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Partie 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Nombres entiers
Ch. 2
Calcul numérique
Ch. 3
Calcul littéral
Ch. 4
Équations
Partie 2 : Organisation et gestion de données, fonctions
Ch. 5
Notion de fonction
Ch. 6
Fonctions affines
Ch. 7
Situations de proportionnalité
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Partie 3 : Espace et géométrie
Ch. 10
Théorème de Thalès et triangles semblables
Ch. 11
Trigonométrie dans le triangle rectangle
Ch. 12
Transformations dans le plan et leurs effets
Ch. 13
Géométrie dans l'espace
Partie 4 : Mesures et grandeurs
Ch. 14
Mesures et grandeurs
Brevet
Ch. 15
Dossier brevet
Chapitre 10
Entraînement
Théorème de Thalès et triangles semblables
Réciproque du théorème de Thalès et droites parallèles
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Réciproque du théorème de Thalès et droites parallèles
Réciproque du théorème de Thalès :
Si les points \mathrm{A}, \mathrm{M}, \mathrm{B} et \mathrm{A}, \mathrm{N}, \mathrm{C} sont alignés dans le même ordre et que deux des trois rapports \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}, \frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}} et \frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{BC}} sont égaux, alors les droites (\mathrm{MN}) et (\mathrm{BC}) sont parallèles.
Remarque :
Attention, il faut que les deux conditions soient vérifiées (l'ordre des points et l'égalité de deux rapports) pour pouvoir conclure au parallélisme. S'il manque l'une des deux conditions, on conclut alors sur le non parallélisme des droites.
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Si les points \mathrm{A}, \mathrm{M}, \mathrm{B} et \mathrm{A}, \mathrm{N}, \mathrm{C} sont alignés dans le même ordre et que deux des trois rapports \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}, \frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}} et \frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{BC}} sont égaux, alors les droites (\mathrm{MN}) et (\mathrm{BC}) sont parallèles.
Remarque :
Attention, il faut que les deux conditions soient vérifiées (l'ordre des points et l'égalité de deux rapports) pour pouvoir conclure au parallélisme. S'il manque l'une des deux conditions, on conclut alors sur le non parallélisme des droites.
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Exercice 7[Rep.4]
Cocher la (ou les) configuration(s) où les points \mathrm{A}, \mathrm{M}, \mathrm{B} et \mathrm{A}, \mathrm{N}, \mathrm{C} sont dans le même ordre.
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Exercice 8[Cal.2]
Dans quel(s) cas les rapports \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}} et \frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}} sont‑ils égaux ? Écrire les calculs pour justifier les réponses. Les longueurs sont exprimées en centimètre.
1. \mathrm{AM}=2~; \mathrm{AB}=3~; \mathrm{AN}=6~; \mathrm{AC}=10.
2. \mathrm{AM}=6{,}5~; \mathrm{AB}=9{,}75~; \mathrm{AN}=2~; \mathrm{AC}=3.
3. \mathrm{AM}=18~; \mathrm{AB}=3~; \mathrm{AN}=2~; \mathrm{AC}=12.
1. \mathrm{AM}=2~; \mathrm{AB}=3~; \mathrm{AN}=6~; \mathrm{AC}=10.
2. \mathrm{AM}=6{,}5~; \mathrm{AB}=9{,}75~; \mathrm{AN}=2~; \mathrm{AC}=3.
3. \mathrm{AM}=18~; \mathrm{AB}=3~; \mathrm{AN}=2~; \mathrm{AC}=12.
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Exercice 9[Cal.2 - Com.4]
On considère la figure suivante.
1. Que valent les rapports suivants ?
a. \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=
b. \frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}}=
2. Compléter la phrase suivante.
Les points et sont alignés dans le ordre.
3. Que peut‑on en conclure pour les droites (\mathrm{MN}) et (\mathrm{BC}) ?
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1. Que valent les rapports suivants ?
a. \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=
b. \frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}}=
2. Compléter la phrase suivante.
Les points
3. Que peut‑on en conclure pour les droites (\mathrm{MN}) et (\mathrm{BC}) ?
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Exercice 10
Copie d'élève
[Com.4 - Rais.3]
On considère la figure suivante.
À la question « Les droites (\mathrm{MN}) et (\mathrm{FG}) sont‑elles parallèles ? », Lison a mélangé les différentes étapes de sa réponse. Numéroter dans l'ordre les six étapes de sa démonstration.
a. On calcule d'une part \frac{\mathrm{EN}}{\mathrm{EF}}=\frac{5}{14}.
b. Les points \mathrm{E}, \mathrm{N}, \mathrm{F} d'une part et \mathrm{E}, \mathrm{M}, \mathrm{G} d'autre part sont alignés dans le même ordre.
c. On calcule les longueurs \mathrm{EF} et \mathrm{EG} :
\mathrm{EF}=\mathrm{EN}+\mathrm{NF}=5+9=14 et
\mathrm{EG}=\mathrm{EM}+\mathrm{MG}=3+5=8.
d. On calcule d'autre part \frac{\mathrm{EM}}{\mathrm{EG}}=\frac{3}{8}.
e. Les droites ne sont pas parallèles.
f. Les quotients ne sont pas égaux, l'égalité de Thalès n'est pas vérifiée.
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À la question « Les droites (\mathrm{MN}) et (\mathrm{FG}) sont‑elles parallèles ? », Lison a mélangé les différentes étapes de sa réponse. Numéroter dans l'ordre les six étapes de sa démonstration.
\mathrm{EF}=\mathrm{EN}+\mathrm{NF}=5+9=14 et
\mathrm{EG}=\mathrm{EM}+\mathrm{MG}=3+5=8.
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Exercice 11[Rais.4 - Mod.4]
Louise a trouvé le plan suivant de son quartier.
Elle a mesuré différentes distances et souhaite savoir si la rue Paul Bert et la rue des Sources sont parallèles ou non.
La distance entre la mairie et l'école est de 1,24 km, celle entre l'école et la piscine est de 800 mètres, celle entre la mairie et la bibliothèque est de 3,2 km et celle entre le lycée et la bibliothèque est de 1,25 km.
1. Compléter le schéma suivant avec les mesures effectuées par Louise. \text{M} est la mairie, \text{L} le lycée, \text{B} la bibliothèque, \text{E} l'école et \text{P} la piscine.
2. On considère que le boulevard de Paris et le boulevard Murat sont des rues rectilignes. Que peut‑on en déduire pour les points \text{M, L, B} d'une part et les points \text{M, E, P} d'autre part ?
3. Compléter les égalités suivantes en exprimant toutes les longueurs en kilomètre.
\mathrm{ML}= ; \mathrm{MB}= ; \mathrm{ME}= et \mathrm{MP}=.
4. Compléter les calculs suivants en donnant la valeur exacte sous forme de fraction irréductible puis une valeur approchée au centième.
\frac{\mathrm{ML}}{\mathrm{MB}}=
\frac{\mathrm{ME}}{\mathrm{MP}}=
5. Sélectionner le mot qui convient.
Les valeurs exactes sont .
Les valeurs approchées sont .
6. Compléter la conclusion de Louise.
La rue des Sources et la rue Paul Bert.
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Elle a mesuré différentes distances et souhaite savoir si la rue Paul Bert et la rue des Sources sont parallèles ou non.
La distance entre la mairie et l'école est de 1,24 km, celle entre l'école et la piscine est de 800 mètres, celle entre la mairie et la bibliothèque est de 3,2 km et celle entre le lycée et la bibliothèque est de 1,25 km.
1. Compléter le schéma suivant avec les mesures effectuées par Louise. \text{M} est la mairie, \text{L} le lycée, \text{B} la bibliothèque, \text{E} l'école et \text{P} la piscine.
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2. On considère que le boulevard de Paris et le boulevard Murat sont des rues rectilignes. Que peut‑on en déduire pour les points \text{M, L, B} d'une part et les points \text{M, E, P} d'autre part ?
3. Compléter les égalités suivantes en exprimant toutes les longueurs en kilomètre.
\mathrm{ML}=
4. Compléter les calculs suivants en donnant la valeur exacte sous forme de fraction irréductible puis une valeur approchée au centième.
\frac{\mathrm{ML}}{\mathrm{MB}}=
\frac{\mathrm{ME}}{\mathrm{MP}}=
5. Sélectionner le mot qui convient.
Les valeurs exactes sont .
Les valeurs approchées sont .
6. Compléter la conclusion de Louise.
La rue des Sources et la rue Paul Bert
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Exercice 12 Le coin des experts
On considère la configuration ci‑dessous. On sait que les droites \text{(PR)} et \text{(LF)} sont sécantes en \text{E.} Déterminer la (ou les) valeurs(s) de x afin que les droites \text{(PL)} et \text{(FR)} soient parallèles.
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YolèneÉmilieJean-PaulFatimaSarah