Chapitre 11
Cours
Théorème de Thalès
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1Le théorème de Thalès
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Théorème de Thalès
Si \mathrm{ABC} est un triangle tel que \mathrm{M} appartient au segment [\mathrm{AB}], \mathrm{N} appartient au segment [\mathrm{AC}] et que les droites (\mathrm{MN}) et (\mathrm{BC}) sont parallèles, alors on a les égalités suivantes.
\frac{\mathrm{\color{#2190A0}A\color{#5EA85C}M}}{\mathrm{\color{#2190A0}A\color{#5EA85C}B}}=\frac{\mathrm{\color{#2190A0}A\color{#C62A58}N}}{\mathrm{\color{#2190A0}A\color{#C62A58}C}}=\frac{\mathrm{\color{#5EA85C}M\color{#C62A58}N}}{\mathrm{\color{#5EA85C}B\color{#C62A58}C}}
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1. On peut aussi écrire {\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AM}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AN}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{MN}} }.
2. Les numérateurs sont les longueurs des côtés d'un triangle et les dénominateurs sont celles de l'autre triangle.
3. Les longueurs des côtés du triangle \mathrm{ABC} et celles des côtés du triangle \mathrm{AMN} sont proportionnelles.
4. Le triangle \mathrm{ABC} est un agrandissement du triangle \mathrm{AMN} et le triangle \mathrm{AMN} est une réduction du triangle \mathrm{ABC}.
5. Dans cette configuration, on peut se rappeler que \mathrm{AMN} et \mathrm{ABC} sont emboîtés.
2. Les numérateurs sont les longueurs des côtés d'un triangle et les dénominateurs sont celles de l'autre triangle.
3. Les longueurs des côtés du triangle \mathrm{ABC} et celles des côtés du triangle \mathrm{AMN} sont proportionnelles.
4. Le triangle \mathrm{ABC} est un agrandissement du triangle \mathrm{AMN} et le triangle \mathrm{AMN} est une réduction du triangle \mathrm{ABC}.
5. Dans cette configuration, on peut se rappeler que \mathrm{AMN} et \mathrm{ABC} sont emboîtés.
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Conséquence
Si deux des trois quotients ne sont pas égaux, alors les droites (\mathrm{MN}) et (\mathrm{BC}) ne sont pas parallèles. Pour le justifier, on peut faire un raisonnement par l'absurde. Cette propriété s'appelle également la contraposée du théorème de Thalès.
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Exemple
\mathrm{ABC} est un triangle tel que \mathrm{M} appartient à [\mathrm{AB}] et \mathrm{N} appartient à [\mathrm{AC}]. De plus, on sait que \mathrm{AM}=3 \mathrm{~cm}, \mathrm{AB}=10 \mathrm{~cm}, \mathrm{AN}=4 \mathrm{~cm} et \mathrm{AC}=13 \mathrm{~cm}.
D'une part {\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{3}{10}} et d'autre part {\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}}=\frac{4}{13}}. On obtient {\frac{3}{10}=\frac{39}{130}} et {\frac{4}{13}=\frac{40}{130}} donc {\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}} \neq \frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}}}.
On en déduit que les droites (\mathrm{MN}) et (\mathrm{BC}) ne sont pas parallèles.
D'une part {\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{3}{10}} et d'autre part {\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}}=\frac{4}{13}}. On obtient {\frac{3}{10}=\frac{39}{130}} et {\frac{4}{13}=\frac{40}{130}} donc {\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}} \neq \frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}}}.
On en déduit que les droites (\mathrm{MN}) et (\mathrm{BC}) ne sont pas parallèles.
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2La réciproque du théorème de Thalès
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Théorème
Si \mathrm{ABC} est un triangle tel que \mathrm{M} appartient au segment [\mathrm{AB}], \mathrm{N}
appartient au segment [\mathrm{AC}] et que {\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}}}, alors les droites (\mathrm{MN}) et (\mathrm{BC}) sont parallèles.
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Exemple
Dans un triangle \mathrm{ABC}, \mathrm{AB}=9 et \mathrm{AC}=3. On place un point {\mathrm{M} \in[\mathrm{AB}]} tel que \mathrm{AM}=3 et un point \mathrm{N}\in[\mathrm{AC}] tel que \mathrm{AN}=1. Alors \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3} et \frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}}=\frac{1}{3} donc {\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}}} donc (\mathrm{MN}) // (\mathrm{BC}).
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