Terme général d'une suite arithmétique

On considère une suite $u$.

• Pour tout entier naturel $n$, le terme $u(n)$ d'une suite $u$ est noté un et on note $\left(u_n\right)$ la suite $u$.


• Une suite arithmétique $u$ de raison $r$ vérifie pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1}=u_n+r$.

Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$.

1. Pour tout entier $n\in \mathbb{N}$, $u_n=n\times r+u_0$.

2. Pour tous entiers naturels $n$ et $p$, $u_n=(n-p)\times r+u_p$.

Soit $\left(u_n\right)$ la suite arithmétique de raison $r=-2$ telle que $u_5=7$.
Pour tout entier naturel $n$, $u_n=(n-5)\times r+u_5$, soit

$u_n=-2(n-5)+7=-2n+17.$

On en déduit que $u_0=-2\times 0+17=17$.

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Soit $\left(u_n\right)$ la suite arithmétique définie sur $\mathrm{N}$ par $u_n=5n-4$.

Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $n$.

63

Soit $\left(u_n\right)$ la suite arithmétique définie sur $\mathrm{N}$ par $u_n=1-n\sqrt{2}$.

Calculer $u_{n+1}-u_n$.

64

Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique vérifiant, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+\frac{1}{2}$.

Exprimer $u_{n+3}$ en fonction de $u_n$.

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Soit $\left(u_n\right)$ la suite arithmétique de raison $r=\frac{3}{5}$ telle que $u_4=-\frac{2}{5}$.

Calculer les termes de rang $9$ et de rang $2$ de cette suite.

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Pour chacune des suites suivantes, calculer ${\mathrm{u}}_{20}$.

1. La suite $\left(u_n\right)$ est artimétique de raison $r=3$ et telle que $u_7=12$.

2. La suite $\left(u_n\right)$ est artimétique de raison $r=5$ et telle que $u_{25}=17$.

3. La suite $\left(u_n\right)$ est définie par $\{\begin{array}{c}{u}_0=3\\ u_{n+1}=u_n+7\end{array}$ pour $n\in \mathbb{N}$

4. La suite $\left(u_n\right)$ est définie par $\{\begin{array}{c}{u}_1=-2\\ u_{n+1}=u_n-4\end{array}$ pour $n\in \mathbb{N}$.

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Kalyam place une somme d'argent $u_0$ au taux simple annuel de $5$ % ; c'est-à-dire que chaque année, la somme placée augmentera de $5$ % de la somme initiale. Pour tout entier naturel $n$, un désigne le capital de Kalyam n années après son placement.

1. Déterminer $u_1$ et $u_2$ en fonction de $u_0$.

2. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et de $u_0$.

3. En justifiant, déterminer une expression de $u_n$ en fonction de $n$ et de $u_0$.

4. Cinq ans après avoir placé son argent, Kalyam possède $1250$ €. Quelle somme d'argent avait-il placé au départ ?

69

Dans le jardin de Yoann, se trouve un puits de $15,7$ m de profondeur. Toutes les heures, il creuse $1,2$ m. On note $u_n$ la profondeur du puits au bout de $\mathrm{n}$ heures.


1. Justifier que $\left(u_n\right)$ est une suite arithmérique dont on précisera la raison et le premier terme $u_0$.

2. Résoudre $u_n⩾30$. Interpréter ce résultat.

3. Compléter le programme Python ci-dessous afin de retrouver le résultat obtenu à la question 2.

def seuil() :
u = 15.7
n = 0
while ... :
u = ...
n = ...
return(n)

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On donne ci-dessous un programme rédigé à l'aide de Python.


1. Ce programme est associé à une suite arithmétique $\left(u_n\right)$. Préciser la raison $r$ et le premier terme $u_0$ de cette suite.

2. a. Quel est l'objectif de ce programme ?

b. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

c. En déduire la valeur affichée en sortie du programme.

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Rayane loue un appartement à Bordeaux. Son contrat de location débute le 1^er juin 2022 avec un loyer de $503$ € qui augmente ensuite de $32$ € tous les ans. On note $u_n$ le loyer de l'appartement de Rayane, en euro, au bout de $\mathrm{n}$ années après le 1^er juin 2022. On a donc $u_0=503$.

1. On admet que $\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique. Donner la raison $r$ de cette suite.

2. Quel loyer Rayane devra-t-il payer au 1^er juin 2029 ?

3. Afin d'y voir plus clair dans ses dépenses, Rayane réalise la feuille de calcul ci-dessous.


a. Quelle formule Rayane a-t-il entrée dans la cellule B3 puis étirée vers le bas pour remplir automatiquement la colonne B ?

b. Sachant que $6036=503\times 12$, à quoi correspond la valeur calculée dans la cellule C2 ?

c. À quoi correspond la valeur dans la cellule C3 ? Comment a-t-elle été calculée ?

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On souhaite démontrer la propriété suivante : « Si $\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de raison $r$, alors, pour tous entiers naturels $n$ et $p$, $u_n=(n-p)r+u_p$ ».

1. Rappeler l'expression de $u_n$ en fonction de $u_0$, de $n$ et de $r$.

2. Exprimer de même $u_p$ en fonction de $u_0$, de $p$ et de $r$.

3. En déduire une expression de $u_0$ en fonction de $u_p$, de $p$ et de $r$.

4. Conclure.