Compléments sur la dérivation

Définition :

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $\text{I}$ et $a$ un point de $\text{I}$. Le nombre dérivé de $f$ en $a$, s'il existe, est la limite quand $h$ tend vers $0$ du taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$.

Propriété :

Graphiquement, le nombre dérivé de $f$ en $a$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$.

Définition :

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $\text{I}$, $a$ un point de $\text{I}$ et $h$ un réel non nul tel que $a+h$ est dans $\text{I}$. Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est :

Exemple :

Soit $f:x\mapsto 3x^2+2x+1$ définie sur $\mathbb{R}$. Pour calculer son taux de variation entre $2$ et $2+h$, on calcule :

• $f(2)=17$ ;


• $f(2+h)=3(2+h{)}^2+2(2+h)+1=3h^2+14h+17$ ;


• $\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{3h^2+14h+17-17}{h}=3h+14$.

Propriété :

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $\text{I}$ et $a$ un point de $\text{I}$. Si $f$ est dérivable en $a$, l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$ est $y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$.

Définition :

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $\text{I}$. La fonction $f^{\prime }$ qui, à tout $x\in \text{I}$, associe le nombre $f^{\prime }(x)$ s'appelle la fonction dérivée de $f$.

Pour calculer une fonction dérivée, on utilise les dérivées des fonctions usuelles et les règles de calculs suivantes :

Propriété :

Les fonctions dérivées des fonctions usuelles sont :

Propriété :

Soient $k$ un nombre réel et $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $\text{I}$ dont la fonction dérivée est $u^{\prime }$. Alors :
• $ku$ est dérivable sur $\text{I}$ ;
• la fonction dérivée de $ku$ est $k{u}^{\prime }$. Autrement dit, $(ku{)}^{\prime }=k{u}^{\prime }$.

Propriété :

Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle $\text{I}$. Alors :
• $u+v$ est dérivable sur $\text{I}$ ;
• la dérivée de la fonction $u+v$ est la fonction $u^{\prime }+v^{\prime }$.

On considère une fonction $f$ dont on donne la représentation graphique $C_f$ ci-dessous. On a représenté trois tangentes à $C_f$ aux points $\text{A, B}$ et $\text{C}$ d'abscisse respective $\text{2 ; 3}$ et $0,5$. La tangente à $C_f$ en $\text{C}$ est parallèle à l'axe des abscisses.

Déterminer graphiquement les nombres dérivés de la fonction $f$ en $2$, en $3$ et en $\text{0,5}$.

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par :
1. Calculer le taux de variation de $f$ en 5.

2. En déduire le nombre dérivé $f^{\prime }(5)$.

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par :

$f(x)=3x^2-5x+3$.

Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 2.

Un seul de ces tableaux est correct. Lequel ?
1. 2. 3.

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $\text{I}$ de $\mathbb{R}$ et telle que pour tout $x\in \mathrm{I}$ : Parmi les expressions suivantes, lesquelles désignent une expression possible de la fonction $f$ ?

1. $f(x)=-3x^2+9x$

2. $f(x)=9x-1,5x^2+24$

3. $f(x)=-\frac{3}{2}{x}^2-10,5+9x$

4. $f(x)=-3$

Virginie se déplace à vélo pour un trajet d'une durée de 5 minutes. Sa position $f(t)$, en mètre, est modélisée en fonction du temps $t$, en seconde, par $f(t)=-0,01t^2+8t$, définie et dérivable sur $[0;300].$ Quelle est la vitesse de Virginie au bout de $10$ secondes

Lorsqu'une fonction dérivée est aussi dérivable, on obtient en la dérivant la fonction appelée dérivée seconde. En dérivant celle-ci, on obtient la fonction dérivée troisième, etc.
En physique, la dérivée première de la position par rapport au temps est appelée la vitesse, la dérivée seconde est appelée l'accélération, la dérivée troisième est appelée l'à-coup et la dérivée quatrième est appelée le snap.