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Algorithmique et programmation

Dossier Scratch

Partie 1 : Nombres et calculs

Ch. 1
Nombres relatifs

Ch. 2
Addition et soustraction de nombres rationnels

Ch. 3
Multiplication et division de nombres rationnels

Ch. 4
Puissances

Ch. 5
Calcul littéral

Ch. 6
Résolution d'équations

Partie 2 : Organisation et gestion de données, fonctions

Ch. 7
Statistiques

Ch. 8
Probabilités

Ch. 9
Notion de fonctions

Ch. 10
Proportionnalité

Partie 3 : Espace et géométrie

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Ch. 11
Théorème de Thalès

Ch. 12
Propriétés des triangles rectangles

Ch. 13
Géométrie plane

Ch. 14
Géométrie dans l'espace

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Chapitre 3

Activités

Découvrir le chapitre : multiplication et division de nombres rationnels

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Histoire des maths

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Notations modernes des fractions de nombres relatifs

$Placeholder pour Manuscrit arabe ancien montrant des calculs mathématiques, probablement des fractions égyptiennes, écrit à l'encre noire sur papier jauni.$ $Manuscrit arabe ancien montrant des calculs mathématiques, probablement des fractions égyptiennes, écrit à l'encre noire sur papier jauni.$

"Kitab al-Bayān wa al-tidhkār fī ṣanʻat ʻamal al-ghubār"/LJS 293, Lawrence J. Schoenberg Collection, University of Pennsylvania, Kislak Center for Special Collections, Rare Books and Manuscripts

Extrait d'un manuscrit d'Abu Bakr al-Hassar.

Les fractions égyptiennes étaient tellement pratiques pour répondre à des problèmes de partages concrets que leur utilisation a perduré jusqu'à la fin du Moyen Âge. Cependant, faire des calculs avec ces fractions égyptiennes n'était pas du tout aisé.
Les mathématiciens indiens de la fin du VII^e siècle développent l'écriture de « nouveaux nombres », ceux que nous utilisons de nos jours, et on trouve dans les manuscrits de Bhāskara les fractions écrites sous la forme de deux nombres superposés.
C'est dans les livres de Abu Bakr al-Hassar (XII^e siècle) que l'on voit apparaître la barre de fraction entre ces deux nombres superposés. Au IX^e siècle, tout en continuant à utiliser les fractions égyptiennes, Al-Khwarizmi, le père de l'algèbre, expose l'intérêt des calculs sur les fractions indiennes.
Pour effectuer la multiplication de

8 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}

par

3 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9}

, il les écrit sous la forme

\frac{358}{40} et \frac{93}{27}

et donne leur produit en multipliant les numérateurs et les dénominateurs entre eux pour obtenir

\frac{33 294}{1 080}

qu'il simplifie enfin en

30 + \frac{894}{1 080}

Après avoir étudié ce chapitre, effectuer les calculs d'Al-Khwarizmi. Est-il possible de les rendre encore plus simples ?

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Activité 1
De l'aire au produit

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Objectif

Apprendre à multiplier des nombres rationnels.

Voir cours 1 p. 60

Jade a divisé le carré de côté 1 suivant en plusieurs carreaux rectangulaires identiques et en a colorié une partie en rouge.

Graphique: carré divisé en deux, moitié orange, moitié blanche.

1
Donner la proportion de la partie colorée.

2
À l'aide de fractions, donner la longueur et la largeur du rectangle coloré.

3
À l'aide d'une opération sur ces fractions, exprimer l'aire du rectangle coloré. En déduire alors une méthode pour calculer

\frac{3}{5} \times \frac{3}{4}

4
En utilisant la même méthode que précédemment, faire une figure pour illustrer le calcul

\frac{3}{7} \times \frac{1}{4}

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

5
En s'aidant éventuellement d'une figure comme Jade, calculer les expressions suivantes.

A = \frac{1}{3} \times \frac{2}{5} B = \frac{2}{7} \times \frac{5}{6} C = 6 \times \frac{2}{11} D = \frac{3}{2} \times 4 E = \frac{- 5}{4} \times \frac{1}{9}

Bilan

Comment calculer le produit de deux nombres rationnels écrits sous forme fractionnaire ?

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Activité 2
Répartir son temps

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Objectif

Apprendre à résoudre des problèmes avec des nombres rationnels.

Voir cours 1 p. 60

Pour un devoir de français, Arthur fait des recherches sur Internet. Il a consacré

\frac{5}{6}

de son temps de connexion à faire des recherches sur des auteurs anglophones et un quart de ce temps de recherche pour se renseigner sur les auteurs de romans fantastiques.

1
Dans le rectangle suivant, hachurer en bleu le temps de connexion utilisé pour la recherche sur les auteurs anglophones, puis en rouge le temps utilisé pour la recherche sur les auteurs de romans fantastiques.

2
Par lecture sur le dessin, quelle est la proportion du temps total de connexion passé pour la recherche d'auteurs anglophones de romans fantastiques ?

3
Quel calcul parmi les suivants permettrait d'obtenir ce résultat :

\frac{5}{6} + \frac{1}{4}; \frac{5}{6} - \frac{1}{4} ou \frac{5}{6} \times \frac{1}{4} ?

Bilan

Quelle opération doit-on utiliser pour calculer une fraction d'une fraction ?

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Activité 3
Du produit au quotient

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Objectif

Découvrir l'inverse d'un nombre non nul et la division des nombres rationnels.

Voir cours 2 p.62

1
Effectuer les calculs

A = 2 \times \frac{1}{2} et B = \frac{3}{4} \times \frac{4}{3}

en simplifiant le résultat. Que constate-t-on ?

2
Deux nombres non nuls sont dits inverses l'un de l'autre lorsque leur produit est égal à

1

. En s'inspirant de la question

donner les inverses des nombres

3; \frac{2}{9}; - 4 et 0, 75

3
Le tableau suivant est un tableau de proportionnalité.

a. Quelle multiplication permet de passer de la première ligne à la deuxième ligne du tableau ?

b. Compléter la deuxième ligne du tableau.

c. Quelle division faut-il effectuer pour passer de la deuxième ligne à la première ligne ?

$1$	$2$	$5$	$\frac{1}{3}$	$\frac{3}{4}$	$\frac{2}{5}$
$\frac{4}{7}$

4
Pour compléter la troisième ligne du tableau, multiplier la deuxième ligne par la fraction

\frac{7}{4}

. Que constate-t-on ?

5
a. Compléter la phrase suivante : « Lorsque l'on divise par

\frac{4}{7}

, cela donne les mêmes résultats que lorsque l'on

par son inverse

\frac{7}{4}

».
b. En appliquant cette propriété, calculer

\frac{5}{6} \div \frac{3}{7}

puis

\frac{2}{3} \div 4

Bilan

Comment déterminer l'inverse d'un nombre non nul ? Comment calculer le quotient de deux fractions ?

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Ch. 1Nombres relatifs

Ch. 2Addition et soustraction de nombres rationnels

Ch. 3Multiplication et division de nombres rationnels

Ch. 4Puissances

Ch. 5Calcul littéral

Ch. 6Résolution d'équations

Ch. 7Statistiques

Ch. 8Probabilités

Ch. 9Notion de fonctions

Ch. 10Proportionnalité

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Notations modernes des fractions de nombres relatifs

Activité 1De l'aire au produit

Activité 2Répartir son temps

Activité 3Du produit au quotient

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Nombres relatifs

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Addition et soustraction de nombres rationnels

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Multiplication et division de nombres rationnels

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Puissances

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Statistiques

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Probabilités

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Propriétés des triangles rectangles

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Géométrie dans l'espace

Activité 1
De l'aire au produit

Activité 2
Répartir son temps

Activité 3
Du produit au quotient