Utiliser la demi-droite graduée jusqu'à 200

D'après la DEPP, les résultats des évaluations nationales de 2023 montrent que : « Les exercices "placer un nombre sur une ligne graduée" [...] sont les moins bien réussis. »

Une étape cruciale consiste à comprendre qu'il y a le même espace entre les nombres n et n + 1 quel que soit n, et que l'intervalle des graduations peut être différent de 1, avec une même dynamique : un même espace pour un même intervalle de graduation. De plus, la demi-droite graduée réunit les aspects cardinal, ordinal et spatial du nombre, ce qui crée des difficultés chez les élèves.

Utiliser la règle comme instrument de tracé

Projeter et distribuer la carte rituel P1-10.
Demander aux élèves de relier les points à la règle.
Corriger devant les élèves et faire expliciter les stratégies.

Différenciation
Pour les élèves plus rapides, distribuer la deuxième fiche, et leur demander de relier le plus de points possible.

Partie-tout : recherche d'une partie

Boran ramasse 31 fraises. Il en mange 9. Combien lui en reste-t-il ?

Quelle situation correspond à l'énoncé ?

Projeter le problème intercalaire et les situations proposées. Échanger sur celle qui correspond à l'énoncé et en expliciter les raisons.

Projeter la première image du diaporama « Demi-droites graduées de 1 en 1 ».

« Savez-vous ce que c'est ? »

Réponse attendue : une demi-droite graduée.

Rappeler le fonctionnement d'une demi-droite graduée :
« Pourquoi est-il écrit 3, 4 et 8 ? »

Réponse attendue : en comptant de 0 à la graduation 3/4/8 de 1 en 1, on arrive à 3/4/8.

Compléter : « Le nombre sous la graduation représente la distance à 0. De 0 à 8, il y a 8. »

Projeter l'image suivante.

Demander aux élèves : « Savez-vous ce que représente le point d'interrogation ? »

Réponse attendue : un espace entre deux graduations.

« Dans une demi-droite graduée, l'espace entre deux graduations est toujours le même. Combien vaut cette distance ici ? »

Réponse attendue : 1.

Compléter : « C'est pour cela qu'ici, il faut toujours ajouter 1 à un nombre sous une graduation pour obtenir le suivant. »

Présenter l'exercice : « Ce matin, j'ai renversé du thé sur les exercices de mathématiques. Malheureusement, certains nombres ont disparu : pouvez-vous m'aider à les retrouver ? »

Distribuer la fiche « Entrainement » aux binômes et leur demander de la compléter.

Projeter la fiche « Entrainement ».

La corriger collectivement et faire justifier leurs propositions aux élèves.

Expliciter la consigne de la recherche dans laquelle les élèves doivent reconnaitre des demi-droites graduées : « Je vais vous distribuer une enveloppe qui comporte plusieurs demi-droites graduées. Je vous demande de les trier en deux catégories. Vous devrez être capables d'expliquer votre choix. »

Exemples de demi-droites graduées distribuées.

Échanger autour des tris opérés par les élèves.

Réponse attendue : trois demi-droites graduées sont erronées (distance entre deux graduations pas toujours égale, erreur dans la suite numérique). Deux demi-droites graduées sont justes.

Faire rappeler ce qu'il faut retenir sur la demi-droite graduée et compléter : « Vous vous êtes entrainés à reconnaitre une demi-droite graduée. Son origine peut être zéro mais ce n'est pas obligatoire. L'espace entre les graduations est toujours le même, et la différence entre deux nombres qui se suivent est toujours la même également. Si la demi-droite est graduée de 1 en 1, il faut ajouter 1 au nombre pour obtenir le suivant. Chaque nombre représente la distance depuis 0 jusqu'à lui. »

Ces explications constituent la base de la trace écrite qui comportera une demi-droite graduée de 1 en 1, comme ci-dessus.

• Synthèse mathématique
  « Qu'avez-vous appris durant cette séance ? »
  Les élèves réfléchissent seuls, puis à deux.
  Réponse attendue en revenant à la cible : les termes demi-droite et graduations, qu'ils définissent avec leurs mots.
  
• Bilan de l'apprentissage
  Les élèves complètent oralement ou dans leur cahier d'apprentissage l'affirmation suivante : « Aujourd'hui, j'ai compris que... »

Suite orale des nombres

Projeter la carte rituel P1-11.

Interroger les élèves à tour de rôle pour énoncer les nombres de 1 en 1 de 80 à 130, puis de 10 en 10 de 0 à 200.

Faire expliciter les réponses.

Différenciation

Ajouter une dizaine au tableau au fur et à mesure lors du furet de 10 en 10 pour aider les élèves les plus en difficulté à visualiser.

Partie-tout : recherche du tout
Mounia a 32 € dans sa tirelire. Elle reçoit 18 € pour son anniversaire. Quelle somme a-t-elle maintenant ?

Quelle représentation correspond à l'énoncé ?
Projeter le problème intercalaire et les représentations proposées. Échanger sur celle qui correspond à l'énoncé et en expliciter les raisons.

« Qu'avez-vous appris lors de la séance précédente sur les demi-droites graduées ? »

Laisser les élèves réfléchir une minute avant de recueillir au moins deux réponses.
Réponse attendue : les termes de demi-droite et graduation (qu'ils définissent avec leurs mots) et l'invariance de l'espace entre deux graduations.

« Maintenant que vous avez revu ce qu'est une demi-droite graduée, vous allez vous entrainer à placer des nombres sur une demi-droite graduée de 1 en 1. »

Projeter l'image « Demi-droite graduée lacunaire n° 1 »
« Vous allez placer des nombres sur cette demi-droite graduée de 1 en 1. »

Demander à un élève de venir piocher une étiquette et de la placer sur la bonne graduation. Lui faire expliciter sa méthode et faire valider par le reste de la classe.
Demander à quatre autres élèves de venir piocher puis placer une étiquette. Faire valider au reste de la classe. Procéder de la même façon avec les étiquettes suivantes.

Faire rappeler comment procéder et compléter : « Pour placer un nombre sur une demi-droite graduée de 1 en 1, on regarde les nombres qui sont déjà placés. On trouve un nombre proche et on compte de 1 en 1 jusqu'à ce nombre en se déplaçant de graduation en graduation. Par exemple, si 120 est déjà présent et qu'on doit placer 125, on avance sur la demi-droite en comptant 121, 122, 123, 124, 125. On peut placer 125 sur cette graduation. À partir de 120, on peut aussi placer 118 en comptant en reculant : 119, 118. »

Projeter la page 20 du fichier et donner les consignes.

Exercice intercalaire : Les élèves doivent choisir entre trois propositions projetées au tableau.

• 
  Sur une droite graduée, il y a toujours le même espace entre deux nombres qui se suivent.
• 
  Une demi-droite est toujours graduée de 1 en 1.
• 
  L'espace entre deux graduations identiques peut changer sur une demi-droite graduée.

Demander aux élèves d'expliquer leur raisonnement et compléter si besoin.

• Synthèse mathématique
« Qu'avez-vous appris durant cette séance ? »
Les élèves réfléchissent seuls, puis à deux.
Réponse attendue en revenant à la cible : placer des nombres sur une demi-droite graduée de 1 en 1.

• Bilan de l'apprentissage
Les élèves complètent oralement ou dans leur cahier d'apprentissage l'affirmation suivante : « Pour réussir, je peux… »

Connaitre les « presque doubles »
Projeter la carte rituel P1-12.
Demander aux élèves d'écrire le résultat des additions sur leur ardoise.
Corriger devant les élèves et faire expliciter les réponses.

Différenciation
Les élèves qui ne connaissent pas leur double s'entrainent à les retenir avec les cartes recto-verso à imprimer.

Multiplicatif : recherche du produit
Basile fabrique 3 bracelets de 20 perles. Combien de perles a-t-il utilisées ?
Quelle représentation correspond à l'énoncé ?
Projeter le problème intercalaire et les représentations proposées. Échanger sur celle qui correspond à l'énoncé et en expliciter les raisons.

« Qu'avez-vous appris lors des séances précédentes sur les demi-droites graduées ? »
Laisser les élèves réfléchir une minute avant de recueillir au moins deux réponses.
Réponse attendue : les termes de demi-droite et graduation (qu'ils définissent avec leurs mots), l'invariance de l'écart entre deux graduations et le placement d'un nombre sur une demi-droite graduée de 1 en 1.
« Maintenant que vous avez revu comment placer des nombres sur une demi-droite graduée de 1 en 1, vous allez apprendre à placer des nombres sur une demi-droite graduée de 10 en 10. »

Projeter l'image « Demi-droite graduée lacunaire n° 2 »
« Vous allez cette fois-ci vous entrainer à placer des nombres de 10 en 10 sur une demi-droite graduée. Que veut dire "graduée de 10 en 10" ? »
Réponse attendue : l'espace entre deux graduations vaut 10. Il faut ajouter 10 pour se déplacer d'une graduation à la suivante ou retirer 10 pour retourner à la graduation précédente.
Projeter le diaporama « Graduations de 10 en 10 ». Expliciter le fait que l'espace entre deux graduations est 10.

Compter collectivement de 10 en 10 de 0 à 200 puis commencer le jeu en procédant de la même façon que lors de la séance précédente.

« Pour placer un nombre sur une demi-droite graduée de 10 en 10, on regarde les nombres qui sont déjà placés. On compte de 10 en 10 depuis notre graduation jusqu'à ce nombre en se déplaçant de graduation en graduation. Par exemple, si 120 est déjà présent et qu'on doit placer 140, on avance sur la demi-droite en comptant 130, 140. On peut placer 140 sur cette graduation. À partir de 120, on peut aussi placer 110 en comptant à l'envers. »

Projeter la page 21 du fichier et donner les consignes.
Exercice intercalaire : Quel nombre doit-on placer au niveau du point d'interrogation ?

• 
  101
• 
  110
• 
  120

Demander aux élèves d'expliquer leur raisonnement et compléter si besoin.

• Synthèse mathématique
« Qu'avez-vous appris durant cette séance ? »
Les élèves réfléchissent seuls, puis à deux.
Réponse attendue en revenant à la cible : placer des nombres sur une demi-droite graduée de 10 en 10.

• Bilan de l'apprentissage
Les élèves complètent oralement ou dans leur cahier d'apprentissage l'affirmation suivante : « Durant cette séance, j'ai été motivé(e) par… »