Enseignement mathématique 1re

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Ch. 2
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Chapitre 3
Cours

Croissance linéaire

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1
Suites arithmétiques

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Définition

Une suite u est une fonction dont la variable, notée n plutôt que x, est un entier naturel. Le nombre u(n) est appelé le terme de rang \boldsymbol{n} de la suite u.
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Définition

Une suite u est arithmétique lorsqu'il existe un nombre réel r, nommé raison, tel que pour tout entier naturel {n: u(n+1)=u(n)+r.} L'écriture du terme de rang n + 1 en fonction du terme de rang n donne une relation de récurrence vérifiée par la suite.
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Exemple

Une suite u vérifiant, pour tout entier naturel n, {u(n+1)=u(n)+4} est une suite arithmétique. Si on a {u(0)=5}, alors le deuxième terme est {u(1)=u(0)+4=5+4=9.} Le troisième terme est {u(2)=u(1)+4=9+4=13.}

Attention, le premier terme de la suite étant u(0), le dixième terme est u(9).
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Propriété

Une suite u est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u(0) si, et seulement si, pour tout entier naturel n, {u(n)=r \times n+u(0)}. Cette écriture est la forme explicite de la suite u.
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Propriété

Dans un repère, une suite peut être représentée par le nuage de points de coordonnées (n ; u(n)), n \in \mathbb{N}.

Dans le cas d'une suite arithmétique, ce nuage de points forme un ensemble de points alignés.
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Exemple

Soit u une suite arithmétique de premier terme u(0)=2 et de raison 3. Elle est donc définie par la relation de récurrence {u(n+1)=u(n)+3.}

Sa forme explicite est donnée, pour tout entier naturel n, par {u({\color{#00614e}n})=3 {\color{#00614e}n}+2}. Ainsi, {u({\color{#00614e}1})=3 \times {\color{#00614e}1}+2=5}, {u({\color{#00614e}2})=3 \times {\color{#00614e}2}+2=8} et {u({\color{#00614e}3})=3 \times {\color{#00614e}3}+2=11}.

Les quatre premiers termes de cette suite sont représentés dans le graphique ci-après. Ils sont alignés sur la droite d'équation y = 3x + 2.
Graphique quatre premiers termes de cette suite
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Remarque

Une suite arithmétique permet de modéliser un phénomène discret à croissance linéaire.
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Propriétés

1. Une suite arithmétique u de raison r est strictement croissante si, et seulement si, r\gt0.

2. Une suite arithmétique u de raison r est strictement décroissante si, et seulement si, r \lt 0.

3. Une suite arithmétique u de raison r est constante si, et seulement si, r=0.
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2
Fonctions affines

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Définition

Une fonction f est dite affine lorsqu'il existe deux réels m et p tels que, pour tout x \in \mathbb{R}, {f(x)=m x+p.}

La représentation graphique d'une fonction affine dans un repère du plan est une droite dont m est le coefficient directeur et p est l'ordonnée à l'origine. On a p=f(0).

représentation graphique d'une fonction affine dans un repère du plan
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Remarque

Une fonction affine permet de modéliser un phénomène continu à croissance linéaire.
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Propriétés

Soit f : x \mapsto m x+p une fonction affine dont on note d la droite représentative.

1. Pour tous réels distincts a et b, on a {m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}.

2. Pour tous points distincts \mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}} ; y_{\mathrm{A}}\right) et \mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}} ; y_{\mathrm{B}}\right) appartenant à d, on a m=\frac{y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}}.
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Propriétés

1. Une fonction affine f est strictement croissante sur \mathbb{R} si, et seulement si, m\gt0.

2. Une fonction affine f est strictement décroissante sur \mathbb{R} si, et seulement si, m \lt 0.

3. Une fonction affine f est constante sur \mathbb{R} si, et seulement si, m=0.
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3
Phénomènes linéaires discrets et continus

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Voici un tableau récapitulatif des caractéristiques des phénomènes linéaires discrets et continus.

Modèle
Discret
Continu
Modélisation
Suite arithmétique u définie sur \mathbb{N}.
Fonction affine f définie sur \mathbb{R}.
Expression
{u(n)=rn+u(0)} avec n \in \mathbb{N}.
{f(x)=mx+p=mx+f(0)} avec x \in \mathbb{R}.
Représentation graphique
Nuage de points alignés
Graphique Nuage de points alignés
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Droite
Graphique droite
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Caractérisation
Pour tout n \in \mathbb{N}, u(n+1)-u(n) est constant.
Pour tous réels a et b distincts, \frac{f(b)-f(a)}{b-a} est constant.

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