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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 6
Exercices

Calcul numérique et algébrique

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1
Calcul fractionnaire

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Méthode

  • Un quotient ne change pas de valeur lorsqu'on multiplie ou on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul. On s'en servira en particulier pour simplifier des fractions ou les réduire au même dénominateur.
    Exemples : \frac{75}{100}=\frac{15 \times 5}{20 \times 5}=\frac{15}{20} ; 6=\frac{6}{1}=\frac{6 \times 5}{1 \times 5}=\frac{30}{5} et \frac{5}{3}=\frac{5 \times 4}{3 \times 4}=\frac{20}{12}.

  • Pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut les réduire au même dénominateur, puis additionner seulement les numérateurs en conservant le dénominateur commun.
    Exemple : \frac{3}{4}+\frac{8}{20}=\frac{3 \times 5}{4 \times 5}+\frac{8}{20}=\frac{\color{firebrick}15}{20}+\frac{\color{firebrick}8}{20}=\frac{\color{firebrick}23}{20}.

  • Pour multiplier des quotients, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux (sans avoir à réduire les fractions au même dénominateur !).
    Exemple : \frac{2}{3} \times \frac{8}{7}=\frac{2 \times 8}{3 \times 7}=\frac{16}{21}.

    Remarque
    Penser à simplifier si possible le produit calculé : \frac{15}{21} \times \frac{49}{10}=\frac{\not 5 \times \not 3 \times \not 7 \times 7}{\not 7 \times \not 3 \times \not 5 \times 2}=\frac{7}{2}.
  • Diviser par un nombre réel revient à multiplier par son inverse.
    Exemples : \frac{2}{3} {\color{firebrick}\div \frac{8}{7}}=\frac{2}{3} {\color{firebrick}\times \frac{7}{8}}=\frac{2 \times 7}{3 \times 8}=\frac{14}{24}=\frac{7}{12} et \frac{3}{4} {\color{firebrick}\div 5}=\frac{3}{4} {\color{firebrick}\times \frac{1}{5}}=\frac{3}{20}.
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Énoncé

Calculer \text{A}=\frac{4}{8}+\frac{7}{8} \times \frac{6}{5} et simplifier le résultat au maximum.
Aide
On prendra garde aux priorités opératoires.
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Corrigé

\mathrm{A}=\frac{4}{8}+\frac{7 \times 6}{8 \times 5}=\frac{4 \times 5}{8 \times 5}+\frac{7 \times 6}{8 \times 5}=\frac{20}{40}+\frac{42}{40}=\frac{20+42}{40}=\frac{62}{40}.

Donc \mathrm{A}=\frac{\not 2 \times 31}{\not 2 \times 20}=\frac{31}{20}
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Exercice 56
Simplifier au maximum les fractions suivantes.

1. \frac{70}{105}

2. \frac{-27}{15}

3. \frac{12}{24}

4. \frac{100}{-20}
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Exercice 57
Calculer et simplifier au maximum les valeurs suivantes.

1. \text{A}=\frac{3}{5}-\frac{6}{2}

2. \text{B}=\frac{5}{21}+\frac{3}{7}

3. \text{C}=\frac{8}{3}-\frac{15}{7}
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Exercice 58
Calculer et simplifier au maximum les valeurs suivantes.

1. \mathrm{D}=\frac{9}{3}-5

2. \mathrm{E}=\frac{8}{15}-\frac{4}{5}

3. \mathrm{F}=3-\frac{7}{17}
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Exercice 59
Calculer et simplifier au maximum les valeurs suivantes.

1. \text{G}=\frac{3}{5} \times \frac{6}{2}

2. \mathrm{H}=\frac{15}{32} \times \frac{24}{5}

3. \text{I}=\frac{2}{5} \times \frac{5}{2}
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Exercice 60
Calculer et simplifier au maximum les valeurs suivantes.

1. \text{J}=\frac{8}{3} \div \frac{4}{11}

2. \mathrm{K}=3 \div \frac{6}{15}

3. \mathrm{L}=\frac{5}{3} \div \frac{2}{50}

4. \mathrm{M}=\frac{2}{9} \div 4

5. \mathrm{N}=\frac{6}{62} \div \frac{8}{93}

6. \mathrm{P}=\frac{1}{3} \div \frac{1}{20}
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Exercice 61
Calculer et écrire les fractions suivantes sous la forme de fractions irréductibles, c'est-à-dire qu'on ne peut plus simplifier.

1. \mathrm{Q}=\frac{3}{4}-\frac{6}{4} \times \frac{8}{42}

2. \mathrm{R}=\frac{1}{9}+\frac{2}{9} \times\left(-\frac{27}{5}\right)

3. \mathrm{S}=\left(\frac{2}{12}+\frac{3}{6}\right) \times\left(\frac{7}{10}-\frac{16}{5}\right)

4. \mathrm{T}=\left(\frac{8}{15}-\frac{10}{25}\right) \times\left(\frac{1}{8}-\frac{4}{5}\right)
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2
Comparaison de fractions

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Méthode

  • On considère trois entiers naturels a, b et c, avec c non nul. Parmi les deux fractions \frac{a}{c} et \frac{b}{c}, la plus petite est celle avec le numérateur le plus petit.
    Exemple : \frac{5}{7}\lt\frac{8}{7}

    Remarque
    Dans le cas, par exemple, où a est négatif, on multiplie l'inégalité précédente par -1 pour comparer les deux nombres. Attention : cela change le sens de l'inégalité.

    Exemple : \frac{5}{7}\lt\frac{8}{7} donc -\frac{5}{7}{\color{firebrick}>}-\frac{8}{7}

  • On considère trois entiers positifs a, b et c, avec b et c non nuls. Parmi les deux fractions \frac{a}{b} et \frac{a}{c}, la plus petite est celle avec le dénominateur le plus grand (on divise a par un nombre plus grand, a est donc « découpé en plus de parts »).
    Exemple : \frac{5}{7}\lt\frac{5}{2}

    Remarque
    De la même manière, si le dénominateur est négatif, on peut multiplier l'inégalité par -1.
    Exemple : -\frac{5}{7}>-\frac{5}{2}

  • Lorsque deux fractions n'ont ni le même numérateur, ni le même dénominateur, on essaie de se ramener à un des cas précédents en les mettant au même numérateur ou en les mettant au même dénominateur.
    On peut également facilement conclure lorsqu'elles sont de signes opposés.
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Énoncé

Comparer les nombres suivants.
1. \frac{8}{15} et \frac{8}{25}.

2. -\frac{6}{5} et \frac{12}{2}.

3. \frac{-60}{52} et -\frac{63}{52}.

4. \frac{5}{3} et \frac{10}{11}.
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Corrigé

1. \frac{8}{15} et \frac{8}{25} sont positives et ont le même numérateur.

La plus petite des deux est celle qui a le dénominateur le plus grand : \frac{8}{25}\lt\frac{8}{15}.

2. -\frac{6}{5} est un nombre négatif et \frac{12}{2} est un nombre positif.

On a donc nécessairement -\frac{6}{5}\lt\frac{12}{2}, sans avoir à comparer ni les numérateurs, ni les dénominateurs.

3. \frac{-60}{52}=-\frac{60}{52} et -\frac{63}{52} sont négatives.

On a \frac{60}{52}\lt\frac{63}{52} donc -\frac{60}{52}>-\frac{63}{52}.

4. \frac{5}{3}=\frac{10}{6} est maintenant écrite avec le même numérateur que \frac{10}{11}.

On a \frac{10}{11}\lt\frac{10}{6}, donc \frac{10}{11}\lt\frac{5}{3}.
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Exercice 62
Comparer sans calculatrice les nombres suivants.

1. \frac{9}{20} et \frac{7}{20}.

2. \frac{12}{30} et \frac{18}{30}.

3. -\frac{5}{20} et -\frac{7}{20}.
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Exercice 63
Comparer sans calculatrice les nombres suivants.

1. \frac{8}{15} et \frac{5}{15}.

2. -\frac{8}{15} et -\frac{5}{15}.

3. \frac{8}{-15} et \frac{3}{15}.
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Exercice 64
Comparer sans calculatrice les nombres suivants.

1. \frac{7}{32} et \frac{7}{38}.

2. \frac{15}{251} et \frac{15}{87}.

3. -\frac{54}{120} et -\frac{54}{220}.
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Exercice 65
Comparer sans calculatrice les nombres suivants.

1. \frac{9}{15} et \frac{2}{5}.

2. -\frac{18}{60} et -\frac{2}{6}.

3. \frac{4}{3} et \frac{62}{60}.
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3
Calcul de puissances

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Méthode

On considère deux nombres réels a et b et deux nombres entiers relatifs m et n.

a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m n}(a \times b)^{n}=a^{n} \times b^{n}Si a \neq 0, a^{0}=1
Si a \neq 0, \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}Si a \neq 0, a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}Si b \neq 0, \left(\frac{a}{b}\right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}a^{1}=a

Remarque
Le nombre 0^{0} n'est pas défini. On choisit parfois la convention 0^{0}=1.
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Énoncé

Écrire les nombres suivants sous la forme a^n,a désigne un réel et n un entier relatif.

1. 51^{2} \times 51^{-5}

2. \frac{1}{4^{2} \times 4^{10}}

3. \frac{3^{6} \times 3^{-2}}{3^{5}}

4. \left(4^{2}\right)^{4}

5. \frac{9^{4}}{3^{4}}

6. 5^{9} \times 3^{9}

7. \frac{6^{2} \times 4^{2}}{2^{2}}

8. \frac{10^{10}}{10}
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Corrigé

1. 51^{2} \times 51^{-5}=51^{2+(-5)}=51^{-3}

2. \frac{1}{4^{2} \times 4^{10}}=\frac{1}{4^{2+10}}=\frac{1}{4^{12}}=4^{-12}

3. \frac{3^{6} \times 3^{-2}}{3^{5}}=\frac{3^{6+(-2)}}{3^{5}}=\frac{3^{4}}{3^{5}}=3^{4-5}=3^{-1}

4. \left(4^{2}\right)^{4}=4^{2 \times 4}=4^{8}

5. \frac{9^{4}}{3^{4}}=\left(\frac{9}{3}\right)^{4}=3^{4}

6. 5^{9} \times 3^{9}=(5 \times 3)^{9}=15^{9}

7. \frac{6^{2} \times 4^{2}}{2^{2}}=\left(\frac{6 \times 4}{2}\right)^{2}=12^{2}

8. \frac{10^{10}}{10}=\frac{10^{10}}{10^{1}}=10^{10-1}=10^{9}
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Exercice 66
Écrire les nombres suivants sous la forme a^n, où a désigne un réel et n un entier relatif.

1. 6^{-3} \times\left(6^{3}\right)^{4}

2. 3^{-5} \times 9^{2}

3. 8^{2} \times 5^{2}
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Exercice 67
Écrire les nombres suivants sous la forme a^n, où a désigne un réel et n un entier relatif.

1. \frac{5^{3}}{5^{2}}

2. \frac{6^{-5}}{2^{-5}}

3. \frac{7^{-2}}{7^{-10}}
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Exercice 68
Calculer, sans calculatrice, chacun des nombres suivants.

1. 3^{7} \times 3^{-5}

2. \frac{2^{-3}}{2^{-4}}

3. \frac{0{,}7^{10} \times 2^{5}}{0{,}7^{9} \times 2^{6}}
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Exercice 69
Écrire les nombres suivants sous la forme a^n, où a désigne un réel et n un entier relatif.

1. \frac{3^{8}}{6^{8}} \times 10^{8}

2. \frac{4^{2} \times 25^{2}}{10^{2}}

3. \left(3^{-5}\right)^{3} \times 6^{-15}
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Exercice 70
Écrire les nombres suivants sous la forme a^n, où a désigne un réel et n un entier relatif.

1. \frac{15^{3} \times 2^{3}}{30^{6}}

2. \left(20^{-7} \times 6^{-7}\right)^{5}

3. \frac{6^{8} \times 10^{15}}{2^{8} \times 10^{7}}
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Exercice 71
Calculer, sans calculatrice, chacun des nombres suivants.

1. \left(2^{3}\right)^{2}

2. \frac{\left(7^{2}\right)^{6}}{7^{11}}

3. \frac{8^{27}}{8^{27}}
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4
Écritures d'un nombre et ordre de grandeur

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Méthode

  • Pour un nombre décimal a, c'est-à-dire un nombre tel qu'il existe deux nombres entiers b et n tels que a=\frac{b}{10^{n}}, l'écriture décimale désigne l'écriture naturelle (utilisant éventuellement une virgule, avec un nombre fini de chiffres après la virgule). Elle n'est pas toujours possible.
    Exemples : le nombre 2{,}3 est une écriture décimale. Le nombre \frac{1}{3}=0{,}333 \ldots 3 \ldots n'a pas d'écriture décimale.

  • Un nombre q est rationnel lorsqu'il existe un entier relatif a et un entier naturel non nul b tels que q=\frac{a}{b}.
    Exemples : 2{,}3 peut aussi s'écrire \frac{23}{10} ou encore \frac{46}{20} \: ; \sqrt{4}=2=\frac{2}{1} . Ils sont tous les deux rationnels.

  • On peut prouver qu'il existe des nombres qui ne sont pas rationnels et qu'on appelle irrationnels, et qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme d'une fraction.
    Exemples : les nombres \sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi sont irrationnels et n'ont donc pas d'écriture fractionnaire.

  • Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 .

  • L'écriture scientifique d'un nombre décimal est l'écriture sous la forme a \times 10^{n}, où a est un nombre qui n'a qu'un chiffre non nul avant la virgule, et n un nombre entier relatif.
    Exemples : 2{,}3=2{,}3 \times 1=2{,}3 \times 10^{0} \:; 120\:000=1{,}2 \times 100\:000=1{,}2 \times 10^{5} ou encore 0{,}000\:0302=3{,}02 \times \frac{1}{100\:000}=3{,}02 \times \frac{1}{10^{5}}=3{,}02 \times 10^{-5}.

  • On appelle ordre de grandeur d'un nombre la puissance de 10 la plus proche de ce nombre. Elle se détermine facilement à partir de l'écriture scientifique.
    Exemples : 264=2{,}64 \times 10^{2} donc l'ordre de grandeur de 264 est à choisir parmi 10^{2} et 10^{3}. Le nombre étant plus proche de 10^{2}, son ordre de grandeur est 10^{2}.
    0{,}0073=7{,}3 \times 10^{-3} . Donc l'ordre de grandeur de 0{,}0073 est à choisir parmi 10^{-2} et 10^{-3}. Le nombre étant plus proche de 10^{-2}, son ordre de grandeur est 10^{-2}.
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Énoncé

1. Écrire le nombre 6{,}022 sous la forme d'une fraction décimale.

2. Le nombre d'atomes \mathrm{N}_{\mathrm{A}} constituant une mole de matière est environ \mathrm{N}_{\mathrm{A}} \approx 6{,}022 \times 10^{23}.
Quel est l'ordre de grandeur de ce nombre ?

3. Dans l'écriture décimale de cette valeur approchée, combien y a-t-il de zéros après le dernier 2 ?
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Corrigé

1. 6{,}022=\frac{6\:022}{1\:000}

2. L'ordre de grandeur de \mathrm{N}_{\mathrm{A}} est 10^{24}.

3. \mathrm{N}_{\mathrm{A}}=6{,}022 \times 10^{3} \times 10^{20}=6\:022 \times 10^{20}. Donc il \mathrm{y} a 20 zéros après le dernier 2.
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Exercice 72
Écrire sous la forme décimale le résultat du calcul suivant : 3 \times 10^{3}+6 \times 10^{2}+4+5 \times 10^{-1}.
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Exercice 73
Donner l'écriture scientifique des nombres suivants.

1. 53 \times 10^{4}

2. 15\:632\:000\:000

3. 0{,}000\:25
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Exercice 74
Compléter l'expression 156 \times 10^{-47}=1{,}56 \times 10^{\cdots}.
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Exercice 75
La distance Terre-Lune est estimée à 3{,}844 \times 10^{5} km. Donner l'écriture décimale de ce nombre.
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Exercice 76
Donner les nombres suivants sous la forme décimale, puis sous la forme d'une fraction irréductible.

1. 3{,}2 \times 10^{-5}

2. \frac{25}{10\:000}

3. 860 \times 10^{-3}
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Exercice 77
Donner un ordre de grandeur de 1998 \times 399.
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5
Unités métriques

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Méthode

  • Unités de longueur (dimension 1)
    1 km = 10 hm ; 1 hm = 10 dam ; etc. On peut utiliser le tableau suivant pour voir que 1 hm = 10\:000 cm.

    kilomètrehectomètredécamètremètredécimètrecentimètremillimètre
    10^{3} m10^{2} m10^{1} m1 m10^{-1} m10^{-2} m10^{-3} m
    10000

  • Unités d'aire (dimension 2)
    1 km2 = 100 hm2 ; 1 hm2 = 100 dam2 ; etc. On peut utiliser le tableau suivant pour voir que 1 hm2 = 10\:000 m2.

    km2hm2dam2m2dm2cm2mm2
    10000

  • Unités de volume et de contenance (dimension 3)
    1 km3 = 1\:000 hm3 ; 1 hm3 = 1\:000 dam3 ; etc. De plus, les unités de contenance sont liées à celles de volume via la correspondance 1 L = 1 dm3, puis on va de 10 en 10 pour les multiples et les sous-multiples du litre.
    On peut utiliser le tableau suivant pour voir que 1 cm3 = 0{,}000\:001 m3 = 0{,}001 L = 1 mL.

    km3hm3dam3m3dm3cm3mm2
    kLhLdaLLdLcLmL
    0000001
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Énoncé

1. Les Anglo-saxons utilisent les cups comme unité de volume : 1 cup =235 mL. Dans une recette, un restaurateur utilise neuf cups d'eau. Quel volume d'eau, en m3, utilise-t-il ? On écrira le résultat sous forme scientifique.

2. La superficie de la ville de Nantes est de 65{,}19 km2. Convertir cette superficie en m2.

3. Le périmètre intérieur d'une piste d'athlétisme est de 400 m. Convertir en cm.
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Corrigé

Remarque
On peut utiliser des tableaux de conversion.

1. \begin{aligned} 9 \times 235 \mathrm{~mL} &=2\:115 \mathrm{~mL}=2{,}115 \mathrm{~L}=2{,}115 \mathrm{~dm}^{3} \\ &=0{,}002\:115 \mathrm{~m}^{3}=2{,}115 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{3} \end{aligned}

2. 65{,}19 \mathrm{~km}^{2}=6\:519 \mathrm{~hm}^{2}=65\:190\:000 \mathrm{~m}^{2}

3. 400 \mathrm{~m}=400 \times 100 \mathrm{~cm}=40\:000 \mathrm{~cm}
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Exercice 78
Exprimer en mètre :
1. la taille du virus de la grippe : environ 100 millionièmes de millimètre ;

2. la taille d'un frelon européen : 2{,}8 cm ;

3. la hauteur du Burj Khalifa : 82{,}8 dam.
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Exercice 79
Exprimer en m2 :
1. la superficie du lac d'Annecy : 27{,}59 km2 ;

2. la surface officielle d'un terrain de badminton : 8\:174 dm2 ;

3. la surface d'une carte Nano SIM : 108{,}24 mm2.
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Exercice 80
Exprimer en m3 :
1. le volume d'eau du lac Léman : 89 km3 ;

2. le volume d'un sac de copeaux de bois : 50 L ;

3. le volume d'un dé à coudre : 2 cm3.
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Exercice 81
Les résultats seront arrondis à 10^{-3}.

1. Exprimer, en cL, le volume d'une balle de tennis de table de diamètre 40 mm.

2. Exprimer, en cL, le volume d'une balle de tennis de diamètre 6{,}5 cm.
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6
Autres unités

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Méthode

  • Unités de masse et autres unités simples
    1 kg = 10 hg ; 1 hg = 10 dag ; etc. On peut utiliser le tableau suivant pour voir que 1 hg = 10\:000 cg.
    De la même manière, 1 kV (kilovolt) = 1000 V, 5 mA (milliampère) = 0{,}005 A, 5 ko (kilooctet) = 5\:000 o.

    kilo-hecto- déca-[unité] déci-centi- milli-micro-nano-
    10^{3}10^{2}10^{1}110^{-1}10^{-2}10^{-3}10^{-6}10^{-9}
    10000

  • Unités de temps : 1 an = 365 jours (par convention), 1 jour = 24 h, 1 h = 60 min, 1 min = 60 s.

  • Unités de vitesse : \text { vitesse }=\frac{\text { distance }}{\text { temps }} donc une unité de vitesse est une unité de distance divisée par une unité de temps (on appelle cela une grandeur quotient). Cela peut correspondre à des mètres par minute, à des kilomètres par seconde, à des hectomètres par jour, etc.
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Énoncé

En 2020, le record du monde de vitesse humaine est détenu par Usain Bolt, qui a parcouru 100 m en 9 s 69 centièmes.
Donner sa vitesse en mètre par seconde, puis en kilomètre par heure.
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Corrigé

\mathrm{V}=\frac{\text { distance }}{\text { temps }}=\frac{100 \mathrm{~m}}{9{,}69 \mathrm{~s}} \approx 10{,}32 m/s.

Or 100 m = 0{,}1 km et 1 s =\frac{1}{3\:600} h.

\mathrm{V}=\frac{100 \mathrm{~m}}{9{,}69 \mathrm{~s}}=\frac{0{,}1 \mathrm{~km}}{9{,}69 \times 1 \mathrm{~s}}=\frac{0{,}1 \mathrm{~km}}{9{,}69 \times \frac{1}{3\:600} \mathrm{~h}} \approx 37{,}15 km/h.

(On convertit la distance et le temps avant d'effectuer le calcul, cela convertit la vitesse.)
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