Chapitre 2
Méthodes
Addition et soustraction de nombres rationnels
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Additionner et soustraire des nombres rationnels
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Énoncé
Calculer l'expression \text{E}=\frac{5}{9}+\frac{7}{6}.
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- On réduit au même dénominateur si nécessaire.
- On ajoute ou on soustrait les numérateurs et on garde le dénominateur commun.
- On simplifie si possible.
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Solution
\text{E} ={\color{#2190A0}\frac{5}{9}}+{\color{#C62A58}\frac{7}{6}}=\frac{\color{#2190A0}5 {\color{#000000}~\times~6}}{\color{#2190A0}9 {\color{#000000}~\times~6}}+\frac{\color{#C62A58}7 {\color{#000000}~\times~9}}{\color{#C62A58}6 {\color{#000000}\times 9}}={\color{#2190A0}\frac{30}{54}}+{\color{#C62A58}\frac{63}{54}}=\frac{\color{#2190A0}30{\color{#000000}+}\color{#C62A58}63}{54}
\text{E} = \frac{93}{54}=\frac{93 \div 3}{54 \div 3}=\frac{31}{18}
\text{E} = \frac{93}{54}=\frac{93 \div 3}{54 \div 3}=\frac{31}{18}
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Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers
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Énoncé
Décomposer le nombre \text{132} en produit de facteurs premiers.
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- On cherche un nombre premier qui divise le nombre que l'on veut décomposer, ici \text{132}, en utilisant les critères de divisibilité.
- On décompose \text{132} en un produit contenant ce nombre premier.
- On répète les étapes précédentes tant que l'un des facteurs n'est pas premier.
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Simplifier une fraction en utilisant les nombres premiers
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Énoncé
Écrire la fraction \frac{630}{1050} sous la forme la plus simple possible.
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- On décompose en produit de facteurs premiers le numérateur et le dénominateur.
- On simplifie les facteurs communs au numérateur et au dénominateur deux par deux.
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Solution
630=2 \times 315=2 \times 5 \times 63=2 \times 5 \times 7 \times 9 d'où
630=2 \times 5 \times 7 \times 3 \times 3.
1050=2 \times 525=2 \times 5 \times 105=2 \times 5 \times 5 \times 21 d'où
1050=2 \times 5 \times 5 \times 3 \times 7.
En utilisant les deux résultats précédents on obtient
\frac{630}{1050}=\frac {{\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}2}} \times {\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}5}} \times {\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}7}} \times {\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}3}} \times 3}{{\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}2}} \times {\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}5}} \times 5 \times {\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}3}} \times {\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}7}}}=\frac{3}{5} .
630=2 \times 5 \times 7 \times 3 \times 3.
1050=2 \times 525=2 \times 5 \times 105=2 \times 5 \times 5 \times 21 d'où
1050=2 \times 5 \times 5 \times 3 \times 7.
En utilisant les deux résultats précédents on obtient
\frac{630}{1050}=\frac {{\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}2}} \times {\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}5}} \times {\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}7}} \times {\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}3}} \times 3}{{\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}2}} \times {\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}5}} \times 5 \times {\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}3}} \times {\color{#C62A58}\cancel{\color{#000000}7}}}=\frac{3}{5} .
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