Puissances

Soit a un nombre relatif et n un entier supérieur ou égal à 2.
Le produit \underbrace{a\times a \times \ldots\times a}_{\text n \text{ fois }} est la puissance n-ième de a. On le note a^{n} et on lit « a exposant n ».

Par convention, si a\neq 0, a^{0}=1 et a^{1}=a.
a^{2} se lit « a au carré » et a^{3} se lit « a au cube ».

1. 5^{4}=5\times5\times5\times5=625

2. 2^{5}=2\times2\times2\times2~\times 2=32

3. -4^{2}=-4\times4=-16

• Attention, les parenthèses sont très importantes : (-4)^{2}=(-4) \times(-4)=16 donc (-4)^{2} \neq-4^{2}.
• D'après la règle des signes, on peut déterminer le signe de a^{n} où a est un nombre non nul et n est un entier positif.

1. 7^{4}>0 puisque 4 est pair.

2. (-4)^{2}>0 puisque 2 est pair.

3. (-2)^{5} \text{\textless} \text{0} puisque \text{-2} \text{\textless} \text{0} et \text{5} est impair.

Lors d'un enchaînement de plusieurs opérations, les exposants sont prioritaires sur les multiplications et les divisions.

5\times2^{3}=5\times8=40~\text{ alors que }(5 \times 2)^{3}=10^{3}=1~000

Un carré parfait est un nombre qui est le carré d'un entier. Les carrés parfaits à connaître sont : 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 et 144.

Soit {a} un nombre positif. La racine carrée de a est le nombre positif, noté \sqrt{a}, dont le carré est égal à a. On a donc (\sqrt{a})^{2}=a. Le symbole \sqrt{\,\,\,} s'appelle le radical.

1. (-23)^{2}=529 \text { et } 23^{2}=529. Puisque 23>0 , alors \sqrt{529}=23.

2. \sqrt{25}=5 et \sqrt{81}=9: on retrouve ces nombres grâce à la liste des carrés parfaits.