Compléments sur la dérivation

Justifier que l'équation de la tangente peut servir d'approximation pour le calcul des images d'une fonction.

1. On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1;5]$ par $f(x)=x^2+6x-3$.
Dans un tableur, écrire dans la colonne A à partir de la cellule A2 les valeurs de $x$ de $1$ à $5$ avec un pas de $\text{0,1}$.
2. Quelle est la formule à écrire dans la cellule B2 et à étirer vers le bas pour obtenir les images $f(x)$ ?

3. On note $\text{T}$ la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $3$.
a. Montrer que l'équation réduite de $\text{T}$ est $\mathrm{T}:y=12x-12$.

b. On note alors $g$ la fonction définie sur $[1;5]$ par l'expression de la tangente $\text{T}$, c'est-à-dire par $g(x)=12x-12$.
Quelle est la formule à écrire dans la cellule C2 et à étirer vers le bas pour obtenir les images $g(x)$ ?

c. Dans la colonne D, calculer la différence des colonnes B et C afin de comparer les images de $x$ par $f$ et par $g$.
Sur quel intervalle la différence entre les deux images est-elle inférieure à $\text{0,5}$ ?

d. En quelle valeur cette différence est-elle nulle ? Pouvait-on prévoir ce résultat ?

4. Cas général : Écrire la formule donnant l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative d'une fonction $f$ au point d'abscisse $a$. Que se passe-t-il lorsque $a$ se rapproche de $x$ ?

Il est donc possible d'approcher la valeur des images de la fonction à l'aide des tangentes à sa courbe représentative. Quelle est la condition à respecter pour obtenir la meilleure approximation possible ?

Démontrer la formule de dérivation d'un produit de deux fonctions.

1. Écrire les taux de variation des fonctions $u$ et $v$ entre $x$ et $x+h$.

2. On pose, pour tout $x\in \mathrm{I}$, $f(x)=u(x)\times v(x)$.
On admet que la fonction $f$ est une fonction définie et dérivable sur $\text{I}$ en tant que produit de fonctions dérivables. Écrire le taux de variation de $f$ entre $x$ et $x+h$.

3. Vérifier que ce taux de variation est égal à $\frac{u(x+h)-u(x)}{h}\times v(x+h)+u(x)\times \frac{v(x+h)-v(x)}{h}$.

4. En utilisant les formules de la question 1 et en faisant tendre $h$ vers $0$, obtenir la formule de dérivation d'un produit $u\times v$ de deux fonctions.

Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $\text{I}$, quelle est la dérivée de $\mathbf{u}\times \mathbf{v}$ ?

Découvrir de nouvelles formules de dérivation

1. Quelle est la position du point au bout de $\text{4,5}$ secondes ?

2. Déterminer un temps $t_0$ pour lequel le point se situe sur l'axe des abscisses.

a. Analyser la fonction obtenue. Qu'est-il advenu de la fonction trigonométrique ? À quoi correspond le coefficient apparu hors de la fonction ?

b. Quelle est la vitesse du point au bout de $4,5$ secondes ?

4. On veut déterminer l'accélération du point au bout de $\text{4,5}$ secondes. Pour obtenir l'accélération $a(t)$ du point à l'instant $t$, on dérive la fonction vitesse $v$.
Pour cela, on utilise un logiciel de calcul formel affichant le résultat suivant.
a. Analyser la fonction obtenue. Qu'est-il advenu de la fonction trigonométrique ? À quoi correspond le coefficient apparu hors de la fonction ?

b. Quelle est l'accélération du point au bout de $\text{4,5}$ secondes ?

5. Soient $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$, et $a$ et $b$ deux réels.
On admet que la dérivée de la fonction $t\mapsto f(at+b)$ est donnée par la fonction définie pour tout réel $t$ par $t\mapsto a\times f^{\prime }(at+b)$.
a. Déterminer alors les dérivées des fonctions $t\mapsto \cos (at+b)$ et $t\mapsto \sin (at+b)$.

b. Les résultats confirment-ils les observations décrites aux questions 3 a et 3 a ?

Soient $a$ et $b$ deux réels. Quelles sont les formules de dérivation des fonctions trigonométriques $t\mapsto \cos (at+b)$ et $t\mapsto \sin (at+b)$ ?