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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 9
Activité

Compléments sur la dérivation

13 professeurs ont participé à cette page
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A
Approximation affine

p. 241.


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Objectif

Justifier que l'équation de la tangente peut servir d'approximation pour le calcul des images d'une fonction.
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1. On considère la fonction f définie sur l'intervalle [1\,; 5] par f(x)=x^{2}+6 x-3.
Dans un tableur, écrire dans la colonne A à partir de la cellule A2 les valeurs de x de 1 à 5 avec un pas de \text{0,1}.
Placeholder pour tableurtableur
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2. Quelle est la formule à écrire dans la cellule B2 et à étirer vers le bas pour obtenir les images f(x) ?
3. On note \text{T} la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 3.
a. Montrer que l'équation réduite de \text{T} est \mathrm{T}: y=12 x-12.


b. On note alors g la fonction définie sur [1\,; 5] par l'expression de la tangente \text{T}, c'est-à-dire par g(x)=12 x-12.
Quelle est la formule à écrire dans la cellule C2 et à étirer vers le bas pour obtenir les images g(x) ?


c. Dans la colonne D, calculer la différence des colonnes B et C afin de comparer les images de x par f et par g.
Sur quel intervalle la différence entre les deux images est-elle inférieure à \text{0,5} ?


d. En quelle valeur cette différence est-elle nulle ? Pouvait-on prévoir ce résultat ?


4. Cas général : Écrire la formule donnant l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative d'une fonction f au point d'abscisse a. Que se passe-t-il lorsque a se rapproche de x ?
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Bilan

Il est donc possible d'approcher la valeur des images de la fonction à l'aide des tangentes à sa courbe représentative. Quelle est la condition à respecter pour obtenir la meilleure approximation possible ?
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B
Dérivée d'un produit

p. 242.


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Objectif

Démontrer la formule de dérivation d'un produit de deux fonctions.
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On considère deux fonctions u et v définies et dérivables sur un intervalle \text{I} de \R, x un réel de \text{I} et h un réel tel que x+h \in \mathrm{I}.
Aide
On rappelle que le taux de variation de f entre x et x + h est \frac{f(x+h)-f(x)}{h}h est un réel tel que x+h \in \mathrm{I} .


1. Écrire les taux de variation des fonctions u et v entre x et x + h.


2. On pose, pour tout x \in \mathrm{I}, f(x)=u(x) \times v(x).
On admet que la fonction f est une fonction définie et dérivable sur \text{I} en tant que produit de fonctions dérivables. Écrire le taux de variation de f entre x et x + h.


3. Vérifier que ce taux de variation est égal à \frac{u(x+h)-u(x)}{h} \times v(x+h)+u(x) \times \frac{v(x+h)-v(x)}{h}.


4. En utilisant les formules de la question 1 et en faisant tendre h vers 0, obtenir la formule de dérivation d'un produit u \times v de deux fonctions.
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Bilan

Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle \text{I}, quelle est la dérivée de \boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v} ?
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C
Dérivées et fonctions trigonométriques

p. 243.


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Objectif

Découvrir de nouvelles formules de dérivation
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On s'intéresse à un point sur un axe horizontal d'origine \text{O} et gradué en cm.
Son équation horaire x(t), en cm, est exprimée en fonction du temps t, en seconde, par la relation
x(t)=2 \cos \left(\frac{\pi}{3} t+\frac{\pi}{2}\right),
\frac{\pi}{3} représente la pulsation du signal et \frac{\pi}{2} sa phase à l'origine.

Placeholder pour SinusoïdeSinusoïde
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1. Quelle est la position du point au bout de \text{4,5} secondes ?


2. Déterminer un temps t_0 pour lequel le point se situe sur l'axe des abscisses.

3. On veut déterminer la vitesse du point au bout de \text{4,5} secondes. Pour obtenir la vitesse v(t) du point à l'instant t, on dérive la fonction position x.
Pour cela, on utilise un logiciel de calcul formel affichant le résultat suivant.
\text { Dérivée }\left(2 \cdot \cos \left(\frac{\pi}{3} \cdot \mathrm{t}+\frac{\pi}{2}\right), \mathrm{t}\right)
\rightarrow \frac{-2}{3} \pi \sin \left(\frac{1}{3} \operatorname{t} \pi+\frac{1}{2} \pi\right)
Aide
\text { Dérivée }\left(2 \cdot \cos \left(\frac{\pi}{3} \cdot t+\frac{\pi}{2}\right), \color{orange}{t}\color{black}\right)signifie qu'on dérive l'expression par rapport à \color{orange}t.

a. Analyser la fonction obtenue. Qu'est-il advenu de la fonction trigonométrique ? À quoi correspond le coefficient apparu hors de la fonction ?


b. Quelle est la vitesse du point au bout de 4,5 secondes ?

4. On veut déterminer l'accélération du point au bout de \text{4,5} secondes. Pour obtenir l'accélération a(t) du point à l'instant t, on dérive la fonction vitesse v.
Pour cela, on utilise un logiciel de calcul formel affichant le résultat suivant.
\text { Dérivée }\left(-\frac{2 \pi}{3} \sin \left(\frac{\pi}{3} \mathrm{t}+\frac{\pi}{2}\right), \mathrm{t}\right)
\rightarrow \frac{-2}{9} \pi^{2} \cos \left(\frac{1}{3} \mathrm{t} \pi+\frac{1}{2} \pi\right)

a. Analyser la fonction obtenue. Qu'est-il advenu de la fonction trigonométrique ? À quoi correspond le coefficient apparu hors de la fonction ?


b. Quelle est l'accélération du point au bout de \text{4,5} secondes ?

5. Soient f une fonction dérivable sur \R, et a et b deux réels.
On admet que la dérivée de la fonction t \mapsto f(a t+b) est donnée par la fonction définie pour tout réel t par t \mapsto a \times f^{\prime}(a t+b).
a. Déterminer alors les dérivées des fonctions t \mapsto \cos (a t+b) et t \mapsto \sin (a t+b).


b. Les résultats confirment-ils les observations décrites aux questions 3 a et 3 a ?
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Bilan

Soient a et b deux réels. Quelles sont les formules de dérivation des fonctions trigonométriques {t} \mapsto \cos ({a} {t}+{b}) et t \mapsto \sin (a t+b) ?
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