41. Comparer des fractions de même dénominateur

• Comparer des fractions ayant le même dénominateur

Comparer des fractions permet de mieux comprendre ce nouvel ensemble de nombres en s'intéressant aux relations entre ces nombres, et permet ainsi de développer des stratégies de calcul..

Les fractions non unitaires et le vocabulaire lié aux fractions (séquence 28).

Avec des fractions de même dénominateur, les élèves pourraient réussir les exercices en restant sur une vision erronée des fractions, à savoir deux quantités l'une en dessous de l'autre. Par exemple, pour comparer \frac{3}{4} et \frac{1}{4}, ils pourraient penser : « Ils ont tous les deux un 4, et 3 est plus grand que 1, alors \frac{3}{4} est plus grand que \frac{1}{4}. » Ce raisonnement permet de comparer des fractions de même dénominateur, mais indique une faible compréhension du concept et se révèle faux dans le cas de fractions de dénominateurs différents. Leur demander de représenter les fractions à l'aide des bandes leur permettra une compréhension plus fine des fractions et de leur comparaison.

Le vocabulaire lié aux fractions

Projeter la carte rituel P4-2. Demander aux élèves d'écrire sur leur ardoise le numérateur ou le dénominateur de la quantité décrite.
Corriger devant les élèves et faire expliciter les réponses.

Multiplicatif : recherche du tout

Alonso prépare 14 sachets de 5 bonbons pour son anniversaire. Cherche le nombre de bonbons dont il a besoin.

Quelle représentation correspond à l'énoncé ?

Projeter le problème intercalaire et les représentations proposées. Échanger sur celle qui correspond à l'énoncé et en expliciter les raisons.

Afin de rappeler ce qu'est une fraction, faire réfléchir l'ensemble de la classe durant une minute, puis solliciter au moins deux élèves pour expliciter. Utiliser les affichages des familles des fractions pour favoriser ce rappel.

Réponse attendue : une quantité, une partie d'un tout partagé en parts égales, exemples de fractions.

« Aujourd'hui, nous allons apprendre à comparer des fractions de même dénominateur. »

Projeter l'image « Comparaison ».

Exercice intercalaire : Que cherche-t-on ?

• La quantité de gâteau mangé.
• La fraction de gâteau la plus grande.
• L'enfant qui a mangé la plus grande quantité de gâteau.

Attention, deux réponses sont correctes. Faire expliciter les réponses des élèves et valider.

Distribuer deux bandes de papier par binôme, qui représentent chacune un gâteau. Les feuilles restantes sont à disposition des élèves qui en auraient besoin. Verbaliser leur utilité : « Une de vos bandes représente le gâteau de Malo, une autre le gâteau de Sofia. Elles sont toutes identiques. Vous pourrez vous en servir pour montrer ce qu'ils ont mangé et expliquer qui en a mangé le plus. »

Préciser que la comparaison est possible car les gâteaux sont identiques, puis laisser chercher les élèves. Pour cette étape destinée à la manipulation de fractions, privilégier la constitution de binômes hétérogènes.

Demander à au moins deux élèves d'expliquer le résultat de leurs recherches.

Procédures possibles :

• comparaison des numérateurs seuls ;
• pliage et coloriage ou découpage de la quantité de gâteau mangé par chacun, puis comparaison ;
• appui sur la décomposition de \frac{3}{4} en \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} qui est plus grand que \frac{1}{4}.

Il est important d'accompagner les élèves dans leurs tentatives de verbalisation afin de dépasser la première procédure possible. On peut par exemple demander : « Comment sais-tu que c'est Sofia qui en a mangé le plus ? Peux-tu m'expliquer avec tes mots ce que chacun a mangé ? » Reformuler la troisième procédure attendue, qui est la procédure experte, en s'appuyant sur les coloriages de ce qu'a mangé chaque enfant, rappeler également que la comparaison est possible car les gâteaux sont identiques. Conclure que c'est Sofia qui a mangé la plus grande quantité de gâteau car elle a mangé 3 fois \frac{1}{4} alors que Malo a mangé un seul quart. Écrire à côté des coloriages réalisés « \frac{1}{4} < \frac{3}{4} ».

Garder une trace écrite de la recherche contenant des dessins des fractions et l'inégalité.

Écrire \frac{4}{6} au tableau et énoncer la consigne : « Sur votre cahier de recherche, vous allez décomposer chaque fraction de la même façon que \frac{3}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}. »

Projeter l'outil « Fractions » afin de corriger collectivement.

Faire formuler aux élèves que \frac{4}{6} est égal à 4 fois \frac{1}{6} en leur demandant par exemple : « Combien de fois voyez-vous \frac{1}{6} ? »

Procéder de la même façon pour \frac{3}{6} et demander aux élèves de comparer ces deux fractions.

Projeter la page 91 du fichier et donner les consignes.

• Synthèse mathématique

« Qu'avez-vous appris durant cette séance ? »

Les élèves réfléchissent seuls, puis à deux.

Réponse attendue en revenant à la cible : comparer des fractions de même dénominateur.

• Bilan de l'apprentissage

Les élèves complètent oralement ou dans leur cahier d'apprentissage l'affirmation suivante : « Durant cette séance, j'ai été motivé(e) par... »

Décomposer en somme de fractions unitaires

Projeter la carte rituel P4-3. Faire décomposer les fractions en somme de fractions unitaires.

Corriger devant les élèves et faire expliciter les réponses.

Variable didactique

Les élèves les plus rapides peuvent représenter les fractions sous la forme d'un rectangle ou d'un disque. On s'appuiera dessus lors de la correction.

Multiplicatif : recherche du tout
La classe de Jordan a planté 9 lignes de 6 tulipes dans la cour. Combien de tulipes a-t-elle plantées ?
À quelle question a-t-on répondu ?

Projeter le problème intercalaire et les questions proposées. Échanger sur celle qui correspond au problème résolu et en expliciter les raisons.

Afin de rappeler ce qui a été vu en séance précédente, faire réfléchir l'ensemble de la classe durant une minute, puis solliciter au moins deux élèves pour expliciter. Annoncer ensuite l'objectif. « Aujourd'hui, nous allons continuer à apprendre à comparer des fractions qui ont le même dénominateur. »

Comparer des fractions de même dénominateur.

Projeter l'image « La feuille de Sofia ».

Laisser un petit temps de recherche seul, puis par deux, avant de leur proposer de vérifier leur proposition avec des bandes : « Pour vérifier votre travail, vous allez utiliser ces bandes unités. Comment peuvent-elles vous aider à vérifier ? »

Réponse attendue : colorier les bandes unités, puis les placer les unes à côté des autres pour les comparer.

Préciser que la comparaison est possible car les bandes sont toutes de la même longueur, donc c'est bien le même tout, comme dans le problème.

Recenser les réponses des binômes et corriger avec l'outil « Fraction ». Colorier les deux bandes pour représenter respectivement \frac{5}{8} et \frac{7}{8}, puis comparer la longueur des parties colorées pour écrire : \frac{5}{8} < \frac{7}{8}.

« On veut montrer que la feuille de Sofia est la plus recouverte de peinture. Il faut donc expliquer pourquoi \frac{7}{8} est plus grand que \frac{5}{8}. Comme le tout est découpé avec le même nombre de parts, plus on prend de parts, plus le nombre est grand. Quand les dénominateurs sont identiques, plus le numérateur est grand, plus la fraction est grande. Le numérateur de \frac{7}{8} est plus grand que celui de \frac{5}{8}, donc \frac{7}{8} est plus grand que \frac{5}{8}. »

Justifier également à l'aide des fractions unitaires : « 5 fois un huitième est plus petit que 7 fois un huitième. »

Demander : « Comment comparer des fractions qui ont le même dénominateur lorsque l'on n'a pas de bande ? »

Réponse attendue : quand deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le numérateur le plus grand.

Cette phase permettra de réaliser une affiche de ce type :

Pour la trace écrite individuelle, ajouter la règle de comparaison co-construite avec les élèves.

Projeter la page 92 du fichier et donner les consignes.

• Synthèse mathématique
« Qu'avez-vous appris durant cette séance ? »
Les élèves réfléchissent seuls, puis à deux.
Réponse attendue en revenant à la cible : comparer des fractions de même dénominateur.

• Bilan de l'apprentissage
Les élèves complètent oralement ou dans leur cahier d'apprentissage l'affirmation suivante : « Aujourd'hui, j'ai compris que… »