Nombre dérivé

On place un point mobile $\text{B}$ d'abscisse $b$ sur la courbe $C_f$ et on trace la droite $(\mathrm{AB})$.
On note alors $\Delta x$ la variation en abscisse entre ces deux points, c'est-à-dire $b-a$ , et $\Delta y$ la variation en ordonnée, c'est-à-dire $y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}$.
À visualiser dans ce module GeoGebra :

Le coefficient directeur de la droite $(\mathrm{AB})$ se note $\frac{\Delta y}{\Delta x}$. On fait glisser le point $\text{B}$ vers le point $\text{A}$.
Lorsque $\text{B}$ est placé très proche du point $\text{A}$, on a déjà observé que la droite $\text{ (AB) }$ se rapproche de la tangente à la courbe au point $\text{A}$.
Dans ces conditions, l'écart entre $\text{A}$ et $\text{B}$ devient infiniment faible et la variation en abscisse ne se note alors plus $\Delta x$ mais $\mathrm{d}x$. De même, la variation en ordonnée ne se note plus $\Delta y$ mais $\mathrm{d}y$. Ainsi, le coefficient directeur de la droite $(\mathrm{AB})$ peut s'écrire $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ pour $\text{B}$ très proche de $\text{A}$.
En précisant en quel point on a travaillé, la notation devient $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}(a)$. Le nombre $f^{\prime }(a)$ peut donc également s'écrire $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}(a)$ ou encore $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(a)$, appelé notation de Leibniz.

On s'intéresse à l'expression $f=2x+3y+xy$.
Alors $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=2\times 1+0+1\times y=2+y$ car on dérive par rapport à $x$, et $3y$ est alors vu comme une constante.

En « zoomant » suffisamment sur la courbe représentative de $f$ au voisinage de $\text{A}$ (c'est-à-dire un zoom centré sur le point $\text{A}$), on observe que la courbe ressemble à une droite.