Nombres et calculs

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On donne les deux programmes de calcul suivants.
Programme A
$\boxed{\begin{array}{rl}1& \text{Choisir un nombre}\\ 2& \text{Soustraire 5 aˋ ce nombre}\\ 3& \text{Multiplier le reˊsultat par le nombre de deˊpart}\end{array}}$

Programme B
$\boxed{\begin{array}{rl}1& \text{Choisir un nombre}\\ 2& \text{Mettre ce nombre au carreˊ}\\ 3& \text{Soustraire 4 au reˊsultat}\end{array}}$

1. Alice choisit le nombre $4$ et applique le programme A. Montrer qu'elle obtiendra $-4.$

2. Lucie choisit le nombre $-3$ et applique le programme B. Quel résultat va-t-elle obtenir ?

3. Tom souhaite trouver un nombre pour lequel les deux programmes de calculs donneront le même résultat. Il choisit $x$ comme nombre de départ pour les deux programmes. Montrer que le résultat du programme A peut s'écrire $x^2-5x$.

4. Exprimer en fonction de $x$ le résultat obtenu avec le programme $\mathrm{B}$.

5. Quel est le nombre que Tom cherche ?

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Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées, une seule d'entre elles est exacte. Justifier les réponses.

1. Lorsque $x$ est égal à $-4,x^2+3x+4$ est égal à :

a. $8$

b. $0$

c. $-24$

d. $-13$

2. $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=$

a. $\frac{2}{7}$

b. $\text{0,583}$

c. $\frac{7}{12}$

d. $\frac{1}{7}$

3. La notation scientifique de $\text{1 500 000 000}$ est :

a. $15\times 10^{-8}$

b. $15\times 10^8$

c. $1,5\times 10^{-9}$

d. $1,5\times 10^9$

4. $(x-2)(x+2)=$

a. $x^2-4$

b. $x^2+4$

c. $2x-4$

d. $2x$

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1. Calculer $5x^2-3(2x+1)$ pour $x=4$

2. Montrer que, pour toute valeur de $x$, on a $5x^2-3(2x+1)=5x^2-6x-3.$

3. Trouver la valeur de $x$ pour laquelle $5x^2-3(2x+1)=5x^2-4x+1$.

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Une famille désire acheter, pour les enfants, une piscine cylindrique hors sol équipée d'une pompe électrique. Elle compte l'utiliser cet été, du mois de juin au mois de septembre inclus. Elle dispose d'un budget de $200€$. À l'aide des documents suivants, dire si le budget de cette famille est suffisant pour l'achat de cette piscine et ses frais de fonctionnement.

Document 1

Caractéristiques techniques

• Hauteur de l'eau : $\text{65 cm}$.
• Consommation électrique moyenne
de la pompe : $\text{3,42 kWh}$ par jour.
• Prix (piscine + pompe) : $\text{80 €}$.

Document 2

Prix d'un $\text{kWh}$ : $0,15€$. Le $\text{kWh}$ (kilowatt-heure) est l'unité de mesure de l'énergie électrique.

Document 3

Prix d'un ${\mathrm{m}}^3$ d'eau $:2,03€$.

Document 4

Le volume d'un cylindre est donné par la formule $\mathrm{V}=\pi \times r^2\times h$, où $r$ est le rayon du cylindre et $h$ sa hauteur.

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- AUREL : Belle pêche ! Combien de poissons et de coquillages vas-tu pouvoir vendre au marché ?
- ANTOINE : En tout, je vais pouvoir vendre au marché $30$ poissons et $500$ coquillages.

Antoine est un pêcheur professionnel. Il veut vendre des paniers contenant des coquillages et des poissons. Il souhaite concevoir le plus grand nombre possible de paniers identiques. Enfin, il voudrait qu'il ne reste aucun coquillage et aucun poisson dans son congélateur.

1. Combien de paniers Antoine pourra t-il concevoir au maximum ? Justifier.

2. Quelle sera la composition de chaque panier ? Justifier.