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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 10
Cours 1

Nombre dérivé

Dans toute cette partie, on considère une fonction f définie sur un intervalle \text{I} et dont on note C_{f} la représentation graphique. On considère le point \text{A} de C_{f} d'abscisse a.

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A
Compléments sur les taux de variation entre deux points de la courbe

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On place un point mobile \text{B} d'abscisse b sur la courbe C_{f} et on trace la droite (\mathrm{AB}).
On note alors \Delta x la variation en abscisse entre ces deux points, c'est-à-dire b - a , et \Delta y la variation en ordonnée, c'est-à-dire y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}.
taux de variation
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Remarques
  • \Delta x se lit « delta x ».
  • Afficher la correction
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    Définition
    Le coefficient directeur de la droite (\mathrm{AB}) est le quotient \frac{\Delta y}{\Delta x}.

    Le coefficient directeur de la droite (\mathrm{AB}) se note \frac{\Delta y}{\Delta x}. On fait glisser le point \text{B} vers le point \text{A}.
    Lorsque \text{B} est placé très proche du point \text{A}, on a déjà observé que la droite \text { (AB) } se rapproche de la tangente à la courbe au point \text{A}.
    Dans ces conditions, l'écart entre \text{A} et \text{B} devient infiniment faible et la variation en abscisse ne se note alors plus \Delta x mais \mathrm{d} x. De même, la variation en ordonnée ne se note plus \Delta y mais \mathrm{d} y. Ainsi, le coefficient directeur de la droite (\mathrm{AB}) peut s'écrire \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} pour \text{B} très proche de \text{A}.
    En précisant en quel point on a travaillé, la notation devient \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}(a). Le nombre f^{\prime}(a) peut donc également s'écrire \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}(a) ou encore \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{~d} x}(a), appelé notation de Leibniz.

    Remarque
    Cette formule a été vue en seconde sous la forme \frac{y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}}.

    Remarque
    La lettre \text{d} est utilisée pour désigner une variation infime.

    Notation
    f^{\prime}(a) est la notation de Lagrange du nombre dérivé.

    Remarque
    On obtient également \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{~d} y}=3+x.
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    Exemples
    On s'intéresse à l'expression f=2 {\color{orange}{x}}+3 y+{\color{orange}x} y.
    Alors \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{~d} x}=2 \times {\color{orange}1}+0+{\color{orange}1} \times y=2+y car on dérive par rapport à x, et 3y est alors vu comme une constante.
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    Application et méthode - 1

    Interpréter la notation de Leibniz

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    Énoncé
    On considère l'expression t=3 x^{2} y-2 x+y^{3}.
    Calculer \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} x} et \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} y}.
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    Méthode

    • On identifie par rapport à quelle variable l'expression doit être dérivée.
    • Lorsqu'on dérive par rapport à x, y est vu comme une constante.
      Inversement, lorsqu'on dérive par rapport à y, x est vu comme une constante.

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    Solution
    On a t=3 {\color{orange}x^{2}} {\color{green}y}-2 {\color{orange}x}+{\color{green}y^{3}}.
    Ainsi, \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} {\color{orange}x}}=3 \times {\color{orange}2 x} \times y-2 \times {\color{orange}1}+0=6 x y-2
    et \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} {\color{green}y}}=3 x^{2} \times {\color{green}1}-0+{\color{green}3 y^{2}}=3 x^{2}+3 y^{2}.

    Pour s'entraîner : exercices .
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    B
    Approximation affine d'une fonction au voisinage d'un point

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    En « zoomant » suffisamment sur la courbe représentative de f au voisinage de \text{A} (c'est-à-dire un zoom centré sur le point \text{A}), on observe que la courbe ressemble à une droite.

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    Définition
    Localement autour de \text{A}, C_{f} peut être approchée par une droite passant par \text{A} : la tangente à C_{f} en \text{A}. On parle alors d'approximation affine.

    Remarque
    On utilise le terme « affine » puisqu'une droite non verticale est la représentation graphique d'une fonction affine.
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    Propriété
    Pour x suffisamment proche de a et en utilisant l'équation réduite de la tangente, on peut prendre comme valeur approchée de f(x) la valeur f^{\prime}(a)(x-a)+f(a).
    Tangente
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    Remarque
    Autrement dit, f(x) \approx {f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)} lorsque x est proche de a.
    Afficher la correction
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    Exemple
    On cherche à calculer, à l'aide d'une approximation affine, une valeur approchée de 10{,}1^{2}.
    La fonction considérée est la fonction carré f(x)=x^{2} et on choisit a = 10 qui est très proche de \text{10{,}1} et dont on connaît le carré qui vaut \text{100}.
    Alors, comme f^{\prime}(x)=2 x, on obtient :

    \begin{array}{rl}10{,}1^{2}&=f(10{,}1) \\&\approx f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)\\&=f^{\prime}(10) \times(10{,}1-10)+f(10)\\&=20 \times 0{,}1+100\\&=102\end{array}.

    Remarques
    La valeur trouvée est bien une approximation de 10{,}1^{2}. En réalité, 10{,}1^{2}=102{,}01.
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    Application et méthode - 2

    Calculer une valeur approchée à l'aide de l'approximation affine

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    Énoncé
    1. Écrire, en fonction de x et a, l'approximation affine correspondant à la fonction cube.
    2. À l'aide de la question précédente, calculer une valeur approchée de 29,8^{3}.
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    Méthode

    1. On cherche une valeur approchée d'un cube, la fonction f est donc la fonction définie par f(x)=x^{3}.
    On calcule la dérivée de cette fonction.
    On utilise ensuite la formule du cours pour donner l'expression littérale de l'approximation.

    2. On choisit une valeur proche de 29,8, ici 30, dont on peut facilement calculer les images par f et f'.

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    Solution
    1. On considère la fonction cube f(x)=x^{3} définie et dérivable sur \R. Sa dérivée est f^{\prime}(x)=3 x^{2}.
    L'approximation affine de f(x) est f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)=3 a^{2} \times(x-a)+a^{3}.

    2. On choisit a = 30. Alors
    \begin{aligned} f(29,8) & \approx f^{\prime}(30) \times(29,8-30)+f(30) \\ & \approx 3 \times(30)^{2} \times(-0,2)+30^{3} \\ & \approx 3 \times 900 \times(-0,2)+27000 \\ & \approx-540+27\:000 \\ & \approx 26\:460 . \end{aligned}
    On remarque que cette valeur est très proche de la valeur exacte puisque {29,8^{3}=26\:463,592} .

    Pour s'entraîner : exercices

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