Les suites arithmétiques

Partie 1 : Construction d'une suite
On note $c(n)$ le nombre de carrés nécessaires pour construire la figure à l'étape $n$. La figure initiale correspond à l'étape $0$. Le premier terme est donc $c(0)=1$ et on a, par exemple, $c(2)=7$.

1

En utilisant l'illustration ci-dessus, déterminer $c(1)$ et $c(3).$

2

Combien de carrés ajoute-t-on pour passer d'une étape à la suivante ? Calculer alors $c(4)$ puis $c(5)$.

En continuant ainsi, on obtient une suite de nombres, notée $c$. Dans ce cas, on dit que la suite $c$ est une suite arithmétique de premier terme $c(0)=1$ et de raison $r=3$.

3

Pour tout entier naturel $n$, écrire $c(n+1)$ en fonction de $c(n)$. Cette relation s'appelle la relation de récurrence de la suite $c$.

4

Comment calculer $c(100)$ en fonction de $c(99)$ ? Est-ce facilement réalisable ?

Partie 2 : Une nouvelle suite
On s'intéresse maintenant au périmètre de la figure à chaque étape.
On note $p(n)$ le périmètre de la figure à l'étape $n$. On a ainsi $p(0)=4$ et $p(1)=10$.

5

En utilisant l'illustration ci-dessus, déterminer $p(2)$ et $p(3)$.

6

Justifier que la suite $p$ est une suite arithmétique. Donner alors le premier terme, la raison et la relation de récurrence de $p(n+1)$ en fonction de $p(n)$.

7

a. De quelle longueur le périmètre a-t-il augmenté entre l'étape initiale et l'étape $2$ ? Entre l'étape initiale et l'étape $3$ ?

b. Compléter les égalités suivantes :
$p(2)=p(0)+$

$\times 6;p(3)=p(0)+$

$\times 6$.

c. Compléter la forme explicite de $p$ : pour tout entier naturel $n,p(n)=p(0)+$

$\times$

.

8

Calculer le périmètre de la figure à l'étape $100$.