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Partie 3
Histoire des mathématiques
Phénomènes d'évolution
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Des suites dans l'histoire des mathématiques
Une suite numérique est une liste de valeurs, qu'elle soit infinie ou non. Historiquement, elles ont été utilisées dans deux principales situations :
- pour donner des valeurs approchées de nombres ;
- pour modéliser des évolutions successives.
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Archimède et les suites géométriques
Parmi les très nombreux travaux d'Archimède (IIIe siècle avant J.‑C.), on trouve les formules pour calculer des surfaces et les volumes du cylindre et de la sphère. Dans ses démonstrations, il s'appuie sur le principe d'exhaustion, un procédé ancien de calculs d'aires et de volumes. Ses démonstrations font apparaître des suites géométriques de raison .
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La suite de Héron d'Alexandrie
Héron d'Alexandrie (10-70) est un ingénieur, mécanicien, physicien et mathématicien. Il est surtout connu pour ses travaux dans lesquels il décrit des systèmes mécaniques applicables aussi bien à l'ouverture ou la fermeture de portes de temples qu'au fonctionnement d'une horloge. On lui doit également plusieurs formules mathématiques comme celle qui porte son nom sur le calcul d'aire du triangle sans connaître sa hauteur. Un algorithme porte également son nom : celui qui permet d'approcher la valeur de la racine carrée de tout nombre positif (voir ci-après). Cet algorithme permet de définir une suite de nombres dont les valeurs se rapprochent de plus en plus de celle de la racine carrée de . Même si cet algorithme a été utilisé par les Mésopotamiens plusieurs millénaires avant lui, c'est le premier à l'avoir décrit dans son livre Les Métriques, à en avoir proposé sa démonstration et à prouver que l'algo- rithme donne bien toujours la réponse souhaitée.
Formule de Héron pour calculer l'aire d'un triangle.
Algorithme de Héron.
avec
Formule de Héron pour calculer l'aire d'un triangle.
Algorithme de Héron.
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Fibonacci
Après avoir vécu longtemps en Afrique du Nord, Leonardo Pisano,
dit Fibonacci (1170-1250), en rapporte l'ensemble des connaissances mathématiques qu'il publie en 1202 dans le Liber Abbaci. Il y présente pour la première fois en Europe le système de numération dit arabe et, à travers différents exemples, il cherche à montrer quels sont les avantages de ce système numérique. On trouve dans ce livre ce qui
est considéré comme l'un des premiers exemples de modélisation de l'évolution d'une population, une population de lapins,
à travers la suite de Fibonacci :
À partir des deux premiers termes de la suite, on peut trouver tous les termes qui suivent en additionnant les deux précédents : par exemple, , ou .
La suite de Fibonacci possède de très nombreuses propriétés mathématiques. On prête également à la suite de Fibonacci de nombreuses propriétés que l'on retrouve dans la nature.
Fibonacci (1170-1250)
À partir des deux premiers termes de la suite, on peut trouver tous les termes qui suivent en additionnant les deux précédents : par exemple, , ou .
La suite de Fibonacci possède de très nombreuses propriétés mathématiques. On prête également à la suite de Fibonacci de nombreuses propriétés que l'on retrouve dans la nature.
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Peano et les nombres entiers
L'idée que l'on peut se faire d'un nombre entier naturel semble assez évidente, à tel point que l'Homme les a depuis toujours utilisés sans se poser de question sur leur existence. Cependant, à la fin du XIXe siècle, les mathématiciens ont senti le besoin de prouver et redéfinir l'existence de tous les objets mathématiques. C'est ainsi que Richard Dedekind (1831-1916) et Giuseppe Peano (1858-1932) ont proposé de façon indépendante une construction des entiers naturels dont voici les axiomes :
1. l'élément appelé zéro, et noté , est un entier naturel ;
2. tout entier naturel a un unique successeur, que l'on peut noter ;
3. aucun entier naturel n'a pour successeur ;
4. deux entiers naturels ayant le même successeur sont égaux ;
5. si un ensemble d'entiers naturels contient et contient le successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble est égal à .
Les travaux de Peano ont aussi permis de prouver la validité du raisonnement par récurrence. Peano a également proposé la notation et les symboles , , , etc. que l'on utilise encore de nos jours.
Giuseppe Peano (1858-1932)
1. l'élément appelé zéro, et noté , est un entier naturel ;
2. tout entier naturel a un unique successeur, que l'on peut noter ;
3. aucun entier naturel n'a pour successeur ;
4. deux entiers naturels ayant le même successeur sont égaux ;
5. si un ensemble d'entiers naturels contient et contient le successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble est égal à .
Les travaux de Peano ont aussi permis de prouver la validité du raisonnement par récurrence. Peano a également proposé la notation et les symboles , , , etc. que l'on utilise encore de nos jours.
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