29. Calculer des soustractions en colonnes

La soustraction comme addition à trou
Projeter la carte rituel P3-5. Faire calculer mentalement les soustractions demandées.
Corriger devant les élèves et faire expliciter les réponses.

Comparaison : recherche de la valeur de l'écart
Dans l'école de Lyanna, il y a 154 élèves et dans l'école d'Imed, il y en a 251. Combien y a-t-il d'élèves en moins dans l'école de Lyanna ?

Quelle représentation correspond à l'énoncé ?
Projeter le problème intercalaire et les représentations proposées. Échanger sur celle qui correspond à l'énoncé et en expliciter les raisons.

« Aujourd'hui, vous allez apprendre à poser et calculer des soustractions en colonnes. »

Poser et calculer des soustractions en colonnes.

Laisser l'ensemble de la classe réfléchir une minute à la signification des termes « soustraction » et « écart », puis interroger au moins deux élèves.
Poser « 57 – 24 » au tableau et demander aux élèves de poser l'opération dans leur cahier de recherche, en précisant que les nombres représentant les unités et les dizaines isolées doivent être alignés.

« Pour calculer en colonnes, il faut commencer par les unités isolées. On calcule 7 moins 4, puis on écrit le résultat sous la barre d'égalité, dans la colonne des unités. On calcule ensuite 5 moins 2, et on écrit le résultat en dessous de la barre d'égalité, dans la colonne des dizaines. Le résultat de 57 moins 24 est 33. Cette technique fonctionne s'il n'y a pas besoin de faire de retenue. Vous savez calculer en ligne ou de tête dans ces cas-là. Nous allons construire la technique pour soustraire en colonnes lorsqu'il y a une retenue. »

Distribuer à chaque binôme une boite contenant 5 dizaines et 3 unités et présenter la situation-problème.

Exercice intercalaire : Que cherche-t-on ?

• 
  La quantité de cubes qui ont été retirés.
• 
  Le nombre total de cubes.
• 
  La quantité finale de cubes après retrait.

Indiquer qu'il s'agit du calcul « 53 – 17 » et l'écrire au tableau. Laisser le matériel multibase à disposition.

Recenser quelques réponses et stratégies d'élèves et expliciter des erreurs fréquentes. Par exemple, des élèves risquent de trouver 44 car ils auront calculé 7 – 3 pour les unités isolées.

S'appuyer sur l'explication d'un binôme pour calculer la différence avec l'outil « Ardoise maths », en échangeant 1 dizaine contre 10 unités. Garder une trace de cette technique sur une affiche.

Modeler la technique de calcul en colonnes : « Je vais vous montrer comment calculer cette soustraction en colonnes. »

Poser la soustraction en colonnes sur l'affiche. Insister sur l'alignement des chiffres et l'amorce par les unités isolées.

Pour chaque étape, calculer simultanément en colonnes et à l'aide de l'outil « Ardoise maths » à projeter.

« On commence par soustraire les chiffres représentant les unités isolées. 3 est plus petit que 7, on ne peut donc pas retirer 7 à 3. On sait qu'une dizaine est égale à 10 unités isolées. On va donc casser une dizaine du 53 pour avoir 10 unités isolées. On raye le chiffre représentant les dizaines, et on le remplace par le nouveau après retrait d'une dizaine. On avait 5 dizaines entières, on n'en a plus que 4. On n'a donc plus 3 unités isolées, mais 13. On peut soustraire 7. Cela donne 6 unités isolées. Maintenant, on va soustraire les dizaines entières entre elles. On retire 1 à 4, il reste 3. Le résultat de 53 – 17 est 36. »

Faire reformuler la technique aux élèves, puis indiquer que :
« La soustraction posée en colonnes permet de calculer une différence de deux nombres quand on ne sait pas le faire de tête ou en ligne. D'abord, on calcule l'écart entre les unités isolées, en cassant une dizaine si besoin, puis on calcule l'écart entre les dizaines. »

Conserver l'affiche pour la trace écrite, en la complétant avec l'explication précédente.

Projeter la page 67 du fichier et donner les consignes.

L'exercice 1 pourra être commencé de façon guidée.

• Synthèse mathématique
« Qu'avez-vous appris durant cette séance ? »
Les élèves réfléchissent seuls, puis à deux.
Réponse attendue en revenant à la cible : soustraire en colonnes avec retenue en cassant une dizaine.

• Bilan de l'apprentissage
Les élèves complètent oralement ou dans leur cahier d'apprentissage l'affirmation suivante : « Pour réussir à calculer une soustraction en colonnes avec une retenue, je dois… »

« Aujourd'hui, vous allez apprendre à poser et calculer des soustractions en colonnes. »

Poser et calculer des soustractions en colonnes.

Laisser l'ensemble de la classe réfléchir une minute à la signification des termes « soustraction » et « écart », puis interroger au moins deux élèves.

Cette phase permet aux élèves de comprendre la propriété de conservation des écarts.

Distribuer deux bandes à chaque groupe : une jaune de 27 cm et une bleue de 18 cm. Chaque carré jaune mesure 1 cm et représente une unité.

Écrire au tableau la longueur des bandes.

Exercice intercalaire : Que cherche-t-on ?

• 
  La taille de la bande bleue.
• 
  L'écart de taille entre les bandes jaune et bleue.
• 
  La taille de la bande jaune.

Procédures possibles :

• calcul en ligne de la soustraction ou de l'addition à trou de 18 pour aller à 27 ;
• comptage des unités en plus de la bande jaune ;
• utilisation de la règle graduée pour mesurer chaque partie.

À l'aide de l'outil « Ardoise maths », représenter les deux bandes au tableau et compléter comme suit :

Placer les bandes jaune et bleue au tableau, sans unités visibles. Les nombres 27 et 18 seront écrits à l'intérieur. Ensuite, ajouter deux bandes identiques aux bandes jaune et bleue. Ces bandes devront comporter « + 10 » à l'intérieur, comme suit :

« Quel est l'écart entre les deux bandes ? »

Faire émerger que l'on va calculer « 37 – 28 » cette fois-ci, car 10 a été ajouté à chaque terme.

L'objectif est que les élèves comprennent la conservation de l'écart de manière perceptive grâce aux représentations en barre, puis grâce au calcul, en trouvant que 9 sépare aussi bien 27 et 18 que 37 et 28.

« Si l'on ajoute la même quantité à deux nombres, l'écart entre ces deux nombres reste le même. Je vais vous montrer une technique de calcul en colonnes pour soustraire deux nombres quand le plus grand nombre n'a pas assez d'unités isolées pour qu'on puisse lui soustraire celles de l'autre nombre, comme avec 45 moins 16. Il faut faire une retenue. »

Poser la soustraction « 45 – 16 » en colonnes sur une affiche et expliquer la technique de calcul comme suit.

Pour chaque étape, calculer simultanément en colonnes et à l'aide de l'outil « Ardoise maths » à projeter.

« On commence par soustraire les chiffres représentant les unités isolées. On ne peut pas soustraire 6 unités à 5 unités car 6 est plus grand que 5. On va donc ajouter un groupe de 10 unités aux 5, ce qui nous donne 15 unités. On peut soustraire 6, cela donne 9 unités. On a donné 10 unités à 45, on doit compenser cet écart pour que la soustraction reste la même. 10 unités est égal à une dizaine, on peut donner aussi une dizaine à 16. On va ensuite soustraire les dizaines entières entre elles, ce qui fait qu'on soustrait 2 dizaines aux 4 de 45. On a 2 dizaines et 9 unités isolées, le résultat est 29. »

Faire reformuler la technique aux élèves, puis indiquer que :

« La soustraction posée en colonnes permet de calculer une différence de deux nombres quand on ne sait pas le faire de tête ou en ligne. D'abord, on calcule la différence des unités, en ajoutant dix unités si besoin, puis on calcule la différence entre les dizaines en pensant à ajouter aussi une dizaine pour compenser l'ajout des unités. »

Conserver l'affiche pour la trace écrite en la complétant avec l'explication précédente.

Projeter la page 68 du fichier et donner les consignes.

• Synthèse mathématique
« Qu'avez-vous appris durant cette séance ? »
Les élèves réfléchissent seuls, puis à deux.
Réponse attendue en revenant à la cible : ajouter une dizaine à deux nombres permet de calculer une soustraction en colonnes, car l'écart reste le même.

• Bilan de l'apprentissage
Les élèves complètent oralement ou dans leur cahier d'apprentissage l'affirmation suivante : « Pour réussir à calculer une soustraction en colonnes avec une retenue, je peux… »

Soustraire en colonnes
Projeter la carte rituel P3-6. Faire réaliser les soustractions en colonnes.
Corriger devant les élèves et faire expliciter les réponses.

Comparaison : recherche d'une valeur
Une fleuriste a reçu 85 roses. Elle en a commandé 25 de moins qu'hier. Combien en avait-elle commandé ?
Quelle démarche a été utilisée ?
Projeter le problème intercalaire et les démarches de résolution proposées. Échanger sur celle qui correspond au problème résolu et en expliciter les raisons.

Afin de faire rappeler ce qui a été travaillé en séance 1, laisser l'ensemble de la classe réfléchir une minute en s'appuyant sur l'affiche réalisée, puis solliciter au moins deux élèves pour l'expliciter.

« Aujourd'hui, vous allez vous entrainer à poser et à calculer des soustractions en colonnes. »

Poser et calculer des soustractions en colonnes.

Poser « 73 – 27 = » au tableau. Les élèves l'écrivent dans leur cahier de recherche. Réaliser le calcul de façon guidée.
Procéder de la même façon avec « 76 – 29 » et conclure avec le calcul « 435 – 268 ».

« En binômes, vous allez vous entrainer à calculer des soustractions en colonnes dans votre cahier de recherche. Un élève expliquera à l'autre ce qu'il doit écrire. L'élève qui a le crayon peut refuser d'écrire s'il n'est pas d'accord, mais il doit expliquer pourquoi. On inverse les rôles à chaque calcul. »
Poser les soustractions au tableau et laisser les élèves chercher : « 45 – 38 », « 91 – 63 », « 35 – 18 », « 150 – 14 ».
Circuler pour valider la procédure des élèves en réussite et aider ceux qui en ont besoin en reprenant les étapes de calcul.

Corriger collectivement en faisant verbaliser la procédure par les élèves, puis reprendre l'affichage construit en séance 1 et le commenter étape par étape pour ancrer la technique.

Projeter la page 69 du fichier et donner les consignes.

• Synthèse mathématique
« Qu'avez-vous appris durant cette séance ? »
Les élèves réfléchissent seuls puis à deux.
Réponse attendue en revenant à la cible : explication précise de la technique de calcul en colonnes.

• Bilan de l'apprentissage
Les élèves complètent oralement ou dans leur cahier d'apprentissage l'affirmation suivante : « Ce que j'ai appris me servira en dehors de l'école, car… »