On considère la fonction f définie, pour tout x \geqslant 0, par f(x)=x^{3}-x.

1. Compléter le programme suivant afin qu'il retourne le taux d'accroissement de f entre deux nombres a et b donnés en argument.

def (fx):
	return x**3 - x
 
def accroissement(a,b):
	return...

2.  Kévin souhaite utiliser ce programme pour calculer le taux d'accroissement entre 0 et 1. Quelle valeur obtient-on ?

3.  Kévin déduit de l'utilisation de ce programme que la fonction f est constante sur l'intervalle \text{[0 ; 1]}. Est-ce vrai ? Justifier.

Soit f la fonction définie sur \R par :

1. Déterminer, pour tout réel x, f^{\prime}(x).

2. Rappeler la formule donnant l'approximation affine de la fonction f pour tout réel x proche de a.

3. Compléter les lignes 5 et 8 du programme suivant à l'aide des réponses formulées aux deux premières questions.

def f(x):
	return -3*x**2 +  2*x +1

def f_prime(x):
	return ...

def mystère(x, a):
	return abs(f(x) - approximation(x, a))

4. Expliquer le fonctionnement de la fonction mystère. À quoi sert la valeur absolue ? Que renvoie la fonction ?

Au cours de l'année de terminale STI2D/STL, une fonction appelée fonction logarithme népérien, définie sur ] 0 ;+\infty[, sera étudiée.
On notera f cette fonction et on a ainsi, pour tout x \in] 0 ;+\infty[, f(x)=\ln (x).
On admet que :

• f(1)=\ln (1)=0\:;
• pour tout x \in] 0\,;+\infty[, f^{\prime}(x)=\ln ^{\prime}(x)=\frac{1}{x}.

L'objectif de l'exercice est de déterminer quelques valeurs approchées de la fonction logarithme au voisinage de 1.

1. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse \text{1}.

2. Écrire en langage Python un programme prenant en argument un nombre réel strictement positif x proche de 1 et retournant une valeur approchée de \ln (x).

3. Tester le programme pour déterminer une valeur approchée de \ln (1,5), \ln (0,5) et \ln (1,1).

Dans cet exercice, on désigne par g la fonction cosinus définie sur \R.

1. a. Calculer l'équation de la tangente à la courbe représentative de g au point d'abscisse 0.

b. Que remarque-t-on ?

c. En s'appuyant éventuellement sur l'exercice 17, écrire une fonction \color{purple}\bf{Erreur1} qui permet de déterminer l'erreur commise en remplaçant la fonction g par son approximation affine en 0.

2. Lorsque la fonction g^{\prime} est également dérivable sur \R, on appelle dérivée seconde de g, et on note g^{\prime \prime}, la fonction obtenue en dérivant g^{\prime}, c'est-à-dire en dérivant deux fois g.

a. Calculer, pour tout réel x, g^{\prime \prime}(x).

b. On admet que lorsque la fonction g est deux fois dérivable en a, alors, pour tout x proche de a, on a :

g(x) \approx g(a)+g^{\prime}(a)(x-a)+\frac{g^{\prime \prime}(a)}{2}(x-a)^{2} .

Cette approximation est appelée approximation polynomiale d'ordre 2.
Calculer l'approximation polynomiale d'ordre 2 de g en 0.

c. Écrire une fonction \color{purple}\bf{Erreur2} qui permet de déterminer l'erreur commise en remplaçant la fonction g par son approximation polynomiale d'ordre 2 en 0.

3. Tester les fonctions \color{purple}\bf{Erreur1} et \color{purple}\bf{Erreur2}. Quelle approximation semble être la plus performante ?

4. Tracer sur la calculatrice ou sur GeoGebra la fonction cosinus, l'approximation affine de g en 0 et l'approximation polynomiale d'ordre 2 de g en 0.
Les graphiques obtenus confirment-ils les observations formulées en question 3. ?

On considère la fonction f définie, pour tout x \in \mathbb{R}^{*}, par f(x)=\frac{1}{x}.

1.  Rappeler l'expression de f^{\prime}, la dérivée de f.

2. Donner ensuite l'expression de f^{\prime \prime}, la dérivée de f^{\prime}, puis celle de f^{(3)}, la dérivée de f^{\prime\prime}.

3. Tester le programme suivant

n = 1
fac = 1
for i in range(1, n+1):
	fac = fac*i

print("la dérivée ", n, "-ième de 1/x est ",((-1)**n)*fac, "/x^", n+1)

4. Modifier le programme pour qu'il affiche la dérivée d'ordre 6 de f.