On considère la représentation graphique de la fonction f représentée ci-dessous sur l'intervalle [-6 \:; 16].
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Exercice 109
Avec la précision permise par le graphique, déterminer si possible :
1.
l'image de 4 ;
2.
le ou les antécédent(s) de 16.
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Exercice 110
Avec la précision permise par le graphique, donner
si possible les antécédents de :
1. 20
2. 60
3. 160
4. -4
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Exercice 111
Avec la précision permise par le graphique, donner
si possible l'image de :
1. 0
2. 10
3. 18
4. -2
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2
Résolution graphique d'(in)équations
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Méthode
On considère une fonction f dont on a tracé la représentation graphique dans un repère.
Les solutions de l'équation f(x)=k sont les antécédents du nombre k par la fonction f.
Les solutions de l'inéquation f(x)\lt k sont les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée est strictement inférieure à k, c'est-à-dire l'ensemble des abscisses des points de la courbe qui sont en-dessous de la droite horizontale d'équation y=k.
Les solutions de l'inéquation f(x)>k sont les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée est strictement supérieure à k, c'est-à-dire l'ensemble des abscisses des points de la courbe qui sont au-dessus de la droite horizontale d'équation y=k.
L'ensemble des solutions d'une équation ou d'une inéquation, lorsqu'elles existent, est un ensemble fini, un intervalle ou une réunion d'intervalles.
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Énoncé
Voici la représentation graphique d'une fonction f.
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1. Avec la précision permise par le graphique, résoudre l'inéquation f(x)\lt-2.
2. Avec la précision permise par le graphique, résoudre l'équation f(x)=0 et en déduire les solutions de l'inéquation f(x) \leqslant 0.
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Corrigé
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1. Il s'agit de repérer les points de la courbe qui sont strictement en-dessous de la droite verte, d'équation y=-2. Leurs abscisses sont entre 0 et environ 6{,}8, non inclus. L'ensemble des solutions est donc ]0\: ; 6{,}8[.
2. Il s'agit de repérer les points de la courbe qui sont à l'intersection avec la droite orange, d'équation y=0. Leurs abscisses sont environ -0{,}5 et environ 7{,}2 . On en déduit que l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x) \leqslant 0 est donc environ [-0{,}5 \: ; 7{,}2] (abscisses des points de la courbe de f en-dessous de la droite orange).
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On donne la courbe d'une fonction f définie sur [-3\: ; 3].
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Exercice 112
Choisir la bonne réponse.
L'équation f(x)=0 admet :
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Exercice 113
Résoudre l'inéquation f(x)>0.
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Exercice 114
Résoudre l'inéquation f(x) \geqslant 0.
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Exercice 115
Résoudre l'équation f(x)=-4.
En déduire les solutions de l'inéquation f(x)>-4.
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3
Construire graphiquement un tableau de signe ou de variations
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Méthode
1. Déterminer le signe d'une fonction, c'est-à-dire les valeurs de la variable (souvent x ) pour lesquelles cette fonction est positive, négative ou nulle.
« f(x)=0 » équivaut à « la courbe représentative de f coupe l'axe des abscisses en x ».
« f(x)\lt 0 sur un intervalle \text{I} » équivaut à « la courbe représentative de f est située en dessous de l'axe des abscisses pour tout x de l'intervalle \text{I} ».
« f(x)>0 sur un intervalle \text{I} » équivaut à « la courbe représentative de f est située au-dessus de l'axe des abscisses pour tout x de l'intervalle \text{I} ».
On résume les différents cas dans un tableau de signe, comme dans l'exercice ci-dessous.
2. Déterminer les variations d'une fonction, c'est déterminer les intervalles sur lesquels cette fonction est croissante ou décroissante. Il faut alors observer quand la courbe « monte » ou " descend » (en l'étudiant de gauche à droite). On résume les différentes variations d'une fonction dans un tableau de variations.
Dans la première ligne, on présente seulement les abscisses des points correspondant soit à l'ensemble de définition, soit à un changement de variations, soit aux valeurs interdites.
Dans la deuxième ligne, chaque intervalle est associé à une flèche montante ou descendante traduisant la stricte monotonie de la fonction sur cet intervalle. Les extrémités des flèches représentent :
❯ soit les valeurs de x pour lesquelles la fonction n'est pas définie ;
❯ soit les valeurs de x pour lesquelles la fonction change de variation, dont les ordonnées sont appelées les « extrema locaux » (ou « extremum local » au singulier).
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Énoncé
On considère la fonction f représentée ci-dessous sur l'intervalle [-4{,}5 \: ; 0{,}5].
1. À l'aide du graphique, dresser le tableau de signe de cette fonction sur [-4{,}5 \: ; 0{,}5].
2. Dresser le tableau de variations de cette fonction sur [-4{,}5 \: ; 0{,}5].
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Corrigé
1. On repère les points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses : ici, ils ont pour abscisses -4 et 0. La fonction est négative entre ces deux valeurs et positive ailleurs. On en déduit le tableau de signe ci-dessous.
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2. On repère l'extremum de la fonction : ici c'est un minimum qui vaut -2 et qui est atteint lorsque x prend la valeur -2. On obtient le tableau de variations ci-dessous.
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Exercice 116
On considère ci-contre
la courbe représentative de
la fonction g définie sur
l'intervalle [0 \: ; 4].
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Avec la précision permise par le graphique, dresser le tableau de signe et le tableau de variations de g sur [0 \: ; 4].
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Exercice 117
On considère la fonction h définie sur dont on donne la représentation graphique ci-contre.
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Avec la précision permise par le graphique, dresser le tableau de signe et le tableau de variations de h sur [-3{,}4\,;2{,}4].
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4
Courbe représentative d'une fonction
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Méthode
Soit f une fonction définie sur \text{I}. La courbe représentative de f admet une équation de la forme y=f(x).
Cela signifie que chaque point de la courbe a pour coordonnées (x \:; f(x)), où x \in \mathrm{I}.
Ainsi :
un point \text{A} de coordonnées \left(x_{\mathrm{A}} \:; y_{\mathrm{A}}\right) appartient à la courbe représentative de f si, et seulement si, les coordonnées de \text{A} vérifient l'égalité y_{\mathrm{A}}=f\left(x_{\mathrm{A}}\right) ;
si un point \mathrm{B} de la courbe a pour abscisse x_{\mathrm{B}}, alors son ordonnée y_{\mathrm{B}} vaut f\left(x_{\mathrm{B}}\right).
Si un point \mathrm{C} de la courbe a pour ordonnée y_{\mathrm{C}}, son abscisse est un des antécédents de y_{\mathrm{C}} par la fonction f.
Pour la déterminer, il faut résoudre l'équation f(x)=y_{\mathrm{C}} d'inconnue x.
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Énoncé
On considère la droite représentative de la fonction affine f définie, pour tout x \in \mathbb{R}, par f(x)=3 x-4.
1. Soit \text{A} le point d'abscisse 5 appartenant à cette droite. Quelle est son ordonnée ?
2. Un point \text{B} d'ordonnée -10 appartient à cette droite. Quelle est son abscisse ?
3. Le point \mathrm{C} de coordonnées ( 4 \:; 8) appartient-il à cette droite ?
4. Le point \text{D} de coordonnées ( 10 \:; 25 ) appartient-il à cette droite ?
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Corrigé
1.f(5)=3 \times 5-4=11. Donc l'ordonnée de \mathrm{A} est 11 .
2. On cherche l'abscisse x telle que f(x)=-10 3 x-4=-10 3 x=-6 x=\frac{-6}{3}=-2.
Donc l'abscisse de \mathrm{B} est -2.
3.f(4)=3 \times 4-4=8. Donc \text{C} appartient à la droite.
4.f(10)=3 \times 10-4=26 \neq 25. Donc \text{D} n'appartient pas à la droite.
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Exercice 118
Le plan étant muni d'un repère, soit d la droite d'équation y=2 x-2{,}5. d passe par le point \text{A} d'ordonnée 0 et d'abscisse :
a. -2{,}5
b. 1{,}5
c. 1{,}25
d. 45
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Exercice 119
Le plan étant muni d'un repère, la courbe d'équation y=3 x^{2}+2 passe par le point \text{B} d'abscisse -1 et d'ordonnée :
a. 11
b. 5
c. 6
d. -4
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Exercice 120
On considère la droite \Delta d'équation y=8-2 x.
Sachant que les points \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{D} appartiennent à cette droite, calculer la coordonnée manquante.
1. \mathrm{A}(6 \: ; \ldots)
2. \mathrm{B}(\ldots \: ; 6)
3. \mathrm{C}(-2 \: ; \ldots)
4. \mathrm{D}(\ldots \: ;-2)
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Exercice 123
On considère la courbe \text{C}_1 d'équation y=(x+2)(x-1). Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
1. \mathrm{I}(-5 \:; 18) \in \mathrm{C}_{1}
2. \mathrm{J}(-4 \:; 10) \notin \mathrm{C}_{1}
3. \mathrm{K}(6 \:; 40) \in \mathrm{C}_{1}
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Exercice 121
On considère la droite \Delta_1 d'équation y=\frac{2}{3} x-3.
Quelle est l'abscisse du point d'intersection de \Delta_{1} avec l'axe des abscisses ?
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Exercice 122
On considère la représentation graphique \mathcal{C} de la fonction f: x \mapsto x^{3}-2 x^{2}.
Les points suivants appartiennent-ils à \mathcal{C} ?
1. \mathrm{E}(2 \: ; 0)
2. \mathrm{F}(0 \: ; 0)
3. \mathrm{G}(4 \: ; 30)
4. \mathrm{H}(10 \: ; 800)
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Exercice 124
Quelles sont les abscisses des points d'ordonnée
-1 qui se trouvent sur la courbe d'équation y=x^{2}-5 ?
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Exercice 125
Quelle est l'ordonnée du point d'abscisse \frac{2}{3} qui se trouve sur la droite d'équation y=3 x-10.
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Exercice 126
Montrer que le point \mathrm{A}(4 \:; 18) appartient à la
courbe représentative de la fonction x \mapsto x^{2}+2.
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