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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 10
Cours 2

Fonctions dérivées

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A
Fonctions de référence

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Le tableau suivant résume les dérivées des fonctions de référence.

FonctionsEnsemble de définitionFonctions dérivéesEnsemble de dérivabilité
x^n avec n entier naturel non nul\Rn x^{n-1}\R
\frac{1}{x}\mathbb{R} \backslash\{0\}-\frac{1}{x^{2}}\mathbb{R} \backslash\{0\}
\cos (x)\mathbb{R}-\sin (x)\mathbb{R}
\sin (x)\mathbb{R}\cos (x)\mathbb{R}

Remarques
  • La première formule est la généralisation des formules vues au chapitre 3.
  • La seconde formule correspond à la première dans le cas où n=-1.
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Exemples
1. La dérivée de la fonction carré f définie sur \R par f(x)=x^{2} est la fonction f^{\prime} définie sur \R par f^{\prime}(x)=2 x.
2. La dérivée de la fonction cube g définie sur \R par g(x)=x^{3} est la fonction g^{\prime} définie sur \R par g^{\prime}(x)=3 x^{2}.
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B
Opérations sur les dérivées

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Dans toute cette partie, on considère deux fonctions u et v définies et dérivables sur un intervalle \text{I} de \R et un réel k.

FonctionsFonctions dérivées
k \times u avec k \in \mathbb{R}.k \times u^{\prime}
u+vu^{\prime}+v^{\prime}
u \times vu^{\prime} \times v+u \times v^{\prime}
\frac{1}{v} avec v(x) \neq 0 sur \text{I}-\frac{v^{\prime}}{v^{2}}
\frac{u}{v} avec v(x) \neq 0 sur \text{I}\frac{u^{\prime} \times v-u \times v^{\prime}}{v^{2}}

Remarque
La formule du produit prouve la formule de dérivation des fonctions puissances et la formule de l'inverse prouve la formule de dérivation de la fonction inverse.
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Démonstration
Pour la formule du produit, voir .
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Exemples
À l'aide de ces formules, on peut calculer les dérivées de fonctions polynômes et de fonctions plus complexes.
1.  La dérivée de la fonction définie par f(x)=2 {\color{orange}x^{2}}+3{\color{green} x}+{\color{blue}5}, définie et dérivable sur \R, est f^{\prime}(x)=2 \times {\color{orange}2 x}+3 \times {\color{green}1}+{\color{blue}0}=4 x+3 .
2. La dérivée de la fonction définie par g(x)=8 {\color{orange}x^{4}}-6 {\color{green}x^{3}}+0,5 {\color{blue}x^{2}}-3, définie et dérivable sur \R, est g^{\prime}(x)=8 \times {\color{orange}4 x^{3}}-6 \times {\color{green}3 x^{2}}+0,5 \times {\color{blue}2 x}+0=32 x^{3}-18 x^{2}+x.
3. La dérivée de la fonction définie par h(x)=2 {\color{orange}\cos (x)}+\frac{5}{{\color{green}x}}+6 {\color{blue}x^{6}}, définie et dérivable sur \mathbb{R} \backslash\{0\}, est h^{\prime}(x)={\color{orange}-}2 {\color{orange}\sin (x)}-\frac{5}{{\color{green}x^{2}}}+6 \times {\color{blue}6 x^{5}}=-2 \sin (x)-\frac{5}{x^{2}}+36 x^{5}.
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Application et méthode - 3

Calculer la dérivée d'un produit de fonctions

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Énoncé
Soit f la fonction définie et dérivable, pour tout réel x, par f(x)=\left(-3 x^{2}+2 x+1\right)(5 x+2).
Calculer, pour tout réel x, f^{\prime}(x).
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Méthode

On remarque que f est ici définie comme un produit de fonctions. Elle doit donc se dériver à l'aide de la formule (u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime} .

  • On pose u(x)=-3 x^{2}+2 x+1 et v(x)=5 x+2, puis on calcule u^{\prime}(x) et v^{\prime}(x).

  • On conclut en remplaçant dans la formule.


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Solution
f(x)=\underbrace{\left(-3 x^{2}+2 x+1\right)}_{u(x)} \underbrace{(5 x+2)}_{v(x)}
On a (u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}.
Ici, u(x)=-3 x^{2}+2 x+1 donc u^{\prime}(x)=-6 x+2 et v(x)=5 x+2 donc v^{\prime}(x)=5.
Ainsi,
\begin{aligned} f^{\prime}(x) &=\underbrace{(-6 x+2)}_{u^{\prime}(x)} \underbrace{(5 x+2)}_{v(x)}+\underbrace{\left(-3 x^{2}+2 x+1\right)}_{u(x)} \times \underbrace{5}_{v^{\prime}(x)} \\ &=-30 x^{2}-12 x+10 x+4-15 x^{2}+10 x+5 \\ &=-45 x^{2}+8 x+9 \end{aligned}

Pour s'entraîner : exercices et
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C
Fonctions composées

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Propriété
Soient f une fonction définie et dérivable sur un intervalle \text{I} de \R.
Alors la dérivée de x \mapsto f(a x+b) est x \mapsto a f^{\prime}(a x+b), dès lors que a x+b \in \mathrm{I}.
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Conséquences
FonctionsExpressions dérivées
\cos (a x+b)-a \times \sin (a x+b)
\sin (a x+b)a \times \cos (a x+b)

Remarques
Les deux formules de la conséquence se déduisent de celle de la propriété.

Notation
Les paramètres a et b seront fréquemment notés \omega et \varphi.
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Exemples
1.  Si g est définie par g(x)=\cos (8 x+2), alors g^{\prime}(x)=-8 \sin (8 x+2).
2. Si h est définie par h(x)=\sin (9-3 x), alors h^{\prime}(x)=-3 \cos (9-3 x).
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Application et méthode - 4

Calculer la dérivée d'une fonction composée

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Énoncé
Calculer les dérivées des fonctions f et g définies et dérivables sur \R par f(t)=\sin (4 t+3) et g(t)=\cos (3 t-2).
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Méthode

On reconnaît les composées de deux fonctions trigonométriques avec une fonction affine.
On peut donc utiliser les formules énoncées ci-dessus.

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Solution
  • On a f(t)={\color{orange}\sin} ({\color{green}4} t+3) donc f^{\prime}(t)={\color{green}4} {\color{orange}\cos} ({\color{green}4} t+3).
  • On a g(t)={\color{blue}\cos} ({\color{orange}3} t-2) donc g^{\prime}(t)=-{\color{orange}3} {\color{blue}\sin} ({\color{orange}3} t-2).


Pour s'entraîner : exercices et

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