1}{x}.

L'objectif de l'exercice est de déterminer quelques valeurs approchées de la fonction logarithme au voisinage de 1.

1. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse \text{1}.

2. Écrire en langage Python un programme prenant en argument un nombre réel strictement positif x proche de 1 et retournant une valeur approchée de \ln (x).



3. Tester le programme pour déterminer une valeur approchée de \ln (1,5), \ln (0,5) et \ln (1,1).


Remarque
On peut comparer les approximations obtenues avec les valeurs de la calculatrice.
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Exercice 19
Dans cet exercice, on désigne par g la fonction cosinus définie sur \R.

1. a. Calculer l'équation de la tangente à la courbe représentative de g au point d'abscisse 0.

b. Que remarque-t-on ?

c. En s'appuyant éventuellement sur l'exercice 17, écrire une fonction \color{purple}\bf{Erreur1} qui permet de déterminer l'erreur commise en remplaçant la fonction g par son approximation affine en 0.



    

2. Lorsque la fonction g^{\prime} est également dérivable sur \R, on appelle dérivée seconde de g, et on note g^{\prime \prime}, la fonction obtenue en dérivant g^{\prime}, c'est-à-dire en dérivant deux fois g.

a. Calculer, pour tout réel x, g^{\prime \prime}(x).

b. On admet que lorsque la fonction g est deux fois dérivable en a, alors, pour tout x proche de a, on a :
g(x) \approx g(a)+g^{\prime}(a)(x-a)+\frac{g^{\prime \prime}(a)}{2}(x-a)^{2} .
Cette approximation est appelée approximation polynomiale d'ordre 2.
Calculer l'approximation polynomiale d'ordre 2 de g en 0.

c. Écrire une fonction \color{purple}\bf{Erreur2} qui permet de déterminer l'erreur commise en remplaçant la fonction g par son approximation polynomiale d'ordre 2 en 0.

3. Tester les fonctions \color{purple}\bf{Erreur1} et \color{purple}\bf{Erreur2}. Quelle approximation semble être la plus performante ?

4. Tracer sur la calculatrice ou sur GeoGebra la fonction cosinus, l'approximation affine de g en 0 et l'approximation polynomiale d'ordre 2 de g en 0.
Les graphiques obtenus confirment-ils les observations formulées en question 3. ?

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Exercice 20
On considère la fonction f définie, pour tout x \in \mathbb{R}^{*}, par f(x)=\frac{1}{x}.

1.  Rappeler l'expression de f^{\prime}, la dérivée de f.

2. Donner ensuite l'expression de f^{\prime \prime}, la dérivée de f^{\prime}, puis celle de f^{(3)}, la dérivée de f^{\prime\prime}.

3. Tester le programme suivant

n = 1
fac = 1
for i in range(1, n+1):
	fac = fac*i

print("la dérivée ", n, "-ième de 1/x est ",((-1)**n)*fac, "/x^", n+1)

4. Modifier le programme pour qu'il affiche la dérivée d'ordre 6 de f.
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