Enseignement mathématique 1re

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Exercices rituels et automatismes
Exercices rituels
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Ch. 1
Analyse de l'information chiffrée
Partie 2 - Probabilités
Ch. 2
De la statistique aux probabilités
Partie 3 - Phénomènes d’évolution
Ch. 4
Croissance exponentielle
Partie 4 - Dérivation
Ch. 5
Variations instantanées
Ch. 6
Variations globales
GeoGebra
Chapitre 3
Activité A

Les suites arithmétiques

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Objectif
Établir quelques caractéristiques des suites arithmétiques.
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Énoncé

On considère un carré de côté 1. On réalise plusieurs figures successives en ajoutant des carrés identiques à chaque étape comme indiqué ci-dessous.

Placeholder pour 3 figures3 figures
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Questions

Partie 1 : Construction d'une suite
On note c(n) le nombre de carrés nécessaires pour construire la figure à l'étape n. La figure initiale correspond à l'étape 0. Le premier terme est donc c(0)=1 et on a, par exemple, c(2)=7.

1
En utilisant l'illustration ci-dessus, déterminer c(1) et c(3).
2
Combien de carrés ajoute-t-on pour passer d'une étape à la suivante ? Calculer alors c(4) puis c(5).
En continuant ainsi, on obtient une suite de nombres, notée c. Dans ce cas, on dit que la suite c est une suite arithmétique de premier terme c(0) = 1 et de raison r = 3.

3
Pour tout entier naturel n, écrire c(n + 1) en fonction de c(n). Cette relation s'appelle la relation de récurrence de la suite c.
4
Comment calculer c(100) en fonction de c(99) ? Est-ce facilement réalisable ?


Partie 2 : Une nouvelle suite
On s'intéresse maintenant au périmètre de la figure à chaque étape.
On note p(n) le périmètre de la figure à l'étape n. On a ainsi p(0) = 4 et p(1) = 10.

5
En utilisant l'illustration ci-dessus, déterminer p(2) et p(3).

6
Justifier que la suite p est une suite arithmétique. Donner alors le premier terme, la raison et la relation de récurrence de p(n+ 1) en fonction de p(n).
Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.

7
a. De quelle longueur le périmètre a-t-il augmenté entre l'étape initiale et l'étape 2 ? Entre l'étape initiale et l'étape 3 ?
b. Compléter les égalités suivantes :
{p(2)=p(0)+}
{\times 6 ; p(3)=p(0)+}
\times 6.

c. Compléter la forme explicite de p : pour tout entier naturel {n, p(n)=p(0)+}
\times
.

8
Calculer le périmètre de la figure à l'étape 100.


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Bilan

On considère une suite arithmétique u. Quels en sont les éléments caractéristiques ? Donner une relation de récurrence de u et une forme explicite.
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