Chapitre 3
Cours
Multiplication et division de nombres rationnels
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1Multiplication nombres rationnels
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Propriété
Pour multiplier deux nombres en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Autrement dit, si a, b, c et d sont quatre nombres relatifs avec b \neq 0 \text { et } d \neq 0, on a :
Autrement dit, si a, b, c et d sont quatre nombres relatifs avec b \neq 0 \text { et } d \neq 0, on a :
\frac{\mathrm{\color{#2190A0}a}}{\mathrm{\color{#C62A58}b}} \times \frac{\mathrm{\color{#2190A0}c}}{\mathrm{\color{#C62A58}d}}= \frac{\mathrm{\color{#2190A0}a \times c}}{\mathrm{\color{#C62A58}b \times d}}
.
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Exemples
1. \frac{2}{3} \times \frac{-4}{5}=\frac{2 \times(-4)}{3 \times 5}=\frac{-8}{15}
2. \frac{5}{6} \times 3=\frac{5}{6} \times \frac{3}{1}=\frac{5 \times 3}{6 \times 1}=\frac{15}{6}= \frac{{\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}3}} \times 5}{{\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}3}} \times 2}=\frac{5}{2}
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Pour faciliter le calcul d'un produit de fractions, on peut décomposer les nombres afin de trouver des diviseurs communs aux numérateurs et aux dénominateurs pour simplifier au maximum avant d'effectuer les multiplications.
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Exemples
1. \frac{32}{25} \times \frac{15}{28}=\frac{32 \times 15}{25 \times 28}=\frac{{\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}4}} \times 8 \times {\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}5}} \times 3}{{\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}5}} \times 5 \times {\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}4}} \times 7}=\frac{24}{35}
2. On peut également utiliser la décomposition en produit de facteurs premiers.
\begin{aligned} \frac{3~575}{63} \times \frac{84}{2~275} &=\frac{3~575 \times 84}{63 \times 2~275} \\ &=\frac{{\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}5}} \times {\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}5}} \times 11 \times {\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}13}} \times 2 \times 2 \times {\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}3}} \times {\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}7}}}{{\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}3}} \times 3 \times {\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}7}} \times {\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}5}} \times {\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}5}} \times 7 \times {\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}13}}} \\ &=\frac{11 \times 2 \times 2}{3 \times 7}=\frac{44}{21} \end{aligned}
2. On peut également utiliser la décomposition en produit de facteurs premiers.
\begin{aligned} \frac{3~575}{63} \times \frac{84}{2~275} &=\frac{3~575 \times 84}{63 \times 2~275} \\ &=\frac{{\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}5}} \times {\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}5}} \times 11 \times {\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}13}} \times 2 \times 2 \times {\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}3}} \times {\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}7}}}{{\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}3}} \times 3 \times {\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}7}} \times {\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}5}} \times {\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}5}} \times 7 \times {\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}13}}} \\ &=\frac{11 \times 2 \times 2}{3 \times 7}=\frac{44}{21} \end{aligned}
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Propriété
Calculer une fraction d'une autre fraction revient à multiplier ces deux fractions entre elles.
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Dans un énoncé, le mot « de » (ou « d' ») est une indication pour utiliser la multiplication.
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Exemples
1. \frac{3}{5} de \frac{7}{4} est égal à \frac{3}{5} {\color{#2190A0}\times} \frac{7}{4}=\frac{3 \times 7}{5 \times 4}=\frac{21}{20} \text {. }
2. Dans un paquet de 30 bonbons, les \frac{2}{3} sont de couleur jaune. \frac{2}{5} des bonbons jaunes sont au citron.
Pour déterminer la proportion de bonbons jaunes au citron sur l'ensemble des bonbons, on calcule \frac{2}{5} de \frac{2}{3}, soit \frac{2}{5} {\color{#2190A0}\times} \frac{2}{3}=\frac{2 \times 2}{5 \times 3}=\frac{4}{15} \text {. }
La proportion de bonbons au citron est donc de \frac{4}{15}.
Pour connaître ensuite le nombre de bonbons au citron, on calcule \frac{4}{15} de 30 bonbons, soit
\frac{4}{15} {\color{#2190A0}\times} 30=\frac{4}{15} \times \frac{30}{1}=\frac{4 \times 30}{15 \times 1}=\frac{4 \times 15 \times 2}{15 \times 1}=\frac{4 \times 2}{1}=8.
Il y a donc 8 bonbons jaunes au citron dans ce paquet.
2. Dans un paquet de 30 bonbons, les \frac{2}{3} sont de couleur jaune. \frac{2}{5} des bonbons jaunes sont au citron.
Pour déterminer la proportion de bonbons jaunes au citron sur l'ensemble des bonbons, on calcule \frac{2}{5} de \frac{2}{3}, soit \frac{2}{5} {\color{#2190A0}\times} \frac{2}{3}=\frac{2 \times 2}{5 \times 3}=\frac{4}{15} \text {. }
La proportion de bonbons au citron est donc de \frac{4}{15}.
Pour connaître ensuite le nombre de bonbons au citron, on calcule \frac{4}{15} de 30 bonbons, soit
\frac{4}{15} {\color{#2190A0}\times} 30=\frac{4}{15} \times \frac{30}{1}=\frac{4 \times 30}{15 \times 1}=\frac{4 \times 15 \times 2}{15 \times 1}=\frac{4 \times 2}{1}=8.
Il y a donc 8 bonbons jaunes au citron dans ce paquet.
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