Enseignement mathématique 1re

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De la statistique aux probabilités
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Ch. 4
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Ch. 5
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Chapitre 3
Pour aller plus loin

Terme général d'une suite arithmétique

18 professeurs ont participé à cette page
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Remarque

Cette double-page permet d'approfondir les notions de ce chapitre et de travailler de façon différenciée avec les élèves de la classe, notamment avec les plus à l'aise en mathématiques ou bien avec celles et ceux qui souhaiteraient choisir l'option mathématiques complémentaires en terminale.
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Cours

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Notations

On considère une suite u.
  • Pour tout entier naturel n, le terme u(n) d'une suite u est noté un et on note \left(u_{n}\right) la suite u.

  • Une suite arithmétique u de raison r vérifie pour tout entier naturel n : {u_{n+1}=u_{n}+r}.
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Propriétés

Soit \left(u_{n}\right) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u_{0}.

1. Pour tout entier {n \in \mathbb{N}}, {u_{n}=n \times r+u_{0}}.

2. Pour tous entiers naturels n et p, {u_{n}=(n-p) \times r+u_{p}}.
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Exemple

Soit {\left(u_{n}\right)} la suite arithmétique de raison r = -2 telle que u_{5}=7.
Pour tout entier naturel n, {u_{n}=(n-5) \times r+u_{5}}, soit
u_{n}=-2(n-5)+7=-2 n+17.
On en déduit que {u_{0}=-2 \times 0+17=17}.
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Exercices

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62

Soit \left(u_{n}\right) la suite arithmétique définie sur \mathrm{N} par {u_{n}=5 n-4}.

Exprimer u_{n+1} en fonction de n.
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63

Soit \left(u_{n}\right) la suite arithmétique définie sur \mathrm{N} par {u_{n}=1-n \sqrt{2}}.

Calculer {u_{n+1}-u_{n}}.
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64

Soit \left(u_{n}\right) une suite arithmétique vérifiant, pour tout entier naturel n, {u_{n+1}=u_{n}+\frac{1}{2}}.

Exprimer u_{n+3} en fonction de u_{n}.
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65

Soit \left(u_{n}\right) la suite arithmétique de raison r=\frac{3}{5} telle que u_{4}=-\frac{2}{5}.

Calculer les termes de rang 9 et de rang 2 de cette suite.
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66

Soit \left(u_{n}\right) la suite arithmétique telle que u_{2}=3 et u_{12}=-1.

Déterminer la raison r et le premier terme u_{0} de cette suite
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67

Pour chacune des suites suivantes, calculer \mathrm{u}_{20}.

1. La suite \left(u_{n}\right) est artimétique de raison r=3 et telle que u_{7}=12.

2. La suite \left(u_{n}\right) est artimétique de raison r=5 et telle que u_{25}=17.

3. La suite \left(u_{n}\right) est définie par {\left\{\begin{array}{c} u_{0}=3 \\ u_{n+1}=u_{n}+7 \end{array}\right.} pour {n \in \mathbb{N}}

4. La suite \left(u_{n}\right) est définie par {\left\{\begin{array}{c} u_{1}=-2 \\ u_{n+1}=u_{n}-4 \end{array}\right.} pour {n \in \mathbb{N}}.
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68

Kalyam place une somme d'argent u_{0} au taux simple annuel de 5 % ; c'est-à-dire que chaque année, la somme placée augmentera de 5 % de la somme initiale. Pour tout entier naturel n, un désigne le capital de Kalyam n années après son placement.

1. Déterminer u_{1} et u_{2} en fonction de u_{0}.

2. Exprimer u_{n+1} en fonction de u_{n} et de u_{0}.

3. En justifiant, déterminer une expression de u_{n} en fonction de n et de u_{0}.

4. Cinq ans après avoir placé son argent, Kalyam possède 1\:250 €. Quelle somme d'argent avait-il placé au départ ?
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69

Dans le jardin de Yoann, se trouve un puits de 15,7 m de profondeur. Toutes les heures, il creuse 1,2 m. On note u_n la profondeur du puits au bout de \mathrm{n} heures.

Placeholder pour Un puit en pierreUn puit en pierre
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1. Justifier que \left(u_{n}\right) est une suite arithmérique dont on précisera la raison et le premier terme u_{0}.

2. Résoudre u_{n} \geqslant 30. Interpréter ce résultat.

3. Compléter le programme Python ci-dessous afin de retrouver le résultat obtenu à la question 2.

def seuil() :
u = 15.7
n = 0
while ... :
u = ...
n = ...
return(n)
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70

On donne ci-dessous un programme rédigé à l'aide de Python.

Placeholder pour Programme pythonProgramme python
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1. Ce programme est associé à une suite arithmétique \left(u_{n}\right). Préciser la raison r et le premier terme u_{0} de cette suite.

2. a. Quel est l'objectif de ce programme ?
b. Exprimer u_{n} en fonction de n.
c. En déduire la valeur affichée en sortie du programme.
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71

Rayane loue un appartement à Bordeaux. Son contrat de location débute le 1er juin 2022 avec un loyer de 503 € qui augmente ensuite de 32 € tous les ans. On note u_{n} le loyer de l'appartement de Rayane, en euro, au bout de \mathrm{n} années après le 1er juin 2022. On a donc u_{0}=503.

1. On admet que \left(u_{n}\right) est une suite arithmétique. Donner la raison r de cette suite.

2. Quel loyer Rayane devra-t-il payer au 1er juin 2029 ?

3. Afin d'y voir plus clair dans ses dépenses, Rayane réalise la feuille de calcul ci-dessous.

Placeholder pour TableurTableur
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a. Quelle formule Rayane a-t-il entrée dans la cellule B3 puis étirée vers le bas pour remplir automatiquement la colonne B ?

b. Sachant que {6\:036=503 \times 12}, à quoi correspond la valeur calculée dans la cellule C2 ?

c. À quoi correspond la valeur dans la cellule C3 ? Comment a-t-elle été calculée ?
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72

On souhaite démontrer la propriété suivante : « Si \left(u_{n}\right) est une suite arithmétique de raison r, alors, pour tous entiers naturels n et p, {u_{n}=(n-p) r+u_{p}} ».

1. Rappeler l'expression de u_{n} en fonction de u_{0}, de n et de r.

2. Exprimer de même u_{p} en fonction de u_{0}, de p et de r.

3. En déduire une expression de u_{0} en fonction de u_{p}, de p et de r.

4. Conclure.
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73

La suite \left(v_{n}\right) est une suite arithmétique dont on a calculé les termes à l'aide d'un tableur.

1. Déterminer la raison de la suite \left(v_{n}\right).

2. Calculer le premier terme v_{0}.

3. Calculer v_{20} de deux façons différentes.
Placeholder pour TableurTableur
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