Problèmes additifs à deux étapes : recherche du tout
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- Trouver une quantité finale après deux opérations successives sur une quantité de départ
- Résoudre des problèmes additifs à deux étapes
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L'objectif est que les élèves appréhendent les différentes étapes de résolution de ce type de problème et le résolvent de façon méthodique, les préparant à des énoncés plus complexes.
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Point didactique
Rappel des quatre étapes de résolution d'un problème : comprendre, modéliser, calculer, répondre.
(programmes du BO du 31 octobre 2024)
Les problèmes à étapes (ou complexes) peuvent être plus difficiles à résoudre pour les élèves que les problèmes simples n'en comportant qu'une seule. La compréhension de l'énoncé et la modélisation qui en découle sont plus ardues. Il est ainsi important de laisser aux élèves la possibilité de s'appuyer sur différentes représentations de la situation (objets tangibles, dessins, schémas) selon leur degré de maitrise. Le recours à une modélisation spécifique, notamment de type « barre » déjà utilisée pour les problèmes à une étape, est un levier pour favoriser la compréhension et la résolution de ces problèmes, tel que mentionné dans le Guide ministériel « Pour enseigner la numération, le calcul et la résolution de problèmes au CP » : « La modélisation installée pour les schémas partie-tout donne une stratégie d'enseignement pour apprendre à résoudre des problèmes à deux étapes en les ramenant explicitement et visuellement à des problèmes à une étape. »
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SÉANCE 1 35 min
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Objectifs de la séance
- Comprendre et modéliser la recherche de la valeur d'un tout après deux ajouts successifs sur une quantité de départ
- Installer une situation-problème de référence
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Matériel de la séance
- Une grande affiche
- Fichier élève p. 160
- Ressource numérique à projeter
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1 Lancement de la séance
Collectif 4 min
« Aujourd'hui, nous allons apprendre à résoudre des problèmes mathématiques dans lesquels nous cherchons une quantité finale après avoir effectué deux opérations sur une quantité de départ. »
Rechercher la valeur d'un tout d'un problème à deux étapes.
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2 Découverte de la situation-problème de référence
Collectif 5 min
Projeter l'animation « Problèmes additifs à deux étapes : recherche du tout ».
Amener les élèves à reformuler le problème : « Pour que tout le monde comprenne bien, vous allez raconter à un autre élève l'histoire de ce problème. »
Permettre aux élèves d'échanger à deux, puis interroger quelques binômes.
Exercice intercalaire : Que cherche-t-on ?
-
La quantité de cubes dans la tour avant l'ajout des autres cubes.
- La quantité totale finale de cubes dans la tour.
- Le nombre de cubes que le second élève ajoute.
Valider en mentionnant la réponse correcte.
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3 Phase de recherche
Individuel et en binômes 10 min
Projeter la page 160 du fichier et donner les consignes.
« Vous allez chercher seuls la réponse à la question. Vous pouvez prendre du matériel ou faire des schémas pour vous aider si vous le souhaitez. Lorsque vous pensez avoir trouvé,
vous écrirez la réponse dans votre fichier, puis vous vous mettrez d'accord avec votre voisin(e) sur la réponse. Vous pourrez modifier ce que vous aviez écrit si vous le voulez. »
Élèves éprouvant des difficultés
- Proposer de choisir, parmi trois représentations, celle qui correspond à la situation.
- Proposer du matériel tangible plus ou moins figuratif (reprendre les cubes de deux couleurs) et constituer les collections en jeu avec eux.
- Passer par une représentation dessinée ou schématisée pour constituer les collections en jeu avec eux.
- Les accompagner en verbalisant et en représentant successivement et progressivement les différentes étapes : « On réalise un schéma par étape. Tout d'abord, on dessine un premier bloc horizontal qu'on coupe en deux. Dans la première partie à gauche, on note les 85 cubes de départ. Dans la seconde partie à droite, on note les 19 cubes ajoutés par le premier élève. 85 + 19 = 104. À côté ou en dessous, on dessine un deuxième bloc horizontal qu'on partage en deux également. Dans la première partie à gauche, on note les 104 cubes qu'il y a à présent dans la tour. Dans la seconde partie à droite, on note les 24 cubes ajoutés par le second élève. 104 + 24 = 128. À la fin, la tour contient 128 cubes au total. »
Élèves maitrisant la notion
Certains élèves n'auront pas besoin de passer par le dessin ; il n'est pas utile de le leur imposer. Si des élèves ont terminé avant la fin du temps imparti, ils peuvent essayer de résoudre un problème de recherche d'un tout tiré de la banque de problèmes accessible sur l'espace numérique ou sur .
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4 Mise en commun
Collectif 5 min
Recueillir quelques productions d'élèves et les reformuler si besoin.
L'objectif est d'observer différentes représentations proposées par les élèves et de leur demander d'expliquer leur méthodologie de résolution. Pour chaque proposition, demander au groupe-classe : « Est-ce que cette réponse est possible ? » afin de les faire réfléchir à la vraisemblance du résultat proposé.
Par exemple, si un élève propose uniquement « 104 » en ayant calculé 85 + 19, faire remarquer qu'une étape a été oubliée car il faut encore ajouter 24.
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5 Institutionnalisation
Collectif 5 min
Accrocher au tableau une affiche sur laquelle est écrit la situation-problème de référence, puis indiquer : « Nous allons faire une affiche pour nous souvenir de ce problème. Nous avions 85 cubes dans la tour au départ. »
Dessiner de façon schématique un bloc horizontal représentant la quantité de cubes au départ et écrire « 85 » à l'intérieur.
« D'abord, c'est le premier élève qui a ajouté 19 cubes. »
À la droite du premier bloc, dessiner un second bloc horizontal et écrire « 19 » à l'intérieur.
« Nous cherchons combien il y a de cubes après l'ajout des 19 cubes. »
Dessiner un bloc au-dessus et écrire « ? cubes ».
Faire émerger l'écriture d'une addition : 85 + 19 = 104.
« Maintenant, nous avons 104 cubes. Mais il nous reste à ajouter les 24 cubes ajoutés par le second élève. »
Dessiner le même schéma que précédemment avec les nouvelles données.
Faire émerger l'écriture d'une addition : 104 + 24 = 128.
« À la fin, la tour contient donc 128 cubes au total. »
Pour ces problèmes additifs à étapes, la modélisation de référence peut prendre la forme des deux étapes distinctement représentées comme suit :
La modélisation de référence peut aussi prendre la forme d'une seule entité dans laquelle les étapes sont comprises comme suit :
L'appropriation de ces modèles dépend du niveau de maitrise des élèves. Il est conseillé, au départ, de faire apparaitre clairement les étapes.
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6 Bilan
En binômes individuel 6 min
• Synthèse mathématique
« Qu'avez-vous appris durant cette séance ? »
Les élèves réfléchissent seuls, puis à deux.
Réponse attendue : trouver la quantité totale finale après avoir effectué deux opérations sur une quantité de départ.
Projeter la page 160 du fichier et donner les consignes du problème intercalaire.
• Bilan de l'apprentissage
Les élèves complètent oralement ou dans leur cahier d'apprentissage l'affirmation suivante : « Pour réussir à résoudre ce type de problème, je dois… »
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SÉANCE 2 35 min
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Objectifs de la séance
- Réutiliser la situation de référence vue en séance 1 pour résoudre un problème du même type
- Consolider les procédures de résolution
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Matériel de la séance
- Fichier élève p. 161
- Ressource numérique à projeter
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1 Lancement de la séance
Collectif 5 min
Projeter l'image « Modélisation problème additif deux étapes : recherche du tout ». Il est attendu :
- qu'ils se remémorent la situation-problème de référence ;
- qu'ils expliquent la logique du modèle en barres présenté.
Laisser la modélisation affichée durant toute la séance.
« Aujourd'hui, vous allez résoudre le même type de problème. »
Rechercher la valeur d'un tout d'un problème à deux étapes.
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2 Découverte et résolution des variations
Collectif et individuel 20 min
Les élèves résolvent le problème dans le fichier.
352 voitures sont garées dans un parking. 72 s'y ajoutent le matin et 47 l'après-midi. Cherche combien il y a de voitures sur le parking à la fin de la journée.
Exercice intercalaire : Que cherche-t-on ?
-
Le nombre de voitures à midi.
- Le nombre total de voitures en fin de journée.
- Le nombre de voitures au départ.
Procéder à la résolution du problème en s'appuyant sur la même modélisation en barres que pour la situation-problème de référence, en explicitant précisément la démarche pour aboutir à ce schéma.
Un groupe de 276 touristes part en visite en plusieurs équipes. 101 partent en premier et 43 ensuite. Combien de touristes doivent encore partir ?
Exercice intercalaire : Que cherche-t-on ?
-
Le nombre de voyageurs au départ.
- Le nombre de voyageurs partis.
- Le nombre de voyageurs après les deux départs.
On peut alors proposer la modélisation suivante. La difficulté est ici qu'il ne s'agit pas de calculer une quantité suite à deux ajouts successifs, mais suite à deux retraits, ou bien d'un ajout et d'un retrait, ce qui demande une interprétation potentiellement plus complexe du schéma en barres.
Procéder à la résolution du problème en s'appuyant sur la même modélisation que pour la situation-problème de référence, en explicitant la démarche pour aboutir à ces schémas.
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3 Focus sur la différenciation
Individuel 5 min
Élèves éprouvant des difficultés
Les accompagner en verbalisant et en représentant successivement et progressivement les différentes étapes (en abaissant les quantités si nécessaire).
Variation n° 1 : « Je représente le nombre de voitures garées au départ. Puis, je représente celles qui s'ajoutent le matin, et celles qui s'ajoutent l'après-midi. J'additionne ces trois nombres. »
Variation n° 2 : « Je représente le nombre de voyageurs qui doivent partir. Puis je représente le nombre de voyageurs partis en premier, et ceux qui partent ensuite. Je peux ajouter les deux nombres de voyageurs partis, et retirer ce nombre à la quantité de départ. »
Élèves maitrisant la notion
Certains élèves n'auront pas besoin de passer par la schématisation ; il n'est pas utile de le leur imposer. Si des élèves ont terminé avant la fin du temps imparti, ils peuvent essayer de résoudre un problème de recherche d'un tout tiré de la banque de problèmes accessible sur l'espace numérique ou sur .
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4 Bilan
En binômes et individuel 5 min
• Synthèse mathématique
« Qu'avez-vous appris durant cette séance ? »
Les élèves réfléchissent seuls, puis à deux.
Réponse attendue en revenant à la cible : s'entrainer à trouver la quantité totale finale après avoir effectué deux opérations sur une quantité de départ.
• Bilan de l'apprentissage
Les élèves complètent oralement ou dans leur cahier d'apprentissage l'affirmation suivante : « Pour réussir à résoudre un problème à deux étapes, je dois... »
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