Synthèse

Dans le triangle $\text{ABC}$ suivant, la droite $\text{(AH)}$ est la hauteur issue de $\text{A}$.

1. Calculer la longueur $\text{AC}$ et en donner une valeur approchée au millimètre près.

2. Calculer la longueur $\text{HB}$.

3. Le triangle $\text{ABC}$ est-il rectangle ?

Le triangle $\text{ABC}$ représente une charpente et $\text{[AH]}$ est une poutre verticale (donc $\text{(AH)}\perp \text{(CB)}$).

On a $\text{AH = 5 m,}$ $\text{AB = 8 m}$ et $\widehat{\text{ACH}}=48°.$ Tous les résultats seront arrondis au dixième près.

1. Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{HAB}}.$

2. Calculer la longueur $\text{HB}.$

3. a. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{HBA}}$ puis en déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ et finalement celle de l'angle $\widehat{\text{HAC}}.$

b. Calculer les longueurs $\text{AC}$ puis $\text{CH.}$

4. Calculer l'aire du triangle $\text{ABC.}$

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée.

Affirmation 1 : Un menuisier prend les mesures suivantes dans le coin d'un mur à $\text{1 meˋtre}$ au-dessus du sol pour construire une étagère $\text{ABC}$ : $\text{AB = 65 cm,}$ $\text{AC = 72 cm}$ et $\text{BC = 97 cm.}$ Il réfléchit quelques minutes et assure que l'étagère possède un angle droit.

Affirmation 2 : Les normes de construction imposent que la pente d'un toit représentée ici par l'angle $\widehat{\text{CAH}}$ doit avoir une mesure comprise entre $30°$ et $35°.$ Une coupe du toit est représentée sur la figure suivante : $\text{AC = 6 m}$ et $\text{AH = 5 m.}$ $\text{H}$ est le milieu de $\text{[AB].}$ Le charpentier affirme que sa construction respecte la norme.

L'escargot de Pythagore est une figure constituée de triangles rectangles placés les uns à la suite des autres de la façon suivante :

1. Calculer la valeur exacte de la longueur $\text{AH.}$

2. Au bout d'un certain temps, le triangle $\text{ABC}$ finit pas être recouvert par un nouveau triangle. Quelles sont les dimensions du premier triangle à recouvrir partiellement le triangle $\text{ABC}$ ?

1. a. Montrer que $\text{(AH)}$ est la médiatrice de $\text{[BC].}$

b. En déduire que $\text{AHB}$ est un triangle rectangle.

2. a. Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{HBA}}.$

b. Calculer le cosinus de l'angle $\widehat{\text{HBA}}.$

c. En déduire la valeur exacte de $\text{cos(60°).}$

3. On se place dans le triangle $\text{AHB.}$ a. Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{HAB}}.$

b. Calculer le cosinus de l'angle $\widehat{\text{HAB}}.$

c. En déduire la valeur exacte de $\text{cos(30°).}$