Python

On considère la fonction $f$ définie, pour tout $x⩾0$, par $f(x)=x^3-x$.

1. Compléter le programme suivant afin qu'il retourne le taux d'accroissement de $f$ entre deux nombres $a$ et $b$ donnés en argument.

def (fx):
	return x**3 - x
 
def accroissement(a,b):
	return...

2.  Kévin souhaite utiliser ce programme pour calculer le taux d'accroissement entre $0$ et $1$. Quelle valeur obtient-on ?

3.  Kévin déduit de l'utilisation de ce programme que la fonction $f$ est constante sur l'intervalle $\text{[0 ; 1]}$. Est-ce vrai ? Justifier.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

1. Déterminer, pour tout réel $x$, $f^{\prime }(x)$.

2. Rappeler la formule donnant l'approximation affine de la fonction $f$ pour tout réel $x$ proche de $a$.

3. Compléter les lignes 5 et 8 du programme suivant à l'aide des réponses formulées aux deux premières questions.

def f(x):
	return -3*x**2 +  2*x +1

def f_prime(x):
	return ...

def mystère(x, a):
	return abs(f(x) - approximation(x, a))

4. Expliquer le fonctionnement de la fonction mystère. À quoi sert la valeur absolue ? Que renvoie la fonction ?

Au cours de l'année de terminale STI2D/STL, une fonction appelée fonction logarithme népérien, définie sur $]0;+\infty [$, sera étudiée.
On notera $f$ cette fonction et on a ainsi, pour tout $x\in ]0;+\infty [,$ $f(x)=\ln (x)$.
On admet que :

• $f(1)=\ln (1)=0;$
• pour tout $x\in ]0;+\infty [$, $f^{\prime }(x)={\ln }^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$.

L'objectif de l'exercice est de déterminer quelques valeurs approchées de la fonction logarithme au voisinage de $1$.

1. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $\text{1}$.

2. Écrire en langage Python un programme prenant en argument un nombre réel strictement positif $x$ proche de $1$ et retournant une valeur approchée de $\ln (x)$.

3. Tester le programme pour déterminer une valeur approchée de $\ln (1,5)$, $\ln (0,5)$ et $\ln (1,1)$.

Dans cet exercice, on désigne par $g$ la fonction cosinus définie sur $\mathbb{R}$.

1. a. Calculer l'équation de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d'abscisse $0$.

b. Que remarque-t-on ?

c. En s'appuyant éventuellement sur l'exercice 17, écrire une fonction $Erreur1$ qui permet de déterminer l'erreur commise en remplaçant la fonction $g$ par son approximation affine en $0$.

2. Lorsque la fonction $g^{\prime }$ est également dérivable sur $\mathbb{R}$, on appelle dérivée seconde de g, et on note $g^{\prime \prime }$, la fonction obtenue en dérivant $g^{\prime }$, c'est-à-dire en dérivant deux fois $g$.

a. Calculer, pour tout réel $x$, $g^{\prime \prime }(x)$.

b. On admet que lorsque la fonction $g$ est deux fois dérivable en $a$, alors, pour tout $x$ proche de $a$, on a :

$g(x)\approx g(a)+g^{\prime }(a)(x-a)+\frac{g^{\prime \prime }(a)}{2}(x-a{)}^2.$

Cette approximation est appelée approximation polynomiale d'ordre 2.
Calculer l'approximation polynomiale d'ordre $2$ de $g$ en $0$.

c. Écrire une fonction $Erreur2$ qui permet de déterminer l'erreur commise en remplaçant la fonction $g$ par son approximation polynomiale d'ordre $2$ en $0$.

3. Tester les fonctions $Erreur1$ et $Erreur2$. Quelle approximation semble être la plus performante ?

4. Tracer sur la calculatrice ou sur GeoGebra la fonction cosinus, l'approximation affine de $g$ en $0$ et l'approximation polynomiale d'ordre 2 de $g$ en $0$.
Les graphiques obtenus confirment-ils les observations formulées en question 3. ?