Enseignement mathématique 1re

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Exercices rituels et automatismes
Exercices rituels
Automatismes
Partie 1 - Information chiffrée
Ch. 1
Analyse de l'information chiffrée
Partie 2 - Probabilités
Ch. 2
De la statistique aux probabilités
Partie 3 - Phénomènes d’évolution
Ch. 4
Croissance exponentielle
Partie 4 - Dérivation
Ch. 5
Variations instantanées
Ch. 6
Variations globales
GeoGebra
Chapitre 3
Méthodes

Méthodes et automatismes

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Méthode 1
Exploiter la représentation graphique d'une suite arithmétique

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Énoncé
Soit u une suite arithmétique dont voici la représentation graphique. Déterminer le premier terme et la raison de u. En déduire, pour tout entier naturel n, une expression de u(n) en fonction de n.

Graphique
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Méthode

  • On détermine la valeur de u(0)

  • On calcule r en déterminant l'écart u(n+1)-u(n) entre deux valeurs consécutives.

  • On donne la forme explicite de la suite.

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Solution
D'après le graphique, le premier terme est {u(0)={\color{#00614e} 0,2}}.

On choisit deux termes consécutifs, par exemple u(3)=1,4 et u(4)=1,8, puis on calcule la raison : {r=u(4)-u(3)={\color{#c58200} 0,4}}.

Pour tout entier naturel n, on a {u(n)=r \times n+u(0)={\color{#c58200} 0,4} \times n+{\color{#00614e} 0,2}.}
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Automatismes

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Pour les exercice 8 à 10

Soit u une suite arithmétique dont voici la représentation graphique.

Graphique
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8
À l'oral

D'après ce graphique, la raison de cette suite est-elle positive ou négative ?
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9
À l'oral

Déterminer le premier terme de u et justifier que sa raison est -0,25.
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10
À l'oral

Déterminer, pour tout entier naturel n, une expression de u(n) en fonction de n.
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11

Soit v la suite arithmétique dont voici une représentation graphique.

Graphique
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1. Déterminer graphiquement le premier terme et la raison de v.
2. En déduire, pour tout entier naturel n, une expression de v(n) en fonction de n.
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12

Soit u une suite arithmétique dont voici une représentation graphique.

Graphique
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Déterminer graphiquement le premier terme et la raison de cette suite.
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Méthode 2
Calculer les termes d'une suite arithmétique

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Énoncé
Exemple 1. On donne une suite arithmétique u de raison r = 3 telle que u(6) = -4. Calculer le terme de rang 8.

Exemple 2. Tao possède six cartes Pokémon et décide d'agrandir sa collection. Chaque semaine, il achète trois nouvelles cartes sur un site de vente en ligne.
On note v(n) le nombre de cartes Pokémon possédées par Tao après n semaines écoulées.

1. Justifier que v est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme v(0).

2. Calculer v(5). Interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.
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Méthode

  • Deux méthodes sont possibles pour calculer les termes d'une suite arithmétique.

  • Cas d'une relation de récurrence.
    • On utilise la formule {u(n+1)=u(n)+r}.
    • On calcule les termes successifs pour déterminer la valeur de u(n) souhaitée.

  • Cas d'une forme explicite.
    • On utilise la relation : {v(n)=r \times n+v(0)}
    • On remplace n par la valeur souhaitée.
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Solution
Exemple 1.
Pour tout entier naturel n, on a {u(n+1)=u(n)+3.}
Donc {u(7)=u(6)+3=-4+3=-1} et {u(8)=u(7)+3=-1+3=2.}

Exemple 2.
1. D'une semaine à l'autre, le nombre de cartes Pokémon augmente de trois unités. Donc {v(n+1)=v(n)+3.} Ainsi, la suite v est une suite arithmétique de premier terme v(0)=6 et de raison r = 3.

2. Puisque r = 3 et v(0)=6, pour tout entier naturel n, on a donc v(n)=3 n+6, d'où {v(5)=3 \times 5+6=21.}
Tao possédera donc 21 cartes Pokémon au bout de cinq semaines.
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Automatismes

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13
À l'oral

Soit \mathrm{u} la suite arithmétique définie par u(2)=-7 et, pour tout entier naturel n, {u(n+1)=u(n)-5}.

Calculer u(4).
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14
À l'oral

Soit u une suite arithmétique de raison 4 telle que u(3) = 7.

Calculer le terme de rang 5.
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15
À l'oral

Soit v la suite arithmétique définie, pour tout entier naturel n, par v(n) = -3n.

Calculer le terme de rang 9 de la suite v.
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16
À l'oral

Soit w la suite arithmétique définie, pour tout entier naturel n, par w(n)=\frac{n}{2}-1.

Calculer le cinquième terme de w.
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17

Soit v la suite arithmétique définie, pour tout entier naturel n, par v(n) = 7 - 6n.

Calculer les trois premiers termes de cette suite.
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18

Soit u une suite arithmétique de raison r = 0,25 et de premier terme u(0) = -3.

Déterminer les trois premiers termes de cette suite.
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19

Un robinet standard débite approximativement 20 cL d'eau par seconde. On laisse le robinet ouvert et on relève la quantité d'eau écoulée chaque seconde.

1. Justifier que cette situation peut être modélisée par une suite arithmétique d dont on précisera le premier terme et la raison.
2. Calculer et interpréter d(11).
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20

En 2021, le village de Gordes comptait 1\:649 habitants. Lors des prévisions budgétaires, le maire de ce village prévoit une augmentation de quinze nouveaux habitants par an. Pour tout entier naturel n, on note h(n) le nombre d'habitants de Gordes lors de l'année 2021 + n.

1. a. Pour modéliser cette situation, on utilise une suite arithmétique. Justifier ce choix, puis préciser la raison et le premier terme h(0) de cette suite.

b. Exprimer h(n) en fonction de n.

2. Combien ce village comptera-t-il d'habitants en 2022 selon cette modélisation ? En 2023 ? En 2024 ? En 2030 ?
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Méthode 3
Déterminer un seuil par le calcul

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Énoncé
Soit u la suite arithmétique définie, pour tout entier naturel n, par {u(n)=5-3 n}.

Déterminer la plus petite valeur de n à partir de laquelle {u(n) \leqslant-12}.
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Méthode

  • On résout l'inéquation demandée.

  • On donne la valeur du seuil demandé en donnant un nombre entier naturel (arrondir en conséquence).
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Solution
On résout l'inéquation {u(n) \leqslant-12.}

u(n) \leqslant-12 \Leftrightarrow 5-3 n \leqslant-12 \Leftrightarrow-3 n \leqslant-17 \Leftrightarrow n \geqslant \frac{-17}{-3} \Leftrightarrow n \geqslant \frac{17}{3}.
Or \frac{17}{3} \approx 5,7. Puisque n est un entier et n \geqslant 5,7, on a donc n = 6. La plus petite valeur de n à partir de laquelle u(n) \leqslant-12 est 6.

Autrement dit, à partir de n=6, {u(n) \leqslant-12.}
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Automatismes

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21
À l'oral

Soit u la suite arithmétique définie par {u(n)=2 n+4}, où n est un entier naturel.

Déterminer la plus petite valeur de n à partir de laquelle {u(n) \geqslant 11}.
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22
À l'oral

Soit u la suite arithmétique définie par {u(n)=1-5 n}, où n est un entier naturel.

Déterminer la plus petite valeur de n à partir de laquelle {u(n) \leqslant-18}.
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23

Soit v la suite arithmétique définie par {v(n)=3 n-5,}n est un entier naturel.

Déterminer la plus petite valeur de n à partir de laquelle {v(n) \geqslant 57.}
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24

Soit w la suite arithmétique définie par {w(n)=-4 n+8}, où n est un entier naturel.

Déterminer la plus petite valeur de n à partir de laquelle {w(n) \leqslant-106}.
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25

Soit z la suite arithmétique définie par z(0)=3 et, pour tout entier naturel n, {z(n+1)=z(n)+6}.

1. Exprimer z(n) en fonction de n, pour tout entier naturel n.
2. Déterminer la plus petite valeur de n à partir de laquelle {z(n) \geqslant 327}.
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26

Soit u la suite arithmétique définie, pour tout entier naturel n, par {u(n)=-n \sqrt{2}+3}.

Déterminer la plus petite valeur de n à partir de laquelle {u(n) \leqslant-6}.
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27

Un robinet standard débite approximativement 20 cL d'eau par seconde. On laisse le robinet ouvert. Calculer le nombre minimal de secondes qu'il faut attendre pour remplir une bouteille de 1,5 L.
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28

Hawa veut finir de remplir sa piscine de 50 m3. Sa piscine contient déjà 4 m3 et se remplit avec un débit de 1,5 m3/h. Le volume d'eau dans la piscine au bout de n heures est donc modélisé par la suite arithmétique u d'expression {u(n)=1,5 n+4}.

Au bout de combien d'heures la piscine de Hawa sera-t-elle remplie ?
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Méthode 4
Exploiter la représentation graphique d'une fonction affine

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Énoncé
1. Soit f une fonction affine dont voici la droite représentative C_{f}. D'après ce graphique, déterminer l'expression de f(x) en fonction du réel x.

2. Après s'être échauffée sur 1 km, Clara active son chronomètre. Elle court alors à 8 km/h et souhaite calculer sa distance totale parcourue à chaque instant. On admet que f(x) est la distance totale parcourue par Clara lorsque le chronomètre indique qu'elle a couru x heures.

a. Justifier le choix de modéliser cette situation par une fonction.
b. Par lecture graphique, déterminer, en minute, le temps nécessaire à Clara pour parcourir au total 5 km.
Graphique
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Méthode

  • On détermine l'ordonnée à l'origine de la droite puis on calcule le coefficient directeur à l'aide de la formule \frac{y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}} en choisissant deux points distincts de cette droite.

  • On repère si la variable est un nombre réel ou un nombre entier pour savoir si on modélise la situation par une fonction ou une suite.

  • On réalise une lecture graphique en repérant les grandeurs sur les bons axes.

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Solution
1. Par lecture graphique, l'ordonnée à l'origine vaut p = 1. On considère les points {\mathrm{A}(0 \:; 1)} et {\mathrm{B}(1 \:; 9)} sur C_{f}.
On calcule le coefficient directeur : {m=\frac{9-1}{1-0}}, d'où m = 8. Ainsi, pour tout réel x, {f(x)=8 x+1}.

2. a. Le temps écoulé est un nombre réel donc on représente la situation par une fonction. Une suite ne peut pas convenir car une suite n'est définie que pour les entiers naturels.

b. Par lecture graphique, il faut 0,5 heure à Clara pour parcourir 5 km, soit 30 minutes.
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Automatismes

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29
À l'oral

Soit f une fonction affine dont voici la représentation graphique.

Graphique
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Exprimer f(x) en fonction du réel x.
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30
À l'oral

Parmi les représentations graphiques suivantes, lesquelles représentent des modèles continus à croissance linéaire ? Justifier.

Graphique
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31

Soit h une fonction affine dont on donne la représentation graphique suivante.

Déterminer par lecture graphique h(2) et h(4).

Graphique
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32

Une piscine est remplie avec 2\:500 m3 d'eau. Pour la réparer, on la vide complètement. La fonction \mathrm{V} qui donne le volume d'eau en fonction du temps est représentée ci-dessous.

Graphique
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1. Justifier le choix de modéliser cette situation par une fonction.

2. Combien de temps faut-il pour vider 1\:000 m3 ?
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