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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 9
Avant de commencer
Spécialités STI2D - STL

Compléments sur la dérivation

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Capacités attendues

1. Utiliser les différentes notations du taux de variation et du nombre dérivé en un point.
2. Effectuer des calculs approchés à l'aide de l'approximation affine en un point.
3. Calculer une fonction dérivée.
4. Étudier le sens de variation d'une fonction.
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Placeholder pour mont fujimont fuji
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La dérivation, puissant outil mathématique, relie entre elles la position, la vitesse et l'accélération (instantanées) d'un point matériel. Grâce à elle, il est donc possible de calculer la vitesse instantanée et l'accélération du SCMaglev, le train japonais le plus rapide au monde, ayant dépassé les 600 km/h en 2015 et dont la mise en circulation est prévue en 2027.
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Rappels théoriques

Supplément numérique

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Interpréter graphiquement un nombre dérivé :

Définition :

Soit f une fonction définie sur un intervalle \text{I} et a un point de \text{I}. Le nombre dérivé de f en a, s'il existe, est la limite quand h tend vers 0 du taux de variation de f entre a et a+h.

Propriété :

Graphiquement, le nombre dérivé de f en a est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a.
figure - propriété 2 - cours 2.A.
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Calculer l'équation réduite d'une tangente à la courbe représentative d'une fonction en un point a :

Propriété :

Soit f une fonction définie sur un intervalle \text{I} et a un point de \text{I}. Si f est dérivable en a, l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a est y = f^\prime(a) (x-a) + f(a).
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Calculer une dérivée :

Définition :

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle \text{I} . La fonction f^\prime qui, à tout x \in \text{I} , associe le nombre f^\prime(x) s'appelle la fonction dérivée de f .

Pour calculer une fonction dérivée, on utilise les dérivées des fonctions usuelles et les règles de calculs suivantes :

Propriété :

Les fonctions dérivées des fonctions usuelles sont :
Fonction f x \mapsto k , k réel x \mapsto x x \mapsto x^2 x \mapsto x^3
Fonction dérivée f^\prime 012x 3x^2

Propriété :

Soient k un nombre réel et u une fonction définie et dérivable sur un intervalle \text{I} dont la fonction dérivée est u^\prime . Alors :
ku est dérivable sur \text{I} ;
• la fonction dérivée de ku est ku^\prime . Autrement dit, (ku)^\prime = ku^\prime .

Propriété :

Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle \text{I} . Alors :
u + v est dérivable sur \text{I} ;
• la dérivée de la fonction u + v est la fonction u^\prime + v^\prime .
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Calculer le taux de variation d'une fonction :


Définition :

Soit f une fonction définie sur un intervalle \text{I}, a un point de \text{I} et h un réel non nul tel que a+h est dans \text{I}. Le taux de variation de f entre a et a+h est :
\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} .

Exemple :

Soit f : x \mapsto 3x^2 + 2x +1 définie sur \mathbb R . Pour calculer son taux de variation entre 2 et 2+h , on calcule :
  • f(2) = 17 ;

  • f(2+h) = 3(2+h)^2 +2(2+h)+1= 3h^2 +14h + 17 ;

  • \dfrac{f(2+h) - f(2)}{h} = \dfrac{3h^2 + 14h +17 -17}{h} = 3h +14.
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Étudier les variations d'une fonction en lien avec le signe de sa dérivée :


Propriété :

Soit f une fonction définie sur un intervalle \text{I} , dont la dérivée est f^\prime .
  • Si f^\prime(x) est positive sur \text{I} , alors f est croissante sur \text{I} .
  • Si f^\prime(x) est négative sur \text{I} , alors f est décroissante sur \text{I} .

On peut donc déduire le tableau de variations de f du signe de sa fonction dérivée.

Exemple :

Soit f la fonction définie sur [-3\,; 3] par f(x) = 3x^2 + 6x+1 . Pour dresser le tableau de variations de f  :

1. On calcule la fonction dérivée f^\prime  : f^\prime(x) = 3 \times 2x + 6 \times 1 + 0 = 6x + 6 .
2. On étudie le signe de la dérivée : 6x + 6 \leqslant 0 \Leftrightarrow 6x \leqslant -6 \Leftrightarrow x \leqslant -1 .
3. On en déduit le tableau de variations.
tableau de signe
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Exercices

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Prérequis

1. Interpréter graphiquement un nombre dérivé.
2. Calculer l'équation réduite d'une tangente à la courbe représentative d'une fonction en un point \text{A}.
3. Calculer le taux de variation d'une fonction.
4. Calculer une dérivée.
5. Étudier les variations d'une fonction en lien avec le signe de sa dérivée.
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Exercice 1
Nombre dérivé et coefficient directeur de tangentes

On considère une fonction f dont on donne la représentation graphique C_{f} ci-dessous. On a représenté trois tangentes à C_{f} aux points \text{A, B} et \text{C} d'abscisse respective \text{2 ; 3} et 0,5. La tangente à C_{f} en \text{C} est parallèle à l'axe des abscisses.
tangentes
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Déterminer graphiquement les nombres dérivés de la fonction f en 2, en 3 et en \text{0,5}.
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Exercice 2
Équation de la tangente à une courbe

Soit f la fonction définie pour tout réel x par :
f(x)=3 x^{2}-5 x+3.
Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 2.
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Exercice 3
Tableau de variations

Un seul de ces tableaux est correct. Lequel ?
1.
tableau de variation
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2.
tableau de variation
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3.
tableau de variation
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Exercice 4
Taux de variation en un point

Soit f la fonction définie pour tout réel x par :
f(x)=(x-1)^{2}.

1. Calculer le taux de variation de f en 5.

2. En déduire le nombre dérivé f^{\prime}(5).
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Exercice 5
Fonction dérivée

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle \text{I} de \R et telle que pour tout x \in \mathrm{I} :
f^{\prime}(x)=9-3 x.
Parmi les expressions suivantes, lesquelles désignent une expression possible de la fonction f ?




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Exercice 6
Problème

Virginie se déplace à vélo pour un trajet d'une durée de 5 minutes. Sa position f(t), en mètre, est modélisée en fonction du temps t, en seconde, par f(t)=-0,01 t^{2}+8 t, définie et dérivable sur [0\,; 300]. Quelle est la vitesse de Virginie au bout de 10 secondes
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Anecdote

Lorsqu'une fonction dérivée est aussi dérivable, on obtient en la dérivant la fonction appelée dérivée seconde. En dérivant celle-ci, on obtient la fonction dérivée troisième, etc.
En physique, la dérivée première de la position par rapport au temps est appelée la vitesse, la dérivée seconde est appelée l'accélération, la dérivée troisième est appelée l'à-coup et la dérivée quatrième est appelée le snap.
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Testez vos connaissances sur ce quiz

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