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Livret maths 2

Calcul algébrique

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Point de cours

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Propriété
Règle de priorité sans parenthèses

Dans une expression numérique sans parenthèses, on effectue :
  • dʼabord les multiplications et les divisions, de gauche à droite ;
  • puis les additions et les soustractions, également de gauche à droite.
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Exemple

\begin{aligned} & \mathrm{A}=20-2 \times 3+12 \div 6 \\ & \mathrm{A}=20-6+2 \\ & \mathrm{A}=14+2 \\ & \mathrm{A}=16 \end{aligned}
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Propriété
Règle de priorité avec parenthèses

Dans une expression numérique qui contient des parenthèses, on effectue :
  • en priorité les calculs entre parenthèses ;
  • puis on procède comme pour une expression numérique sans parenthèses.
Quand il y a des parenthèses imbriquées, on effectue d'abord les calculs entre les parenthèses les plus intérieures.
Si une expression contient une barre de fraction, on effectue les calculs sur la barre et sous la barre comme si ils étaient entre parenthèses.
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Exemples

\begin{aligned} & \mathrm{B}=(3 \times(7-3))+1 \\ & \mathrm{B}=(3 \times 4)+1 \\ & \mathrm{B}=12+1 \\ & \mathrm{B}=13 \end{aligned}

\begin{aligned} & \mathrm{C}=300+100 \times \frac{60+4 \times 20}{10 \times 10-2 \times 15} \\ & \mathrm{C}=300+100 \times \frac{140}{70} \\ & \mathrm{C}=300-100 \times 2 \\ & \mathrm{C}=300-200 \\ & \mathrm{C}=100 \end{aligned}
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Définition
Expression littérale

Une expression littérale est une expression dans laquelle des lettres représentent des nombres. Ces lettres sont appelées des variables. Deux expressions littérales sont égales si elles donnent le même résultat pour n'importe quelles valeurs attribuées aux lettres de l'expression.
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Exemple

3 x+8=4 x(2-x) est une expression littérale.
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Propriété
Distributivité

  • Simple distributivité. Quels que soient les nombres k, a et b, on a toujours :
    k(a+b)=k \cdot a+k \cdot b
  • Double distributivité. Quels que soient les nombres a, b, c et d, on a :
    (a+b)(c+d)=a \cdot c+a \cdot d+b \cdot c+b \cdot d
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Exemples

\begin{aligned} & \mathrm{D}=4 x(2-x) \\ & \mathrm{D}=4 x \times 2-4 x \cdot x \\ & \mathrm{D}=8 x-4 x^2 \end{aligned}

\begin{aligned} & \mathrm{E}=(3-2 z)(5 z-4) \\ & \mathrm{E}=15 z-12-10 z^2+8 z \\ & \mathrm{E}=-10 z^2+23 z-12 \end{aligned}

\begin{aligned} & \mathrm{F}=(4+3 z) \cdot(2 z+1)-(5+7 z) \cdot(z+3) \\ & \mathrm{F}=8 z+4+6 z^2+3 z-\left(5 z+15+7 z^2+21 z\right) \\ & \mathrm{F}=-z^2-15 z-11 \end{aligned}
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Propriété
Identités remarquables

Pour tous nombres a et b, on a :

Forme factoriséeForme développée
(a+b)^2=a^2+2 a \cdot b+b^2
(a-b)^2=a^2-2 a \cdot b+b^2
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
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Exemples

\begin{aligned} & \mathrm{G}=(3 x+7)^2 \\ & \mathrm{G}=9 x^2+42 x+49 \end{aligned}
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Questions

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Exercice 1

Effectuez les calculs suivants.

a. 5 \times 9-25 \div 5
b. 7(64-54)
c. 45-30 \div(8-3)
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Exercice 2

Effectuez les calculs suivants.

a. 5+8-4 \times 3
b. 36 \div 6+7 \times 6
c. 4+63 \div 9+2
d. 81-11 \times 6 \div 3
e. 40 \div 8+8 \times 8
f. 12 \times 6 \div 8 \times 7
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Exercice 3

Effectuez les calculs suivants.

a. (1+4 \times 8)+2
b. 72 \div(16 \div 2)
c. 7 \times 6+(18 \div 9)
d. 20-(8 \times 4-20)
e. 35 \div 7(47-12)
f. (15+2) \times 3+4
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Exercice 4
Effectuez les calculs suivants.

a. 50 \times \frac{3 \times 9+3}{9+11}
b. \frac{32+5(4-2)}{18 \div 3}
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Exercice 5
Effectuez les calculs suivants en présentant le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

a. \frac{1}{2} \times \frac{60+2 \times 6}{17 \times 12-24}
b. \frac{7}{5} \div \frac{70-14}{4 \times 5+15}
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Exercice 6
Le lien entre le diamètre d et le rayon r d'un cercle est donné par la formule d = 2 r.
Cercle

Pour calculer le périmètre P, on applique la formule P=2 \pi \cdot r. Complétez le tableau suivant.

Rayon \mathbf{r} (cm)Diamètre \mathbf{d} (cm)Valeur arrondie du périmètre \mathbf{P} au millimètre près (cm)
2,5
4,0
5,0
7,5
8,0
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Exercice 7
Calculez le volume de ce parallélépipède rectangle pour :

a. z=2
b. z=4,5
c. z=8
Prallélépipède
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Exercice 8

Factorisez les expressions suivantes.

a. 3 x+9
b. 27-9 y
c. 12 x+18 y
d. 13 x+2 x
e. x \cdot y+4 y
f. x^2+3 x
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Exercice 9
Un paquetage est un objet que l'on a enveloppé dans un emballage adapté, comme du carton.

Paquet cadeau
a. De quelle longueur de ficelle a-t-on besoin pour ficeler le paquet ci-contre de longueur L=40 cm, de largeur \ell=30 cm et de hauteur h=10 cm de la façon indiquée, sans compter les nœuds ?
b. Donnez la longueur de la ficelle en fonction des dimensions L, \ell, et h du paquet.
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Exercice 10

Supprimez toutes les parenthèses et réduisez les expressions au maximum.

a. 3,5 e+2,2 e+e \times 2
b. c(3+11)+c+2
c. 1,7-(2,4 a-2,4)
d. (2 a+3) \times 3+8 a
e. (x+y)(z+4)
f. 3-(-6+a) \times 20
g. (a+1)(b+1)-2
h. (a-3)(a+1)-4 a
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Exercice 11

Développez puis réduisez les expressions au maximum.

a. (7+a)(b+1)
b. (3,2-x)(2+x)
c. (y-1,5)(y-1)
d. (a \cdot b+1)(a+b)
e. -1-a(3-a)
f. (x+4)^2
g. (x-4)^2
h. (x+4)(x-4)
i. (-x-4)(-x-4)
j. (-4-4)(-x-x)
k. (a+b)(a-c)
l. -2 a(a+4)
m. (x+2)^3
n. (x-2)^3
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