54. Additionner et soustraire des fractions de même dénominateur

Avec des fractions ayant toutes le même dénominateur, les élèves peuvent simplement transférer leurs savoirs sur les sommes et différences de nombres entiers. Il est donc important de faire appel à des représentations de fractions et de faire expliciter les stratégies des élèves pour s'assurer que leurs calculs englobent l'ensemble du nombre qu'est la fraction et qu'ils sachent pourquoi on peut simplement additionner/soustraire les numérateurs. On appuiera sur le fait que l'addition et la soustraction sont deux opérations réciproques.

Les tables d'addition

Projeter et distribuer la carte rituel P5-1. Faire réaliser le plus de calculs possible.
Corriger devant les élèves et faire expliciter les réponses.

Problème additif à deux étapes : recherche du tout

36 personnes sont dans un bus. 13 passagers montent, puis 20 passagers descendent. Combien de personnes y a-t-il dans le bus maintenant ?

Quelle modélisation correspond à l'énoncé ?

Projeter le problème intercalaire et les modélisations proposées. Échanger sur celle qui correspond à l'énoncé et en expliciter les raisons.

Afin de rappeler ce qu'est une fraction, faire réfléchir l'ensemble de la classe durant une minute, puis solliciter au moins deux élèves pour l'expliciter.
Réponse attendue : c'est une partie d'un tout partagé en parts égales.
« Aujourd'hui, nous allons apprendre à additionner des fractions de même dénominateur. »

Additionner des fractions de même dénominateur.

Projeter l'outil « Fractions ». Partager une bande en 6.
« La bande blanche est l'unité. Pourquoi est-il marqué \frac{1}{6} sur chaque part ? »
Réponse attendue : la bande a été partagée en 6 parts égales donc chaque part représente \frac{1}{6} de la bande blanche.
Préciser qu'il y a six sixièmes dans la bande blanche.
« Quelle fraction est représentée par deux parts vertes ? Par trois parts vertes ? »
Réponse attendue : deux sixièmes et trois sixièmes.

Laisser l'outil projeté au tableau pour la situation-problème.

Si on colorie, sur la bande blanche unité, \frac{2}{6} et encore \frac{3}{6}, quelle fraction de la bande sera coloriée ?

Exercice intercalaire : Que cherche-t-on ?

• 
  Une fraction de la bande blanche.
• 
  La bande blanche plus \frac{2}{6} plus \frac{3}{6}.
• 
  La fraction de la bande blanche obtenue en recouvrant \frac{2}{6} et encore \frac{3}{6} de cette unité.

Valider les réponses correctes puis laisser les élèves chercher dans leur cahier de recherche et à l'aide de leur matériel détachable si besoin.

Laisser les élèves montrer leur recherche puis valider avec l'outil « Fractions ».

Modeler en réalisant la manipulation devant les élèves :

« Pour additionner \frac{2}{6} et \frac{3}{6}, on a partagé l'unité en 6 parts, puis on a additionné 2 parts et encore 3 parts, ce qui est donc égal à 5 parts. Comme ces parts sont des sixièmes, on a 5 sixièmes. \frac{2}{6} plus \frac{3}{6} est égal à \frac{5}{6}. »

Sur l'outil « Fractions », partager une bande en 8 et faire justifier que chaque part est égale à \frac{1}{8}.

« Si on colorie la bande blanche avec \frac{4}{8} et encore \frac{2}{8}, quelle fraction de cette bande sera coloriée ? »

Laisser les élèves chercher dans leur cahier de recherche et à l'aide de leur matériel détachable.

Un binôme montre et explique sa procédure. La compléter et la préciser comme durant le modelage.

Écrire l'égalité au tableau : \frac{4}{8} + \frac{2}{8} = \frac{6}{8}

Écrire ensuite au tableau le calcul suivant : \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \dots

Demander aux binômes de réfléchir ensemble pour trouver la réponse.

Recenser les réponses et les stratégies puis reformuler :

« \frac{1}{2}, c'est une part de l'unité coupée en 2 et il nous faut deux parts pour faire 1. Si on colorie \frac{1}{2} et encore \frac{1}{2}, on voit que l'unité est entièrement recouverte donc \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1. »

Procéder de la même façon avec le calcul \frac{1}{4} + \frac{3}{4}.

Demander aux élèves de trouver la règle à appliquer pour additionner des fractions de même dénominateur. Expliciter : « Pour additionner des fractions de même dénominateur, il faut additionner les numérateurs entre eux et garder le même dénominateur. Lorsqu'on additionne deux fractions, si le numérateur et le dénominateur sont identiques, alors le résultat est égal à 1, c'est-à-dire l'unité entière comme pour \frac{4}{4} = 1. »

La trace écrite à créer sur une affiche comportera cette explication ainsi qu'un exemple d'addition de fractions de même dénominateur choisi par les élèves.

Écrire quatre additions de fractions au tableau. Les élèves calculent dans leur cahier de recherche et à l'aide de leur matériel détachable si besoin.

Exercice intercalaire : Calcule : « \frac{2}{6} + \frac{4}{6} = \dots »

• 
  \frac{6}{12}
  
  
• 
  \frac{6}{6}
  
  
• 
  1

Valider en s'appuyant sur l'outil « Fractions » :

\frac{2}{6} + \frac{4}{6} = \frac{6}{6} = 1

• Synthèse mathématique
« Qu'avez-vous appris durant cette séance ? »
Les élèves réfléchissent seuls, puis à deux.
Réponse attendue en revenant à la cible : additionner des fractions de même dénominateur.

• Bilan de l'apprentissage
Les élèves complètent oralement ou dans leur cahier d'apprentissage l'affirmation suivante : « Je me suis entrainé(e) à... »

Le double de 100, 150, 200, 250, 300 et 500

Projeter la carte rituel P5-2. Faire calculer les égalités en trois minutes sur le cahier de recherche.
Corriger devant les élèves et faire expliciter les réponses.

Variables didactiques

• Faire varier le temps disponible.
• Faire varier le nombre d'égalités.

Problème additif à deux étapes : recherche du tout

La famille Martin se rend en Belgique en voiture. Elle parcourt 236 km le matin, 367 km l'après-midi et 89 km le soir. Combien de kilomètres parcourt-elle au total ?

À quelle question a-t-on répondu ?

Projeter le problème intercalaire et les questions proposées. Échanger sur celle qui correspond au problème résolu et en expliciter les raisons.

Afin de rappeler ce qui a été vu lors de la séance précédente, faire réfléchir l'ensemble de la classe durant une minute, puis solliciter au moins deux élèves pour l'expliciter, puis annoncer l'objectif de la séance : « Aujourd'hui, nous allons apprendre à soustraire des fractions de même dénominateur. »

Additionner et soustraire des fractions de même dénominateur.

Projeter l'outil « Fractions ». Partager une bande en 8, puis préciser que l'unité est la bande blanche partagée en 8 huitièmes.

Exercice intercalaire : Que cherche-t-on ?

• 
  Une fraction de la bande blanche.
• 
  La fraction d'unité obtenue en coloriant \frac{7}{8} et en retirant \frac{2}{8} de cette unité.
• 
  La fraction d'unité obtenue en coloriant \frac{7}{8} et encore \frac{2}{8} de cette unité.

Valider les réponses correctes puis laisser les élèves chercher sur leur cahier de recherche et à l'aide de leur matériel détachable si besoin.

Laisser les élèves montrer leur recherche puis valider avec l'outil « Fractions », en réalisant la manipulation devant les élèves :
« Pour calculer \frac{7}{8} moins \frac{2}{8}, on prend 7 huitièmes et on enlève 2 huitièmes. Il reste 5 huitièmes. \frac{7}{8} moins \frac{2}{8} est égal à \frac{5}{8}. »

Montrer que la bande blanche correspond à 4 bandes rouges pour justifier qu'une bande rouge représente \frac{1}{4}.

« Si on colorie \frac{3}{4} de l'unité et qu'on enlève \frac{2}{4} ensuite, quelle fraction va-t-on obtenir ? »

Lors de la correction, un binôme montre et explique sa procédure. Modeler de la même façon que lors de la phase de modelage.

Demander aux élèves de trouver la règle à appliquer pour soustraire des fractions de même dénominateur. Expliciter : « Pour soustraire des fractions de même dénominateur, il faut soustraire les numérateurs entre eux et garder le même dénominateur. »

La trace écrite de la séance 1 sera complétée avec ces explications ainsi qu'un exemple de soustraction de fractions.

Distribuer à chaque binôme un carton de loto et des cubes.

« Nous allons jouer au loto. Je vais annoncer des calculs. Si votre carte contient le résultat de ce calcul, vous posez un cube sur la carte et vous levez la main. Le premier binôme qui a toutes ses cases recouvertes a gagné. »

Interroger un binôme pour vérifier sa réponse à chaque fois. Expliciter à l'aide de l'outil « Fractions ».

Projeter la page 116 du fichier et donner les consignes.

• Synthèse mathématique
« Qu'avez-vous appris durant cette séance ? »
Les élèves réfléchissent seuls, puis à deux.
Réponse attendue en revenant à la cible : soustraire des fractions de même dénominateur.

• Bilan de l'apprentissage
Les élèves complètent oralement ou dans leur cahier d'apprentissage l'affirmation suivante : « Durant cette séance, j'ai été motivé(e) par... »

Additions et soustractions de fractions

Projeter la carte rituel P5-3. Demander aux élèves de calculer dans leur cahier de recherche.
Corriger devant les élèves et faire expliciter les réponses.

Problème additif à deux étapes : recherche du tout

Ce matin, Souleymane avait 139 billes. Il en a perdu 5 ce matin, puis 10 à la cantine. Ensuite, il en a gagné 7 l'après-midi. Combien de billes Souleymane a-t-il ce soir ?

À quelle question a-t-on répondu ?

Projeter le problème intercalaire et les questions proposées. Échanger sur celle qui correspond au problème résolu et en expliciter les raisons.

Afin de rappeler ce qui a été vu lors des séances précédentes, faire réfléchir l'ensemble de la classe durant une minute, puis solliciter au moins deux élèves pour l'expliciter.

« Aujourd'hui, nous allons résoudre des problèmes avec des fractions. »

Résoudre des problèmes avec des fractions.

Exercice intercalaire : Que cherche-t-on ?

• 
  La fraction de la bande coloriée en rouge.
• 
  La fraction de la bande coloriée en vert.
• 
  La fraction de la bande rouge plus la bande verte.

Valider en mentionnant la réponse correcte.
Laisser les élèves chercher en binômes sur leur cahier de recherche et à l'aide du matériel fraction si besoin.

Recenser les réponses et les procédures utilisées.
Les valider ou non en demandant aux élèves d'argumenter leur réponse.

Projeter l'outil « Fractions », puis modeler : « Méli a colorié entièrement une bande : une partie en vert et une partie en rouge. Comme on nous donne le nombre \frac{2}{3} dans le problème, nous allons partager la bande en trois parts égales, donc en trois tiers. Méli a colorié 2 tiers en vert, donc il y a un tiers en rouge, car 2 tiers + 1 tiers = 3 tiers. Ou alors, si on enlève les deux tiers verts, il reste un tiers en rouge car 3 tiers - 2 tiers = 1 tiers. »

Écrire les deux égalités et la phrase réponse au tableau.

Exercice intercalaire : Que cherche-t-on ?

• 
  La fraction d'élèves en tout.
• 
  Le nombre d'élèves qui mangent chez eux.
• 
  La fraction d'élèves qui mangent chez eux.

Valider en mentionnant la réponse correcte.
Laisser les élèves chercher en binômes sur leur cahier de recherche et à l'aide du matériel détachable si besoin.

Un élève montre et explique sa procédure. La compléter et la préciser comme durant le modelage.
Garder une trace de la résolution du problème sur une affiche.

« Dans ces deux problèmes, vous avez calculé la partie manquante du tout. Comment avez-vous fait ? »

Recenser les réponses et les procédures utilisées puis expliciter : « On écrit son tout sous la forme d'une fraction, par exemple trois tiers ou huit huitièmes. Ensuite, on cherche le complément de la partie connue pour aller au tout, par exemple deux huitièmes plus quelque chose est égal à huit huitièmes. Ou alors, on soustrait la partie connue à son tout, donc huit huitièmes moins deux huitièmes. »

Compléter la trace écrite avec ces explications.

Projeter la page 117 du fichier et donner les consignes.
Dans l'exercice 2, inciter les élèves qui en ont besoin à colorier la fraction de gauche pour visualiser « la partie manquante du tout ».

• Synthèse mathématique
« Qu'avez-vous appris durant cette séance ? »
Les élèves réfléchissent seuls, puis à deux.
Réponse attendue en revenant à la cible : résoudre des problèmes avec des fractions.

• Bilan de l'apprentissage
Les élèves complètent oralement ou dans leur cahier d'apprentissage l'affirmation suivante : « Pour réussir, je dois... »