Livret maths 2
Calcul algébrique
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Point de cours
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PropriétéRègle de priorité sans parenthèses
Dans une expression numérique sans parenthèses,
on effectue :
- dʼabord les multiplications et les divisions, de gauche à droite ;
- puis les additions et les soustractions, également de gauche à droite.
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Exemple
\begin{aligned}
& \mathrm{A}=20-2 \times 3+12 \div 6 \\
& \mathrm{A}=20-6+2 \\
& \mathrm{A}=14+2 \\
& \mathrm{A}=16
\end{aligned}
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PropriétéRègle de priorité avec parenthèses
Dans une expression numérique qui contient
des parenthèses, on effectue :
Si une expression contient une barre de fraction, on effectue les calculs sur la barre et sous la barre comme si ils étaient entre parenthèses.
- en priorité les calculs entre parenthèses ;
- puis on procède comme pour une expression numérique sans parenthèses.
Si une expression contient une barre de fraction, on effectue les calculs sur la barre et sous la barre comme si ils étaient entre parenthèses.
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Exemples
\begin{aligned}
& \mathrm{B}=(3 \times(7-3))+1 \\
& \mathrm{B}=(3 \times 4)+1 \\
& \mathrm{B}=12+1 \\
& \mathrm{B}=13
\end{aligned}
\begin{aligned}
& \mathrm{C}=300+100 \times \frac{60+4 \times 20}{10 \times 10-2 \times 15} \\
& \mathrm{C}=300+100 \times \frac{140}{70} \\
& \mathrm{C}=300-100 \times 2 \\
& \mathrm{C}=300-200 \\
& \mathrm{C}=100
\end{aligned}
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DéfinitionExpression littérale
Une expression littérale est une expression
dans laquelle des lettres représentent des
nombres. Ces lettres sont appelées des
variables. Deux expressions littérales sont
égales si elles donnent le même résultat pour
n'importe quelles valeurs attribuées
aux lettres de l'expression.
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Exemple
3 x+8=4 x(2-x) est une expression littérale.
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PropriétéDistributivité
- Simple distributivité. Quels que soient les
nombres k, a et b, on a toujours :
k(a+b)=k \cdot a+k \cdot b - Double distributivité. Quels que soient les
nombres a, b, c et d, on a :
(a+b)(c+d)=a \cdot c+a \cdot d+b \cdot c+b \cdot d
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Exemples
\begin{aligned}
& \mathrm{D}=4 x(2-x) \\
& \mathrm{D}=4 x \times 2-4 x \cdot x \\
& \mathrm{D}=8 x-4 x^2
\end{aligned}
\begin{aligned}
& \mathrm{E}=(3-2 z)(5 z-4) \\
& \mathrm{E}=15 z-12-10 z^2+8 z \\
& \mathrm{E}=-10 z^2+23 z-12
\end{aligned}
\begin{aligned}
& \mathrm{F}=(4+3 z) \cdot(2 z+1)-(5+7 z) \cdot(z+3) \\
& \mathrm{F}=8 z+4+6 z^2+3 z-\left(5 z+15+7 z^2+21 z\right) \\
& \mathrm{F}=-z^2-15 z-11
\end{aligned}
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PropriétéIdentités remarquables
Pour tous nombres a et b, on a :
| Forme factorisée | Forme développée | |
| (a+b)^2 | = | a^2+2 a \cdot b+b^2 |
| (a-b)^2 | = | a^2-2 a \cdot b+b^2 |
| (a+b)(a-b) | = | a^2-b^2 |
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Exemples
\begin{aligned}
& \mathrm{G}=(3 x+7)^2 \\
& \mathrm{G}=9 x^2+42 x+49
\end{aligned}
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Questions
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Exercice 1
Effectuez les calculs suivants.
c. 45-30 \div(8-3)
a. 5 \times 9-25 \div 5
b. 7(64-54)
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Exercice 2
Effectuez les calculs suivants.
a. 5+8-4 \times 3
b. 36 \div 6+7 \times 6
c. 4+63 \div 9+2
d. 81-11 \times 6 \div 3
e. 40 \div 8+8 \times 8
f. 12 \times 6 \div 8 \times 7
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Exercice 3
Effectuez les calculs suivants.
a. (1+4 \times 8)+2
b. 72 \div(16 \div 2)
c. 7 \times 6+(18 \div 9)
d. 20-(8 \times 4-20)
e. 35 \div 7(47-12)
f. (15+2) \times 3+4
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Exercice 4
Effectuez les calculs suivants.
a. 50 \times \frac{3 \times 9+3}{9+11}
b. \frac{32+5(4-2)}{18 \div 3}
a. 50 \times \frac{3 \times 9+3}{9+11}
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Exercice 5
Effectuez les calculs suivants en présentant le
résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
a. \frac{1}{2} \times \frac{60+2 \times 6}{17 \times 12-24}
b. \frac{7}{5} \div \frac{70-14}{4 \times 5+15}
a. \frac{1}{2} \times \frac{60+2 \times 6}{17 \times 12-24}
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Exercice 6
Le lien entre le diamètre d et le rayon r
d'un cercle est donné par la formule d = 2 r.
Pour calculer le périmètre P, on applique la formule P=2 \pi \cdot r. Complétez le tableau suivant.
Pour calculer le périmètre P, on applique la formule P=2 \pi \cdot r. Complétez le tableau suivant.
| Rayon \mathbf{r} (cm) | Diamètre \mathbf{d} (cm) | Valeur arrondie du périmètre \mathbf{P} au millimètre près (cm) |
|---|---|---|
| 2,5 | ||
| 4,0 | ||
| 5,0 | ||
| 7,5 | ||
| 8,0 |
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Exercice 7
Calculez le volume
de ce parallélépipède
rectangle pour :
a. z=2
b. z=4,5
c. z=8
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Exercice 8
Factorisez les expressions suivantes.
a. 3 x+9
b. 27-9 y
c. 12 x+18 y
d. 13 x+2 x
e. x \cdot y+4 y
f. x^2+3 x
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Exercice 9
Un paquetage est un objet que l'on a enveloppé
dans un emballage adapté, comme du carton.
a. De quelle longueur de ficelle a-t-on besoin pour ficeler
le paquet ci-contre de longueur L=40 cm, de largeur
\ell=30 cm et de hauteur h=10 cm de la façon indiquée,
sans compter les nœuds ?
b. Donnez la longueur de la ficelle en fonction
des dimensions L, \ell, et h du paquet.
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Exercice 10
Supprimez toutes les parenthèses et réduisez
les expressions au maximum.
a. 3,5 e+2,2 e+e \times 2
b. c(3+11)+c+2
c. 1,7-(2,4 a-2,4)
d. (2 a+3) \times 3+8 a
e. (x+y)(z+4)
f. 3-(-6+a) \times 20
g. (a+1)(b+1)-2
h. (a-3)(a+1)-4 a
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Exercice 11
Développez puis réduisez les expressions
au maximum.
a. (7+a)(b+1)
b. (3,2-x)(2+x)
c. (y-1,5)(y-1)
d. (a \cdot b+1)(a+b)
e. -1-a(3-a)
f. (x+4)^2
g. (x-4)^2
h. (x+4)(x-4)
i. (-x-4)(-x-4)
j. (-4-4)(-x-x)
k. (a+b)(a-c)
l. -2 a(a+4)
m. (x+2)^3
n. (x-2)^3
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