Le sens de la multiplication et le symbole « × »

Depuis le CP, les élèves sont habitués à manipuler des nombres dans des situations multiplicatives via la résolution de problèmes. Ici, les élèves vont s'appuyer sur la représentation rectangulaire de la multiplication afin de découvrir la commutativité. Cette notion est comprise si, pour un calcul donné, par exemple « 4 × 2 », l'élève lit « 4 fois 2 » mais calcule et comprend que c'est égal à « 2 × 4 ».

Il est à noter que l'utilisation du terme de commutativité n'est pas attendu de la part des élèves.

Exemple de configuration rectangulaire :

Utiliser un article juste après le mot fois, comme « 4 fois le 2 », peut faciliter la compréhension pour les élèves en difficulté sur cette notion.

Sens de la multiplication

Projeter la carte rituel P1-15, puis distribuer des cubes aux élèves.

Leur demander de prendre deux fois quatre cubes.

Placer les cubes en « configuration rectangulaire » au moment de la correction. Faire émerger que deux tours de quatre cubes peuvent aussi se placer en quatre tours de deux cubes.

Recommencer plusieurs fois avec des nombres inférieurs à 10.

Partie-tout : recherche du tout

Lundi, la factrice a posté 43 lettres. Mardi, elle en poste 54. Combien de lettres la factrice a-t-elle postées depuis le début de la semaine ?

Quelle démarche a été utilisée ?

Projeter le problème intercalaire et les démarches de résolution proposées. Échanger sur celle qui correspond au problème résolu et en expliciter les raisons.

« Qu'avons-nous travaillé pendant le rituel ? »

Recueillir les réponses de plusieurs élèves, ce qui permettra de voir ce qu'ils ont compris du rituel.

« Tout à l'heure, vous avez travaillé sur la multiplication. Durant cette séance, nous allons utiliser la multiplication pour calculer. »

Les élèves vont calculer le nombre d'élèves présents dans une salle de classe disposée en « configuration rectangulaire ». Le but est de modéliser le problème à l'aide de deux produits différents et de réaliser qu'ils sont égaux.

Projeter l'image « Salle de classe ».

« Vous allez devoir calculer combien il y a d'élèves en tout. »

Après un temps de recherche individuel, laisser les élèves comparer leur réponse par deux. S'ils n'ont pas utilisé la même technique, leur faire vérifier la procédure de l'autre élève.

Les élèves peuvent représenter la classe dans leur cahier de recherche ou avec des cubes emboitables.

Demander à au moins deux élèves d'expliquer leur procédure.

Grâce aux deux boutons présents sur l'image, mettre en évidence les lignes de 5 en les entourant et en écrivant l'addition associée.

Vérifier qu'il y a bien 30 élèves en les comptant si besoin. Si un élève a proposé de calculer les colonnes de 6 tables, l'écrire au tableau de la même façon sur une autre image vierge de la classe. Entourer cette fois-ci les cinq colonnes de 6. Mettre côte à côte les deux représentations de classe travaillées : 6 \times 5 et 5 \times 6.

« Il y a le même nombre d'élèves dans les deux classes. Seulement, les groupements sont différents. Il y a parfois des groupes de 6 et parfois des groupes de 5. Ces calculs peuvent s'écrire 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 ou 6 \times 5, mais aussi 6 + 6 + 6 + 6 + 6 ou 5 \times 6. Le signe "×" veut dire que l'on multiplie un groupe par un autre. C'est le symbole de la multiplication. »

« En rituel, vous avez revu que la multiplication est une addition répétée plusieurs fois. 2 fois 4 cubes, c'est 4 cubes et encore 4 cubes. 4 fois 2 cubes, c'est 2 cubes, et encore 2, et encore 2 et encore 2. Utiliser la multiplication permet de calculer plus rapidement et sans erreur.

Vous avez calculé 6 fois 5 et 5 fois 6, et vous avez trouvé le même résultat. Cela est vrai pour toutes les multiplications, comme pour l'addition : si l'on échange l'ordre des nombres, on trouvera le même résultat.

Pour écrire une multiplication, on utilise le symbole "×", comme dans 5 \times 6. On peut dire que 5 \times 6 = 6 \times 5. »

Faire reformuler par au moins deux élèves.

Créer une affiche afin de garder une trace collective avec les images de la classe et les calculs « 6 \times 5 = 5 \times 6 » écrits en dessous.

Projeter la page 24 du fichier et donner les consignes.

• Synthèse mathématique
« Qu'avez-vous appris durant cette séance ? »
Les élèves réfléchissent seuls, puis à deux.
Réponse attendue en revenant à la cible : une définition, avec les mots des élèves, de la multiplication et son caractère commutatif, ainsi que le sens du symbole « × ».

• Bilan de l'apprentissage
Les élèves complètent oralement ou dans leur cahier d'apprentissage l'affirmation suivante : « Durant cette séance, j'ai été motivé(e) par… »

Le symbole « × »

Projeter la carte rituel P1-16.
Les élèves écrivent les deux multiplications associées à une plaque. Corriger en projetant les plaques associées aux multiplications correspondantes, puis expliciter.
Corriger devant les élèves et faire expliciter les réponses.

Variable didactique
Faire varier la taille de la plaque.

Partie-tout : recherche d'une partie
Un libraire a vendu 75 livres. 41 sont des bandes dessinées et le reste sont des albums. Combien d'albums ont été vendus ?

Quelle représentation correspond à l'énoncé ?
Projeter le problème intercalaire et les représentations proposées. Échanger sur celle qui correspond à l'énoncé et en expliciter les raisons.

Afin de faire rappeler le sens de la multiplication, de son caractère commutatif et du symbole « × », laisser réfléchir l'ensemble de la classe durant une minute, puis solliciter au moins deux élèves pour l'expliciter.

« Aujourd'hui, vous allez continuer à travailler pour comprendre la multiplication. Pour cela, vous allez découvrir la table de Pythagore rectangulaire. »

Lire et utiliser la table de Pythagore rectangulaire.

Distribuer une feuille à carreaux à chaque binôme. Pour cette phase, donner les consignes au fur et à mesure et attendre que les élèves aient terminé une étape pour indiquer la suite.

« Vous allez représenter un rectangle avec 5 carreaux pour le premier côté et 4 carreaux pour le second côté. » Laisser les élèves réaliser la consigne.

« Puis dessiner un autre rectangle avec 6 carreaux pour le premier côté et 3 carreaux pour le second côté. » Laisser les élèves réaliser la consigne.

« Écrivez ensuite combien de carreaux il y a au total dans chaque rectangle. »

Les élèves écrivent « 20 » et « 18 » dans les rectangles correspondants.

Projeter l'outil « Table de Pythagore » en version rectangulaire.

Cette table sera remplie au fur et à mesure des calculs rencontrés au cours de l'année.

« Que voyez-vous ? Est-ce que vous connaissez cet outil ? »

Solliciter au moins deux élèves pour décrire ce qu'ils voient puis expliquer : « Ceci s'appelle la "table de Pythagore rectangulaire". Elle représente des multiplications sous forme de rectangles, comme ceux que vous venez de construire. »

Deux binômes viennent chercher à quel endroit placer les rectangles réalisés en phase de découverte (écrire alors le nombre de carreaux contenus dans les 4 cases trouvées : 18 et 20).

Colorier les rectangles égaux de la même couleur.

« Vous voyez que le résultat ne change pas si l'on fait 6 × 3 ou 3 × 6 carrés. Le rectangle est identique mais change de sens. Il occupe par contre la même surface, le même espace. »

Il y a deux rectangles correspondant à 18, et deux rectangles correspondant à 20. Cette représentation rectangulaire de la table de Pythagore permet de visualiser la commutativité sans être dans les écritures chiffrées qui demandent une abstraction plus avancée. Avec les écritures chiffrées, les élèves doivent croire l'adulte « sur parole » s'il lui dit que 4 × 5 = 5 × 4 = 20. Avec les rectangles, il le voit, le vérifie. C'est une étape vers l'abstraction de la table de Pythagore classique avec les écritures chiffrées.

Distribuer une étiquette produit par binôme. Ils tracent le rectangle correspondant à la multiplication sur leur feuille à carreaux, puis le découpent. Ils vérifient ensuite leur résultat en superposant leur rectangle à celui de l'une des deux cases de leur calcul sur la table de Pythagore rectangulaire.

Circuler pour valider les procédures des élèves en réussite et aider ceux qui en ont besoin en traçant le rectangle avec eux.

Projeter la page 25 du fichier et donner les consignes.

Compléter l'affiche construite en séance 1 en ajoutant un exemple de configurations rectangulaires pour 3 × 6 et 6 × 3.

• Synthèse mathématique

« Qu'avez-vous appris durant cette séance ? »

Les élèves réfléchissent seuls, puis à deux.

Réponse attendue en revenant à la cible : utiliser la table de Pythagore.

• Bilan de l'apprentissage

Les élèves complètent oralement ou dans leur cahier d'apprentissage l'affirmation suivante : « Pour réussir à lire la table de Pythagore rectangulaire, je dois... »